Βρείτε τη βάση του συστήματος διανυσμάτων και διανυσμάτων που δεν περιλαμβάνονται στη βάση, επεκτείνετε τα σύμφωνα με τη βάση:

ΕΝΑ 1 = {5, 2, -3, 1}, ΕΝΑ 2 = {4, 1, -2, 3}, ΕΝΑ 3 = {1, 1, -1, -2}, ΕΝΑ 4 = {3, 4, -1, 2}, ΕΝΑ 5 = {13, 8, -7, 4}.

Λύση. Θεωρήστε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων

ΕΝΑ 1 Χ 1 + ΕΝΑ 2 Χ 2 + ΕΝΑ 3 Χ 3 + ΕΝΑ 4 Χ 4 + ΕΝΑ 5 Χ 5 = 0

ή σε διευρυμένη μορφή .

Θα λύσουμε αυτό το σύστημα με τη μέθοδο Gaussian, χωρίς να αλλάξουμε γραμμές και στήλες και, επιπλέον, επιλέγοντας το κύριο στοιχείο όχι στην επάνω αριστερή γωνία, αλλά σε ολόκληρη τη σειρά. Η πρόκληση είναι να επιλέξτε το διαγώνιο τμήμα του μετασχηματισμένου συστήματος διανυσμάτων.

~ ~

~ ~ ~ .

Το επιτρεπόμενο σύστημα διανυσμάτων, ισοδύναμο με το αρχικό, έχει τη μορφή

ΕΝΑ 1 1 Χ 1 + ΕΝΑ 2 1 Χ 2 + ΕΝΑ 3 1 Χ 3 + ΕΝΑ 4 1 Χ 4 + ΕΝΑ 5 1 Χ 5 = 0 ,

Οπου ΕΝΑ 1 1 = , ΕΝΑ 2 1 = , ΕΝΑ 3 1 = , ΕΝΑ 4 1 = , ΕΝΑ 5 1 = . (1)

Διανύσματα ΕΝΑ 1 1 , ΕΝΑ 3 1 , ΕΝΑ 4 1 σχηματίζουν ένα διαγώνιο σύστημα. Επομένως, τα διανύσματα ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 3 , ΕΝΑ 4 αποτελούν τη βάση του διανυσματικού συστήματος ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 , ΕΝΑ 3 , ΕΝΑ 4 , ΕΝΑ 5 .

Ας επεκτείνουμε τώρα τα διανύσματα ΕΝΑ 2 Και ΕΝΑ 5 με βάση ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 3 , ΕΝΑ 4 . Για να γίνει αυτό, επεκτείνουμε πρώτα τα αντίστοιχα διανύσματα ΕΝΑ 2 1 Και ΕΝΑ 5 1 διαγώνιο σύστημα ΕΝΑ 1 1 , ΕΝΑ 3 1 , ΕΝΑ 4 1, έχοντας υπόψη ότι οι συντελεστές διαστολής ενός διανύσματος στο διαγώνιο σύστημα είναι οι συντεταγμένες του x i.

Από το (1) έχουμε:

ΕΝΑ 2 1 = ΕΝΑ 3 1 · (-1) + ΕΝΑ 4 1 0 + ΕΝΑ 1 1 ·1 => ΕΝΑ 2 1 = ΕΝΑ 1 1 – ΕΝΑ 3 1 .

ΕΝΑ 5 1 = ΕΝΑ 3 1 0 + ΕΝΑ 4 1 1 + ΕΝΑ 1 1 ·2 => ΕΝΑ 5 1 = 2ΕΝΑ 1 1 + ΕΝΑ 4 1 .

Διανύσματα ΕΝΑ 2 Και ΕΝΑ 5 επεκτείνονται σε βάση ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 3 , ΕΝΑ 4 με τους ίδιους συντελεστές με τα διανύσματα ΕΝΑ 2 1 Και ΕΝΑ 5 1 διαγώνιο σύστημα ΕΝΑ 1 1 , ΕΝΑ 3 1 , ΕΝΑ 4 1 (αυτοί οι συντελεστές x i). Ως εκ τούτου,

ΕΝΑ 2 = ΕΝΑ 1 – ΕΝΑ 3 , ΕΝΑ 5 = 2ΕΝΑ 1 + ΕΝΑ 4 .

