», δηλαδή εξισώσεις πρώτου βαθμού. Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσουμε αυτό που ονομάζεται τετραγωνική εξίσωσηκαι πώς να το λύσετε.
Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση;
Σπουδαίος!
Ο βαθμός μιας εξίσωσης καθορίζεται από τον υψηλότερο βαθμό στον οποίο βρίσκεται ο άγνωστος.
Εάν η μέγιστη ισχύς στην οποία ο άγνωστος είναι "2", τότε έχετε μια τετραγωνική εξίσωση.
Παραδείγματα τετραγωνικών εξισώσεων
- 5x 2 − 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x = 0
- x 2 − 8 = 0
Σπουδαίος! Η γενική μορφή μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:
A x 2 + b x + c = 0
Τα «α», «β» και «γ» δίνονται αριθμοί.- Το "a" είναι ο πρώτος ή ο υψηλότερος συντελεστής.
- Το "b" είναι ο δεύτερος συντελεστής.
- Το «c» είναι ελεύθερο μέλος.
Για να βρείτε τα «a», «b» και «c» πρέπει να συγκρίνετε την εξίσωσή σας με τη γενική μορφή της δευτεροβάθμιας εξίσωσης «ax 2 + bx + c = 0».
Ας εξασκηθούμε στον προσδιορισμό των συντελεστών «α», «β» και «γ» σε δευτεροβάθμιες εξισώσεις.
| Η εξίσωση | Πιθανότητα | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = −1
- b = 1
- c =
1 3
- α = 1
- b = 0,25
- c = 0
- α = 1
- b = 0
- c = −8
Πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις
Διαφορετικός γραμμικές εξισώσειςγια την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων, χρησιμοποιείται ένα ειδικό εργαλείο τύπος για την εύρεση ριζών.
Θυμάμαι!
Για να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση χρειάζεστε:
- ανάγουμε την τετραγωνική εξίσωση σε γενική εμφάνιση"ax 2 + bx + c = 0". Δηλαδή, μόνο το "0" θα πρέπει να παραμείνει στη δεξιά πλευρά.
- χρησιμοποιήστε τη φόρμουλα για τις ρίζες:
Ας δούμε ένα παράδειγμα για το πώς να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Ας λύσουμε μια τετραγωνική εξίσωση.
X 2 − 3x − 4 = 0
Η εξίσωση «x 2 − 3x − 4 = 0» έχει ήδη αναχθεί στη γενική μορφή «ax 2 + bx + c = 0» και δεν απαιτεί πρόσθετες απλοποιήσεις. Για να το λύσουμε, αρκεί να κάνουμε αίτηση τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.
Ας προσδιορίσουμε τους συντελεστές "a", "b" και "c" για αυτήν την εξίσωση.
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση οποιασδήποτε δευτεροβάθμιας εξίσωσης.
Στον τύπο "x 1;2 = " η ριζική έκφραση αντικαθίσταται συχνά
«b 2 − 4ac» για το γράμμα «D» και λέγεται διακριτικό. Η έννοια του διακριτικού συζητείται λεπτομερέστερα στο μάθημα «Τι είναι ο διακριτικός».
Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα τετραγωνικής εξίσωσης.
x 2 + 9 + x = 7x
Σε αυτή τη μορφή, είναι αρκετά δύσκολο να προσδιοριστούν οι συντελεστές "a", "b" και "c". Ας μειώσουμε πρώτα την εξίσωση στη γενική μορφή «ax 2 + bx + c = 0».
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για τις ρίζες.
Χ 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Απάντηση: x = 3
Υπάρχουν φορές που οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις δεν έχουν ρίζες. Αυτή η κατάσταση συμβαίνει όταν ο τύπος περιέχει έναν αρνητικό αριθμό κάτω από τη ρίζα.
Τετραγωνικές εξισώσεις. Διακριτικός. Λύση, παραδείγματα.
Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)
Τύποι τετραγωνικών εξισώσεων
Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση; Πως μοιάζει; Σε θητεία τετραγωνική εξίσωσηη λέξη κλειδί είναι "τετράγωνο".Αυτό σημαίνει ότι στην εξίσωση Αναγκαίωςπρέπει να υπάρχει ένα x τετράγωνο. Επιπλέον, η εξίσωση μπορεί (ή μπορεί και όχι!) να περιέχει μόνο Χ (στην πρώτη δύναμη) και μόνο έναν αριθμό (ελεύθερο μέλος).Και δεν πρέπει να υπάρχουν Χ στον βαθμό δύο.
Σε μαθηματικούς όρους, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής:
Εδώ α, β και γ- κάποιοι αριθμοί. β και γ- απολύτως οποιαδήποτε, αλλά ΕΝΑ– οτιδήποτε άλλο εκτός από το μηδέν. Για παράδειγμα:
Εδώ ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο = -4
Εδώ ΕΝΑ =2; σι = -0,5; ντο = 2,2
Εδώ ΕΝΑ =-3; σι = 6; ντο = -18
Λοιπόν, καταλαβαίνεις...
Σε αυτές τις τετραγωνικές εξισώσεις στα αριστερά υπάρχει πλήρες σετμέλη. X σε τετράγωνο με συντελεστή ΕΝΑ, x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή σιΚαι ελεύθερο μέλος s.
Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις ονομάζονται γεμάτος.
Κι αν σι= 0, τι παίρνουμε; Εχουμε Το Χ θα χαθεί στην πρώτη δύναμη.Αυτό συμβαίνει όταν πολλαπλασιάζεται με το μηδέν.) Αποδεικνύεται, για παράδειγμα:
5x 2 -25 = 0,
2x 2 -6x=0,
-x 2 +4x=0
Και ούτω καθεξής. Και αν και οι δύο συντελεστές σιΚαι ντοείναι ίσα με μηδέν, τότε είναι ακόμα πιο απλό:
2x 2 =0,
-0,3x 2 =0
Τέτοιες εξισώσεις όπου κάτι λείπει ονομάζονται ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.Κάτι που είναι αρκετά λογικό.) Σημειώστε ότι το x τετράγωνο υπάρχει σε όλες τις εξισώσεις.
Με την ευκαιρία, γιατί ΕΝΑδεν μπορεί να είναι ίσο με μηδέν; Και αντικαθιστάς ΕΝΑμηδέν.) Το τετράγωνο του Χ θα εξαφανιστεί! Η εξίσωση θα γίνει γραμμική. Και η λύση είναι τελείως διαφορετική...
Αυτοί είναι όλοι οι κύριοι τύποι τετραγωνικών εξισώσεων. Πλήρης και ελλιπής.
Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.
Επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων.
Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι εύκολο να λυθούν. Σύμφωνα με τύπους και σαφείς, απλούς κανόνες. Στο πρώτο στάδιο, είναι απαραίτητο να φέρετε τη δεδομένη εξίσωση σε μια τυπική μορφή, δηλ. στη φόρμα:
Εάν η εξίσωση έχει ήδη δοθεί σε αυτήν τη μορφή, δεν χρειάζεται να κάνετε το πρώτο στάδιο.) Το κύριο πράγμα είναι να προσδιορίσετε σωστά όλους τους συντελεστές, ΕΝΑ, σιΚαι ντο.
Ο τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:
Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διακριτική. Περισσότερα για αυτόν όμως παρακάτω. Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το X, χρησιμοποιούμε μόνο α, β και γ. Εκείνοι. συντελεστές από μια τετραγωνική εξίσωση. Απλώς αντικαταστήστε προσεκτικά τις τιμές α, β και γΥπολογίζουμε σε αυτόν τον τύπο. Ας αντικαταστήσουμε με τα δικά σου σημάδια! Για παράδειγμα, στην εξίσωση:
ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο= -4. Εδώ το γράφουμε:
Το παράδειγμα έχει σχεδόν λυθεί:
Αυτή είναι η απάντηση.
Όλα είναι πολύ απλά. Και τι, πιστεύεις ότι είναι αδύνατο να κάνεις λάθος; Λοιπόν, ναι, πώς…
Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τις τιμές πρόσημου α, β και γ. Ή μάλλον, όχι με τα σημάδια τους (πού να μπερδευτείτε;), αλλά με την αντικατάσταση αρνητικών τιμών στον τύπο για τον υπολογισμό των ριζών. Αυτό που βοηθά εδώ είναι μια λεπτομερής καταγραφή του τύπου με συγκεκριμένους αριθμούς. Εάν υπάρχουν προβλήματα με τους υπολογισμούς, Κάνε αυτό!
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:
Εδώ ένα = -6; σι = -5; ντο = -1
Ας πούμε ότι γνωρίζετε ότι σπάνια λαμβάνετε απαντήσεις την πρώτη φορά.
Λοιπόν, μην είσαι τεμπέλης. Θα χρειαστούν περίπου 30 δευτερόλεπτα για να γράψετε μια επιπλέον γραμμή και τον αριθμό των σφαλμάτων θα μειωθεί απότομα. Γράφουμε λοιπόν αναλυτικά, με όλες τις αγκύλες και τα σημάδια:
Φαίνεται απίστευτα δύσκολο να γράψεις τόσο προσεκτικά. Αλλά μόνο έτσι φαίνεται. Δοκίμασε το. Λοιπόν, ή επιλέξτε. Τι καλύτερο, γρήγορο ή σωστό; Άλλωστε θα σε κάνω χαρούμενο. Μετά από λίγο, δεν θα χρειαστεί να γράψετε τα πάντα τόσο προσεκτικά. Θα λειτουργήσει σωστά από μόνο του. Ειδικά αν χρησιμοποιείτε πρακτικές τεχνικές που περιγράφονται παρακάτω. Αυτό το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα μπορεί να λυθεί εύκολα και χωρίς λάθη!
Αλλά, συχνά, οι τετραγωνικές εξισώσεις φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό:
Το αναγνωρίσατε;) Ναι! Αυτό ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.
Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων.
Μπορούν επίσης να λυθούν χρησιμοποιώντας έναν γενικό τύπο. Απλά πρέπει να καταλάβετε σωστά τι ισούνται εδώ. α, β και γ.
Το έχεις καταλάβει; Στο πρώτο παράδειγμα a = 1; b = -4;ΕΝΑ ντο? Δεν είναι καθόλου εκεί! Λοιπόν ναι, έτσι είναι. Στα μαθηματικά αυτό σημαίνει ότι c = 0 ! Αυτό είναι όλο. Αντικαταστήστε το μηδέν στον τύπο ντο,και θα τα καταφέρουμε. Το ίδιο με το δεύτερο παράδειγμα. Μόνο που δεν έχουμε μηδέν εδώ Με, ΕΝΑ σι !
Αλλά οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν πολύ πιο απλά. Χωρίς καμία φόρμουλα. Ας εξετάσουμε την πρώτη ημιτελή εξίσωση. Τι μπορείτε να κάνετε στην αριστερή πλευρά; Μπορείτε να βγάλετε το Χ από αγκύλες! Ας το βγάλουμε.
Και τι από αυτό; Και το γεγονός ότι το γινόμενο ισούται με μηδέν αν και μόνο αν κάποιος από τους παράγοντες ισούται με μηδέν! Δεν με πιστεύεις; Εντάξει, τότε καταλήξτε σε δύο μη μηδενικούς αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δίνουν μηδέν!
Δεν δουλεύει; Αυτό είναι...
Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με σιγουριά: x 1 = 0, x 2 = 4.
Ολα. Αυτές θα είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας. Και τα δύο είναι κατάλληλα. Όταν αντικαθιστούμε οποιοδήποτε από αυτά στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε τη σωστή ταυτότητα 0 = 0. Όπως μπορείτε να δείτε, η λύση είναι πολύ πιο απλή από τη χρήση του γενικού τύπου. Επιτρέψτε μου να σημειώσω, παρεμπιπτόντως, ποιο Χ θα είναι το πρώτο και ποιο το δεύτερο - απολύτως αδιάφορο. Είναι βολικό να γράφεις με τη σειρά, x 1- τι είναι μικρότερο και x 2- αυτό που είναι μεγαλύτερο.
Η δεύτερη εξίσωση μπορεί επίσης να λυθεί απλά. Μετακινήστε το 9 στη δεξιά πλευρά. Παίρνουμε:
Το μόνο που μένει είναι να εξαγάγετε τη ρίζα από το 9, και αυτό είναι. Θα αποδειχθεί:
Επίσης δύο ρίζες . x 1 = -3, x 2 = 3.