Καθήκοντα. 1Βρείτε τη βάση του συστήματος των διανυσμάτων και των διανυσμάτων που δεν περιλαμβάνονται στη βάση, επεκτείνετε τα σύμφωνα με τη βάση:

1. ένα 1 = { 1, 2, 1 }, ένα 2 = { 2, 1, 3 }, ένα 3 = { 1, 5, 0 }, ένα 4 = { 2, -2, 4 }.

2. ένα 1 = { 1, 1, 2 }, ένα 2 = { 0, 1, 2 }, ένα 3 = { 2, 1, -4 }, ένα 4 = { 1, 1, 0 }.

3. ένα 1 = { 1, -2, 3 }, ένα 2 = { 0, 1, -1 }, ένα 3 = { 1, 3, 0 }, ένα 4 = { 0, -7, 3 }, ένα 5 = { 1, 1, 1 }.

4. ένα 1 = { 1, 2, -2 }, ένα 2 = { 0, -1, 4 }, ένα 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Βρείτε όλες τις βάσεις του διανυσματικού συστήματος:

1. ένα 1 = { 1, 1, 2 }, ένα 2 = { 3, 1, 2 }, ένα 3 = { 1, 2, 1 }, ένα 4 = { 2, 1, 2 }.

2. ένα 1 = { 1, 1, 1 }, ένα 2 = { -3, -5, 5 }, ένα 3 = { 3, 4, -1 }, ένα 4 = { 1, -1, 4 }.

Στο άρθρο για τα διανύσματα ν-διάστατων, καταλήξαμε στην έννοια ενός γραμμικού χώρου που δημιουργείται από ένα σύνολο διανυσμάτων ν-διαστάσεων. Τώρα πρέπει να εξετάσουμε εξίσου σημαντικές έννοιες, όπως η διάσταση και η βάση ενός διανυσματικού χώρου. Σχετίζονται άμεσα με την έννοια ενός γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος διανυσμάτων, επομένως συνιστάται επιπλέον να υπενθυμίσετε στον εαυτό σας τα βασικά αυτού του θέματος.

Ας εισαγάγουμε ορισμένους ορισμούς.

Ορισμός 1

Διάσταση διανυσματικού χώρου– έναν αριθμό που αντιστοιχεί στον μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων σε αυτό το διάστημα.

Ορισμός 2

Διάνυσμα βάση χώρου– ένα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων, ταξινομημένων και ίσων σε αριθμό με τη διάσταση του χώρου.

Ας θεωρήσουμε έναν ορισμένο χώρο n-διανυσμάτων. Η διάστασή του είναι αντίστοιχα ίση με n. Ας πάρουμε ένα σύστημα διανυσμάτων n-μονάδων:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Χρησιμοποιούμε αυτά τα διανύσματα ως συστατικά στοιχεία του πίνακα Α: θα είναι μοναδιαία μήτρα με διάσταση n επί n. Η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι n. Επομένως, το διανυσματικό σύστημα e (1) , e (2) , . . . , το e(n) είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Σε αυτή την περίπτωση, είναι αδύνατο να προστεθεί ένα μόνο διάνυσμα στο σύστημα χωρίς να παραβιαστεί η γραμμική του ανεξαρτησία.

Εφόσον ο αριθμός των διανυσμάτων στο σύστημα είναι n, τότε η διάσταση του χώρου των διανυσμάτων n διαστάσεων είναι n και τα μοναδιαία διανύσματα είναι e (1), e (2), . . . , e(n) είναι η βάση του καθορισμένου χώρου.

Από τον ορισμό που προκύπτει μπορούμε να συμπεράνουμε: οποιοδήποτε σύστημα n-διαστάσεων διανυσμάτων στο οποίο ο αριθμός των διανυσμάτων είναι μικρότερος από n δεν αποτελεί βάση του χώρου.