Έτσι λύνονται όλες οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Είτε τοποθετώντας το Χ εκτός αγκύλων, είτε απλώς μετακινώντας τον αριθμό προς τα δεξιά και μετά εξάγοντας τη ρίζα.
Είναι εξαιρετικά δύσκολο να συγχέουμε αυτές τις τεχνικές. Απλά γιατί στην πρώτη περίπτωση θα πρέπει να βγάλεις τη ρίζα του Χ, που είναι κατά κάποιο τρόπο ακατανόητη, και στη δεύτερη περίπτωση δεν υπάρχει τίποτα να βγάλεις από αγκύλες...
Διακριτικός. Διακριτική φόρμουλα.
Μαγική λέξη διακριτική ! Σπάνια μαθητής Λυκείου δεν έχει ακούσει αυτή τη λέξη! Η φράση «λύνουμε μέσω ενός διακριτικού» εμπνέει εμπιστοσύνη και σιγουριά. Γιατί δεν χρειάζεται να περιμένεις κόλπα από τον διακρίνοντα! Είναι απλό και χωρίς προβλήματα στη χρήση.) Σας υπενθυμίζω τον πιο γενικό τύπο επίλυσης όποιοςτετραγωνικές εξισώσεις:
Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διάκριση. Συνήθως η διάκριση υποδηλώνεται με το γράμμα ρε. Διακριτικός τύπος:
D = b 2 - 4ac
Και τι είναι τόσο αξιοσημείωτο σε αυτή την έκφραση; Γιατί άξιζε ένα ιδιαίτερο όνομα; Τι η έννοια του διακρινόμενου;Παρά όλα αυτά -σι,ή 2ασε αυτόν τον τύπο δεν το αποκαλούν συγκεκριμένα τίποτα... Γράμματα και γράμματα.
Εδώ είναι το θέμα. Κατά την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, είναι δυνατό μόνο τρεις περιπτώσεις.
1. Η διάκριση είναι θετική.Αυτό σημαίνει ότι η ρίζα μπορεί να εξαχθεί από αυτό. Το αν η ρίζα εξάγεται καλά ή κακώς είναι ένα άλλο ερώτημα. Σημασία έχει τι εξάγεται καταρχήν. Τότε η τετραγωνική εξίσωσή σας έχει δύο ρίζες. Δύο διαφορετικές λύσεις.
2. Η διάκριση είναι μηδέν.Τότε θα έχετε μία λύση. Αφού η πρόσθεση ή η αφαίρεση του μηδενός στον αριθμητή δεν αλλάζει τίποτα. Αυστηρά μιλώντας, αυτό δεν είναι μια ρίζα, αλλά δύο πανομοιότυπα. Αλλά, σε μια απλοποιημένη έκδοση, συνηθίζεται να μιλάμε μια λύση.
3. Η διάκριση είναι αρνητική.Η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν μπορεί να ληφθεί. Καλά εντάξει. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.
Για να είμαστε ειλικρινείς, όταν λύνουμε απλώς δευτεροβάθμιες εξισώσεις, η έννοια του διαχωριστή δεν χρειάζεται πραγματικά. Αντικαθιστούμε τις τιμές των συντελεστών στον τύπο και μετράμε. Όλα γίνονται εκεί από μόνα τους, δύο ρίζες, μία και καμία. Ωστόσο, κατά την επίλυση πιο σύνθετων εργασιών, χωρίς γνώση νόημα και τύπος της διάκρισηςόχι αρκετά. Ειδικά σε εξισώσεις με παραμέτρους. Τέτοιες εξισώσεις είναι ακροβατικές για την Κρατική Εξέταση και την Ενιαία Κρατική Εξέταση!)
Ετσι, πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσειςμέσα από τη διάκριση που θυμήθηκες. Ή έμαθες, που επίσης δεν είναι κακό.) Ξέρεις πώς να προσδιορίζεις σωστά α, β και γ. Ξέρεις πως; προσεχτικάαντικαταστήστε τα στον τύπο της ρίζας και προσεχτικάμετρήστε το αποτέλεσμα. Καταλαβαίνετε ότι η λέξη κλειδί εδώ είναι προσεχτικά;
Τώρα σημειώστε τις πρακτικές τεχνικές που μειώνουν δραματικά τον αριθμό των σφαλμάτων. Τα ίδια που οφείλονται στην απροσεξία... Για τα οποία αργότερα γίνεται επώδυνο και προσβλητικό...
Πρώτο ραντεβού
. Μην είστε τεμπέλης πριν λύσετε μια εξίσωση του δευτεροβάθμιου βαθμού και φέρτε την σε τυπική μορφή. Τι σημαίνει αυτό;
Ας πούμε ότι μετά από όλους τους μετασχηματισμούς παίρνετε την ακόλουθη εξίσωση:
Μην βιαστείτε να γράψετε τον τύπο root! Σχεδόν σίγουρα θα μπερδέψετε τις πιθανότητες α, β και γ.Κατασκευάστε σωστά το παράδειγμα. Πρώτα, X τετράγωνο, μετά χωρίς τετράγωνο, μετά ο ελεύθερος όρος. Σαν αυτό:
Και πάλι, μην βιάζεστε! Ένα μείον μπροστά από ένα Χ στο τετράγωνο μπορεί πραγματικά να σας αναστατώσει. Ξεχνιέται εύκολα... Ξεφορτωθείτε το μείον. Πως; Ναι, όπως διδάχτηκε στο προηγούμενο θέμα! Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:
Αλλά τώρα μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια τον τύπο για τις ρίζες, να υπολογίσετε τη διάκριση και να ολοκληρώσετε την επίλυση του παραδείγματος. Αποφασίστε μόνοι σας. Θα πρέπει τώρα να έχετε τις ρίζες 2 και -1.
Υποδοχή δεύτερη. Ελέγξτε τις ρίζες! Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta. Μη φοβάσαι, θα σου τα εξηγήσω όλα! Ελεγχος το τελευταίο πράγματην εξίσωση. Εκείνοι. αυτόν που χρησιμοποιήσαμε για να σημειώσουμε τον τύπο της ρίζας. Αν (όπως σε αυτό το παράδειγμα) ο συντελεστής α = 1, ο έλεγχος των ριζών είναι εύκολος. Αρκεί να τα πολλαπλασιάσουμε. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ένα ελεύθερο μέλος, δηλ. στην περίπτωσή μας -2. Παρακαλώ σημειώστε, όχι 2, αλλά -2! Δωρεάν μέλος με το ζώδιο σου . Αν δεν πετύχει, σημαίνει ότι κάπου έχουν ήδη μπλέξει. Ψάξτε για το σφάλμα.
Εάν λειτουργεί, πρέπει να προσθέσετε τις ρίζες. Τελευταίος και τελευταίος έλεγχος. Ο συντελεστής πρέπει να είναι σιΜε απεναντι απο
οικείος. Στην περίπτωσή μας -1+2 = +1. Ένας συντελεστής σι, που είναι πριν από το Χ, ισούται με -1. Λοιπόν, όλα είναι σωστά!
Είναι κρίμα που αυτό είναι τόσο απλό μόνο για παραδείγματα όπου το x τετράγωνο είναι καθαρό, με συντελεστή α = 1.Αλλά τουλάχιστον ελέγξτε σε τέτοιες εξισώσεις! Θα υπάρχουν όλο και λιγότερα λάθη.
Τρίτη υποδοχή . Εάν η εξίσωσή σας έχει κλασματικούς συντελεστές, απαλλαγείτε από τα κλάσματα! Πολλαπλασιάστε την εξίσωση με έναν κοινό παρονομαστή όπως περιγράφεται στο μάθημα "Πώς να λύσετε εξισώσεις; Μετασχηματισμοί ταυτότητας". Όταν εργάζεστε με κλάσματα, τα σφάλματα συνεχίζουν να εισχωρούν για κάποιο λόγο...
Παρεμπιπτόντως, υποσχέθηκα να απλοποιήσω το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα. Σας παρακαλούμε! Να τος.
Για να μην μπερδευτούμε με τα πλην, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:
Αυτό είναι όλο! Η επίλυση είναι απόλαυση!
Λοιπόν, ας συνοψίσουμε το θέμα.
1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση σε τυπική μορφή και την κατασκευάζουμε σωστά.
2. Αν υπάρχει αρνητικός συντελεστής μπροστά από το τετράγωνο του Χ, τον εξαλείφουμε πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με -1.
3. Αν οι συντελεστές είναι κλασματικοί, εξαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με τον αντίστοιχο παράγοντα.
4. Εάν το x τετράγωνο είναι καθαρό, ο συντελεστής του είναι ίσος με ένα, η λύση μπορεί εύκολα να επαληθευτεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Κάνε το!
Τώρα μπορούμε να αποφασίσουμε.)
Λύστε εξισώσεις:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Απαντήσεις (σε αταξία):
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1,2 =2
x 1 = 2
x 2 = -0,5
x - οποιοσδήποτε αριθμός
x 1 = -3
x 2 = 3
χωρίς λύσεις
x 1 = 0,25
x 2 = 0,5
Ταιριάζουν όλα; Εξαιρετική! Οι τετραγωνικές εξισώσεις δεν είναι ο πονοκέφαλος σου. Τα τρία πρώτα λειτούργησαν, αλλά τα υπόλοιπα όχι; Τότε το πρόβλημα δεν είναι με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Το πρόβλημα είναι στους πανομοιότυπους μετασχηματισμούς των εξισώσεων. Ρίξτε μια ματιά στο σύνδεσμο, είναι χρήσιμο.
Δεν δουλεύει αρκετά; Ή δεν βγαίνει καθόλου; Στη συνέχεια, η Ενότητα 555 θα σας βοηθήσει. Όλα αυτά τα παραδείγματα αναλύονται εκεί. Απεικονίζεται κύριοςλάθη στη λύση. Φυσικά, μιλάμε και για τη χρήση πανομοιότυπων μετασχηματισμών στην επίλυση διαφόρων εξισώσεων. Βοηθάει πολύ!
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Kop'evskaya αγροτική δευτεροβάθμια ολοκληρωμένο σχολείο
10 τρόποι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων
Επικεφαλής: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
καθηγητής μαθηματικών
χωριό Κόπεβο, 2007
1. Ιστορία της ανάπτυξης των δευτεροβάθμιων εξισώσεων
1.1 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Αρχαία Βαβυλώνα
1.2 Πώς ο Διόφαντος συνέθεσε και έλυσε δευτεροβάθμιες εξισώσεις
1.3 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ινδία
1.4 Τετραγωνικές εξισώσεις του al-Khorezmi
1.5 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ευρώπη XIII - XVII αιώνες
1.6 Σχετικά με το θεώρημα του Vieta
2. Μέθοδοι επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων
συμπέρασμα
Βιβλιογραφία
1. Ιστορία ανάπτυξης τετραγωνικών εξισώσεων
1.1 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Αρχαία Βαβυλώνα
Η ανάγκη επίλυσης εξισώσεων όχι μόνο πρώτου, αλλά και δεύτερου βαθμού, ακόμη και στην αρχαιότητα, προκλήθηκε από την ανάγκη επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με την εύρεση των χώρων των οικοπέδων και με ανασκαφικές εργασίες στρατιωτικού χαρακτήρα, καθώς και όπως και με την ανάπτυξη της ίδιας της αστρονομίας και των μαθηματικών. Οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούσαν να λυθούν γύρω στο 2000 π.Χ. μι. Βαβυλώνιοι.
Χρησιμοποιώντας τη σύγχρονη αλγεβρική σημειογραφία, μπορούμε να πούμε ότι στα σφηνοειδή κείμενά τους υπάρχουν, εκτός από τα ημιτελή, όπως, για παράδειγμα, πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις:
Χ 2 + Χ = ¾; Χ 2 - Χ = 14,5
Ο κανόνας για την επίλυση αυτών των εξισώσεων, που ορίζεται στα βαβυλωνιακά κείμενα, ουσιαστικά συμπίπτει με τον σύγχρονο, αλλά δεν είναι γνωστό πώς έφτασαν οι Βαβυλώνιοι σε αυτόν τον κανόνα. Σχεδόν όλα τα σφηνοειδή κείμενα που έχουν βρεθεί μέχρι στιγμής παρέχουν μόνο προβλήματα με λύσεις που παρουσιάζονται με τη μορφή συνταγών, χωρίς καμία ένδειξη για το πώς βρέθηκαν.
Παρά το υψηλό επίπεδο ανάπτυξης της άλγεβρας στη Βαβυλώνα, τα σφηνοειδή κείμενα δεν περιέχουν την έννοια του αρνητικού αριθμού και γενικές μεθόδουςεπίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων.
1.2 Πώς ο Διόφαντος συνέθεσε και έλυσε δευτεροβάθμιες εξισώσεις.
Η Αριθμητική του Διόφαντου δεν περιέχει συστηματική παρουσίαση της άλγεβρας, περιέχει όμως μια συστηματική σειρά προβλημάτων, που συνοδεύονται από επεξηγήσεις και λύνονται με την κατασκευή εξισώσεων διαφόρων βαθμών.
Όταν συνθέτει εξισώσεις, ο Διόφαντος επιλέγει επιδέξια άγνωστα για να απλοποιήσει τη λύση.
Εδώ, για παράδειγμα, είναι ένα από τα καθήκοντά του.
Πρόβλημα 11.«Βρες δύο αριθμούς, γνωρίζοντας ότι το άθροισμά τους είναι 20 και το γινόμενο τους είναι 96»
Ο Διόφαντος αιτιολογεί ως εξής: από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι οι απαιτούμενοι αριθμοί δεν είναι ίσοι, αφού αν ήταν ίσοι, τότε το γινόμενο τους δεν θα ήταν ίσο με 96, αλλά με 100. Έτσι, ένας από αυτούς θα είναι μεγαλύτερος από το ήμισυ του αθροίσματος τους, δηλ. 10 + x, το άλλο είναι λιγότερο, δηλ. δεκαετία του 10. Η διαφορά μεταξύ τους 2x.
Εξ ου και η εξίσωση:
(10 + x) (10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Από εδώ x = 2. Ένας από τους απαιτούμενους αριθμούς είναι ίσος με 12 , άλλα 8 . Λύση x = -2γιατί ο Διόφαντος δεν υπάρχει, αφού τα ελληνικά μαθηματικά γνώριζαν μόνο θετικούς αριθμούς.
Εάν λύσουμε αυτό το πρόβλημα επιλέγοντας έναν από τους απαιτούμενους αριθμούς ως άγνωστο, τότε θα καταλήξουμε σε μια λύση της εξίσωσης
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Είναι σαφές ότι επιλέγοντας τη μισή διαφορά των απαιτούμενων αριθμών ως άγνωστο, ο Διόφαντος απλοποιεί τη λύση. καταφέρνει να αναγάγει το πρόβλημα στην επίλυση μιας ημιτελούς δευτεροβάθμιας εξίσωσης (1).
1.3 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ινδία
Προβλήματα στις τετραγωνικές εξισώσεις βρίσκονται ήδη στην αστρονομική πραγματεία «Aryabhattiam», που συντάχθηκε το 499 από τον Ινδό μαθηματικό και αστρονόμο Aryabhatta. Ένας άλλος Ινδός επιστήμονας, ο Μπραμαγκούπτα (7ος αιώνας), περιέγραψε έναν γενικό κανόνα για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων που ανάγεται σε μια ενιαία κανονική μορφή:
αχ 2 +σιx = c, a > 0. (1)
Στην εξίσωση (1), οι συντελεστές, εκτός ΕΝΑ, μπορεί επίσης να είναι αρνητικό. Ο κανόνας του Brahmagupta είναι ουσιαστικά ο ίδιος με τον δικό μας.
Στην αρχαία Ινδία, οι δημόσιοι διαγωνισμοί για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων ήταν συνηθισμένοι. Ένα από τα αρχαία ινδικά βιβλία λέει τα εξής για τέτοιους διαγωνισμούς: «Όπως ο ήλιος ξεπερνά τα αστέρια με τη λάμψη του, έτσι και ένας λόγιος άνθρωπος θα ξεπεράσει τη δόξα ενός άλλου λαϊκές συνελεύσεις, προτείνοντας και λύνοντας αλγεβρικά προβλήματα». Τα προβλήματα παρουσιάζονταν συχνά σε ποιητική μορφή.
Αυτό είναι ένα από τα προβλήματα του διάσημου Ινδού μαθηματικού του 12ου αιώνα. Μπάσκαρ.
Πρόβλημα 13.
«Ένα κοπάδι από ζωηρές μαϊμούδες και δώδεκα κατά μήκος των κληματίδων...
Οι αρχές, έχοντας φάει, διασκέδασαν. Άρχισαν να πηδάνε, να κρέμονται...
Υπάρχουν στην πλατεία, μέρος όγδοο Πόσες μαϊμούδες ήταν εκεί;
Διασκέδαζα στο ξέφωτο. Πες μου, σε αυτό το πακέτο;
Η λύση του Bhaskara δείχνει ότι γνώριζε ότι οι ρίζες των τετραγωνικών εξισώσεων έχουν δύο τιμές (Εικ. 3).
Η εξίσωση που αντιστοιχεί στο πρόβλημα 13 είναι:
(Χ/8) 2 + 12 = Χ
Ο Bhaskara γράφει υπό το πρόσχημα:
x 2 - 64x = -768
και, για να συμπληρωθεί η αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης σε τετράγωνο, προσθέτει και στις δύο πλευρές 32 2 , στη συνέχεια παίρνοντας:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Τετραγωνικές εξισώσεις στο al - Khorezmi
Στην αλγεβρική πραγματεία του al-Khorezmi, δίνεται μια ταξινόμηση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Ο συγγραφέας μετράει 6 τύπους εξισώσεων, εκφράζοντας τους ως εξής:
1) «Τα τετράγωνα είναι ίσα με τις ρίζες», δηλ. τσεκούρι 2 + γ =σιΧ.
2) «Τα τετράγωνα είναι ίσα με αριθμούς», δηλ. τσεκούρι 2 = γ.
3) «Οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό», δηλ. αχ = s.
4) «Τα τετράγωνα και οι αριθμοί είναι ίσοι με τις ρίζες», δηλ. τσεκούρι 2 + γ =σιΧ.
5) «Τα τετράγωνα και οι ρίζες είναι ίσες με αριθμούς», δηλ. αχ 2 +bx= s.
6) «Οι ρίζες και οι αριθμοί είναι ίσοι με τετράγωνα», δηλ.bx+ c = τσεκούρι 2 .
Για τον al-Khorezmi, ο οποίος απέφυγε τη χρήση αρνητικών αριθμών, οι όροι καθεμιάς από αυτές τις εξισώσεις είναι προσθέσεις και όχι αφαιρέσιμοι. Στην περίπτωση αυτή προφανώς δεν λαμβάνονται υπόψη εξισώσεις που δεν έχουν θετικές λύσεις. Ο συγγραφέας παρουσιάζει μεθόδους για την επίλυση αυτών των εξισώσεων χρησιμοποιώντας τις τεχνικές του al-jabr και του al-muqabala. Οι αποφάσεις του, φυσικά, δεν συμπίπτουν απόλυτα με τις δικές μας. Για να μην αναφέρουμε ότι είναι καθαρά ρητορικό, θα πρέπει να σημειωθεί, για παράδειγμα, ότι όταν λύνουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση πρώτου τύπου
Ο al-Khorezmi, όπως όλοι οι μαθηματικοί πριν από τον 17ο αιώνα, δεν λαμβάνει υπόψη τη μηδενική λύση, πιθανώς επειδή σε συγκεκριμένα πρακτικά προβλήματα δεν έχει σημασία. Όταν λύνει πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις, ο al-Khorezmi καθορίζει τους κανόνες για την επίλυσή τους χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα αριθμητικά παραδείγματα και στη συνέχεια γεωμετρικές αποδείξεις.
Πρόβλημα 14.«Το τετράγωνο και ο αριθμός 21 είναι ίσοι με 10 ρίζες. Βρες τη ρίζα" (υποδηλώνει τη ρίζα της εξίσωσης x 2 + 21 = 10x).
Η λύση του συγγραφέα έχει κάπως έτσι: διαιρέστε τον αριθμό των ριζών στο μισό, παίρνετε 5, πολλαπλασιάζετε 5 με τον εαυτό του, αφαιρείτε 21 από το γινόμενο, αυτό που μένει είναι 4. Πάρτε τη ρίζα από το 4, παίρνετε 2. Αφαιρέστε 2 από 5 , παίρνετε 3, αυτή θα είναι η επιθυμητή ρίζα. Ή προσθέστε το 2 στο 5, που δίνει 7, αυτό είναι επίσης μια ρίζα.
Η πραγματεία του al-Khorezmi είναι το πρώτο βιβλίο που έφτασε σε εμάς, το οποίο εκθέτει συστηματικά την ταξινόμηση των τετραγωνικών εξισώσεων και δίνει τύπους για τη λύση τους.
1.5 Τετραγωνικές εξισώσεις στην ΕυρώπηXIII - XVIIΒΒ
Οι τύποι για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων κατά τις γραμμές του αλ-Χουαρίζμι στην Ευρώπη παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά στο Βιβλίο του Άβακα, που γράφτηκε το 1202 από τον Ιταλό μαθηματικό Λεονάρντο Φιμπονάτσι. Αυτό το ογκώδες έργο, που αντανακλά την επίδραση των μαθηματικών, τόσο από τις χώρες του Ισλάμ όσο και από την αρχαία Ελλάδα, διακρίνεται για την πληρότητα και τη σαφήνεια παρουσίασής του. Ο συγγραφέας ανέπτυξε ανεξάρτητα μερικά νέα αλγεβρικά παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων και ήταν ο πρώτος στην Ευρώπη που προσέγγισε την εισαγωγή αρνητικών αριθμών. Το βιβλίο του συνέβαλε στη διάδοση της αλγεβρικής γνώσης όχι μόνο στην Ιταλία, αλλά και στη Γερμανία, τη Γαλλία και άλλες ευρωπαϊκές χώρες. Πολλά προβλήματα από το Βιβλίο του Άβακα χρησιμοποιήθηκαν σχεδόν σε όλα τα ευρωπαϊκά εγχειρίδια του 16ου - 17ου αιώνα. και εν μέρει XVIII.
Ο γενικός κανόνας για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων που ανάγεται σε μια ενιαία κανονική μορφή:
x 2 +bx= γ,
για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς προσήμων συντελεστών σι, Μεδιατυπώθηκε στην Ευρώπη μόλις το 1544 από τον M. Stiefel.
Η εξαγωγή του τύπου για την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης σε γενική μορφή είναι διαθέσιμη από το Vieth, αλλά ο Vieth αναγνώρισε μόνο θετικές ρίζες. Οι Ιταλοί μαθηματικοί Tartaglia, Cardano, Bombelli ήταν από τους πρώτους τον 16ο αιώνα. Εκτός από τα θετικά, λαμβάνονται υπόψη και οι αρνητικές ρίζες. Μόλις τον 17ο αιώνα. Χάρη στην εργασία των Girard, Descartes, Newton και άλλων επιστημόνων, η μέθοδος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων παίρνει μια σύγχρονη μορφή.
1.6 Σχετικά με το θεώρημα του Vieta
Το θεώρημα που εκφράζει τη σχέση μεταξύ των συντελεστών μιας τετραγωνικής εξίσωσης και των ριζών της, που πήρε το όνομά της από τον Βιέτα, διατυπώθηκε από τον ίδιο για πρώτη φορά το 1591 ως εξής: «Αν σι + ρε, πολλαπλασιαζόμενο επί ΕΝΑ - ΕΝΑ 2 , ίσον BD, Οτι ΕΝΑισοδυναμεί ΣΕκαι ίσοι ρε».
Για να καταλάβουμε τον Βιέτα, θα πρέπει να το θυμόμαστε αυτό ΕΝΑ, όπως κάθε φωνήεν γράμμα, σήμαινε το άγνωστο (μας Χ), φωνήεντα ΣΕ,ρε- συντελεστές για το άγνωστο. Στη γλώσσα της σύγχρονης άλγεβρας, η παραπάνω διατύπωση Vieta σημαίνει: αν υπάρχει
(α +σι)x - x 2 =αβ,
x 2 - (a +σι)x + ασι = 0,
x 1 = a, x 2 =σι.
Εκφράζοντας τη σχέση μεταξύ των ριζών και των συντελεστών των εξισώσεων με τους γενικούς τύπους που γράφτηκαν χρησιμοποιώντας σύμβολα, ο Viète καθιέρωσε ομοιομορφία στις μεθόδους επίλυσης εξισώσεων. Ωστόσο, ο συμβολισμός του Βιέτ απέχει ακόμα πολύ από τη σύγχρονη μορφή του. Δεν αναγνώριζε αρνητικούς αριθμούς και επομένως, όταν έλυνε εξισώσεις, θεωρούσε μόνο περιπτώσεις όπου όλες οι ρίζες ήταν θετικές.
2. Μέθοδοι επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων
Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι το θεμέλιο πάνω στο οποίο στηρίζεται το μεγαλειώδες οικοδόμημα της άλγεβρας. Οι τετραγωνικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται ευρέως για την επίλυση τριγωνομετρικών, εκθετικών, λογαριθμικών, παράλογων και υπερβατικών εξισώσεων και ανισώσεων. Όλοι ξέρουμε πώς να λύνουμε δευτεροβάθμιες εξισώσεις από το σχολείο (8η τάξη) μέχρι την αποφοίτηση.
Τύποι για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Εξετάζονται οι περιπτώσεις πραγματικών, πολλαπλών και σύνθετων ριζών. Παραγοντοποίηση ενός τετραγωνικού τριωνύμου. Γεωμετρική ερμηνεία. Παραδείγματα προσδιορισμού ριζών και παραγοντοποίησης.
ΠεριεχόμενοΔείτε επίσης: Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων διαδικτυακά
Βασικοί τύποι
Θεωρήστε την τετραγωνική εξίσωση:
(1)
.
Ρίζες τετραγωνικής εξίσωσης(1) καθορίζονται από τους τύπους:
;
.
Αυτοί οι τύποι μπορούν να συνδυαστούν ως εξής:
.
Όταν οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι γνωστές, τότε ένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο παραγόντων (παραγοντικά):
.
Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι είναι πραγματικοί αριθμοί.
Ας σκεφτούμε διάκριση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης:
.
Εάν η διάκριση είναι θετική, τότε η τετραγωνική εξίσωση (1) έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες:
;
.
Τότε η παραγοντοποίηση του τετραγωνικού τριωνύμου έχει τη μορφή:
.
Εάν η διάκριση είναι ίση με μηδέν, τότε η τετραγωνική εξίσωση (1) έχει δύο πολλαπλές (ίσες) πραγματικές ρίζες:
.
Παραγοντοποίηση:
.
Εάν η διάκριση είναι αρνητική, τότε η τετραγωνική εξίσωση (1) έχει δύο μιγαδικές συζυγείς ρίζες:
;
.
Εδώ είναι η φανταστική μονάδα, ;
και είναι τα πραγματικά και φανταστικά μέρη των ριζών:
;
.
Επειτα
.
Γραφική ερμηνεία
Αν χτίσεις γράφημα μιας συνάρτησης
,
που είναι παραβολή, τότε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης
.
Όταν , το γράφημα τέμνει τον άξονα της τετμημένης (άξονας) σε δύο σημεία ().
Όταν , το γράφημα αγγίζει τον άξονα x σε ένα σημείο ().
Όταν , το γράφημα δεν τέμνει τον άξονα x ().
Χρήσιμοι τύποι που σχετίζονται με την τετραγωνική εξίσωση
(στ.1) ;
(στ.2) ;
(στ.3) .
Παραγωγή του τύπου για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης
Πραγματοποιούμε μετασχηματισμούς και εφαρμόζουμε τους τύπους (στ.1) και (στ.3):
,
Οπου
;
.
Έτσι, πήραμε τον τύπο για ένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού με τη μορφή:
.
Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση
εκτελείται στο
Και .
Δηλαδή και είναι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης
.
Παραδείγματα προσδιορισμού των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης
Παράδειγμα 1
(1.1)
.
.
Συγκρίνοντας με την εξίσωσή μας (1.1), βρίσκουμε τις τιμές των συντελεστών:
.
Βρίσκουμε τη διάκριση:
.
Εφόσον η διάκριση είναι θετική, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες:
;
;
.
Από εδώ προκύπτει η παραγοντοποίηση του τετραγωνικού τριωνύμου:
.
Γράφημα της συνάρτησης y = 2 x 2 + 7 x + 3τέμνει τον άξονα x σε δύο σημεία.
Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση
.
Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή. Διασχίζει τον άξονα (άξονα) της τετμημένης σε δύο σημεία:
Και .
Αυτά τα σημεία είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης (1.1).
;
;
.
Παράδειγμα 2
Βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης:
(2.1)
.
Ας γράψουμε την τετραγωνική εξίσωση σε γενική μορφή:
.
Συγκρίνοντας με την αρχική εξίσωση (2.1), βρίσκουμε τις τιμές των συντελεστών:
.
Βρίσκουμε τη διάκριση:
.
Εφόσον η διάκριση είναι μηδέν, η εξίσωση έχει δύο πολλαπλές (ίσες) ρίζες:
;
.
Τότε η παραγοντοποίηση του τριωνύμου έχει τη μορφή:
.
Γράφημα της συνάρτησης y = x 2 - 4 x + 4αγγίζει τον άξονα x σε ένα σημείο.
Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση
.
Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή. Αγγίζει τον άξονα x (άξονα) σε ένα σημείο:
.
Αυτό το σημείο είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης (2.1). Επειδή αυτή η ρίζα συνυπολογίζεται δύο φορές:
,
τότε μια τέτοια ρίζα συνήθως ονομάζεται πολλαπλή. Δηλαδή, πιστεύουν ότι υπάρχουν δύο ίσες ρίζες:
.
;
.
Παράδειγμα 3
Βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης:
(3.1)
.
Ας γράψουμε την τετραγωνική εξίσωση σε γενική μορφή:
(1)
.
Ας ξαναγράψουμε την αρχική εξίσωση (3.1):
.
Συγκρίνοντας με το (1), βρίσκουμε τις τιμές των συντελεστών:
.
Βρίσκουμε τη διάκριση:
.
Η διάκριση είναι αρνητική, . Επομένως δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.
Μπορείτε να βρείτε πολύπλοκες ρίζες:
;
;
.
Επειτα
.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν διασχίζει τον άξονα x. Δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.
Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση
.
Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή. Δεν τέμνει τον άξονα x (άξονα). Επομένως δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.
Δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες. Σύνθετες ρίζες:
;
;
.
Τετραγωνική εξίσωσηή μια εξίσωση δεύτερου βαθμού με έναν άγνωστο είναι μια εξίσωση που, μετά από μετασχηματισμούς, μπορεί να αναχθεί στην ακόλουθη μορφή:
τσεκούρι 2 + bx + ντο = 0 - τετραγωνική εξίσωση
Οπου Χ- αυτό είναι το άγνωστο, αλλά ένα, σιΚαι ντο- συντελεστές της εξίσωσης. Σε τετραγωνικές εξισώσεις έναονομάζεται ο πρώτος συντελεστής ( ένα ≠ 0), σιονομάζεται δεύτερος συντελεστής, και ντοονομάζεται γνωστό ή ελεύθερο μέλος.
Η εξίσωση:
τσεκούρι 2 + bx + ντο = 0
που ονομάζεται πλήρηςτετραγωνική εξίσωση. Αν ένας από τους συντελεστές σιή ντοισούται με μηδέν, ή και οι δύο αυτοί συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν, τότε η εξίσωση παρουσιάζεται με τη μορφή ατελούς τετραγωνικής εξίσωσης.
Μειωμένη τετραγωνική εξίσωση
Η πλήρης τετραγωνική εξίσωση μπορεί να αναχθεί σε μια πιο βολική μορφή διαιρώντας όλους τους όρους της με ένα, δηλαδή για τον πρώτο συντελεστή:
Η εξίσωση Χ 2 + px + q= 0 ονομάζεται ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση. Επομένως, οποιαδήποτε τετραγωνική εξίσωση στην οποία ο πρώτος συντελεστής είναι ίσος με 1 μπορεί να ονομαστεί μειωμένη.
Για παράδειγμα, η εξίσωση:
Χ 2 + 10Χ - 5 = 0
μειώνεται και η εξίσωση:
3Χ 2 + 9Χ - 12 = 0
μπορεί να αντικατασταθεί από την παραπάνω εξίσωση, διαιρώντας όλους τους όρους της με -3:
Χ 2 - 3Χ + 4 = 0
Επίλυση Τετραγωνικών Εξισώσεων
Για να λύσετε μια δευτεροβάθμια εξίσωση, πρέπει να τη μειώσετε σε μία από τις ακόλουθες μορφές:
τσεκούρι 2 + bx + ντο = 0
τσεκούρι 2 + 2kx + ντο = 0
Χ 2 + px + q = 0
Για κάθε τύπο εξίσωσης υπάρχει ο δικός του τύπος για την εύρεση ριζών:
Προσέξτε την εξίσωση:
τσεκούρι 2 + 2kx + ντο = 0
αυτή είναι η μετασχηματισμένη εξίσωση τσεκούρι 2 + bx + ντο= 0, στην οποία ο συντελεστής σι- ακόμη, που σας επιτρέπει να το αντικαταστήσετε με τον τύπο 2 κ. Επομένως, ο τύπος για την εύρεση των ριζών για αυτήν την εξίσωση μπορεί να απλοποιηθεί αντικαθιστώντας το 2 σε αυτήν καντί σι:
Παράδειγμα 1.Λύστε την εξίσωση:
3Χ 2 + 7Χ + 2 = 0
Δεδομένου ότι ο δεύτερος συντελεστής στην εξίσωση δεν είναι ζυγός αριθμός και ο πρώτος συντελεστής δεν είναι ίσος με ένα, θα αναζητήσουμε ρίζες χρησιμοποιώντας τον πρώτο τύπο, που ονομάζεται γενικός τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Αρχικά
ένα = 3, σι = 7, ντο = 2
Τώρα, για να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης, απλώς αντικαθιστούμε τις τιμές των συντελεστών στον τύπο:
| Χ 1 = | -2 | = - | 1 | , Χ 2 = | -12 | = -2 |
| 6 | 3 | 6 |
| Απάντηση: - | 1 | , -2. |
| 3 |
Παράδειγμα 2:
Χ 2 - 4Χ - 60 = 0
Ας προσδιορίσουμε ποιοι είναι οι συντελεστές:
ένα = 1, σι = -4, ντο = -60
Δεδομένου ότι ο δεύτερος συντελεστής στην εξίσωση είναι ένας ζυγός αριθμός, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τις τετραγωνικές εξισώσεις με έναν άρτιο δεύτερο συντελεστή:
Χ 1 = 2 + 8 = 10, Χ 2 = 2 - 8 = -6
Απάντηση: 10, -6.
Παράδειγμα 3.
y 2 + 11y = y - 25
Ας φέρουμε την εξίσωση στη γενική της μορφή:
y 2 + 11y = y - 25
y 2 + 11y - y + 25 = 0
y 2 + 10y + 25 = 0
Ας προσδιορίσουμε ποιοι είναι οι συντελεστές:
ένα = 1, Π = 10, q = 25
Δεδομένου ότι ο πρώτος συντελεστής είναι ίσος με 1, θα αναζητήσουμε ρίζες χρησιμοποιώντας τον τύπο για τις παραπάνω εξισώσεις με έναν άρτιο δεύτερο συντελεστή:
Απάντηση: -5.
Παράδειγμα 4.
Χ 2 - 7Χ + 6 = 0
Ας προσδιορίσουμε ποιοι είναι οι συντελεστές:
ένα = 1, Π = -7, q = 6
Δεδομένου ότι ο πρώτος συντελεστής είναι ίσος με 1, θα αναζητήσουμε ρίζες χρησιμοποιώντας τον τύπο για τις παραπάνω εξισώσεις με περιττό δεύτερο συντελεστή:
Χ 1 = (7 + 5) : 2 = 6, Χ 2 = (7 - 5) : 2 = 1