Αν ανταλλάξουμε το πρώτο και το δεύτερο διάνυσμα, θα έχουμε ένα σύστημα διανυσμάτων e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Θα είναι επίσης η βάση ενός διανυσματικού χώρου ν-διάστατων. Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα παίρνοντας τα διανύσματα του προκύπτοντος συστήματος ως σειρές του. Ο πίνακας μπορεί να ληφθεί από τον πίνακα ταυτότητας ανταλλάσσοντας τις δύο πρώτες σειρές, η κατάταξή του θα είναι n. Σύστημα e (2) , e (1) , . . . , το e(n) είναι γραμμικά ανεξάρτητο και είναι η βάση ενός διανυσματικού χώρου n-διάστάσεων.

Με την αναδιάταξη άλλων διανυσμάτων στο αρχικό σύστημα, λαμβάνουμε μια άλλη βάση.

Μπορούμε να πάρουμε ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα μη μοναδιαίων διανυσμάτων και θα αντιπροσωπεύει επίσης τη βάση ενός διανυσματικού χώρου ν-διάστατων.

Ορισμός 3

Ένας διανυσματικός χώρος με διάσταση n έχει τόσες βάσεις όσες υπάρχουν γραμμικά ανεξάρτητα συστήματα ν-διαστάσεων διανυσμάτων του αριθμού n.

Το επίπεδο είναι ένας δισδιάστατος χώρος - η βάση του θα είναι οποιαδήποτε δύο μη συγγραμμικά διανύσματα. Η βάση του τρισδιάστατου χώρου θα είναι οποιαδήποτε τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα.

Ας εξετάσουμε την εφαρμογή αυτής της θεωρίας χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Αρχικά δεδομένα:φορείς

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί εάν τα καθορισμένα διανύσματα αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου διανυσματικού χώρου.

Λύση

Για να λύσουμε το πρόβλημα, μελετάμε το δεδομένο σύστημα διανυσμάτων για γραμμική εξάρτηση. Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα, όπου οι σειρές είναι οι συντεταγμένες των διανυσμάτων. Ας προσδιορίσουμε την κατάταξη του πίνακα.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Συνεπώς, τα διανύσματα που καθορίζονται από τη συνθήκη του προβλήματος είναι γραμμικά ανεξάρτητα και ο αριθμός τους είναι ίσος με τη διάσταση του διανυσματικού χώρου - αποτελούν τη βάση του διανυσματικού χώρου.

Απάντηση:τα υποδεικνυόμενα διανύσματα είναι η βάση του διανυσματικού χώρου.

Παράδειγμα 2

Αρχικά δεδομένα:φορείς

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί εάν το καθορισμένο σύστημα διανυσμάτων μπορεί να είναι η βάση του τρισδιάστατου χώρου.

Λύση

Το σύστημα των διανυσμάτων που καθορίζεται στη δήλωση προβλήματος εξαρτάται γραμμικά, επειδή ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων είναι 3. Έτσι, το υποδεικνυόμενο σύστημα διανυσμάτων δεν μπορεί να χρησιμεύσει ως βάση για έναν τρισδιάστατο διανυσματικό χώρο. Αξίζει όμως να σημειωθεί ότι το υποσύστημα του αρχικού συστήματος a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) είναι μια βάση.

Απάντηση:το υποδεικνυόμενο σύστημα διανυσμάτων δεν αποτελεί βάση.

Παράδειγμα 3

Αρχικά δεδομένα:φορείς

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Μπορούν να αποτελέσουν τη βάση του τετραδιάστατου χώρου;

Λύση

Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των δεδομένων διανυσμάτων ως σειρές

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian, προσδιορίζουμε την κατάταξη του πίνακα:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Κατά συνέπεια, το σύστημα των δεδομένων διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο και ο αριθμός τους είναι ίσος με τη διάσταση του διανυσματικού χώρου - αποτελούν τη βάση ενός τετραδιάστατου διανυσματικού χώρου.

Απάντηση: δεδομένων διανυσμάτωναποτελούν τη βάση του τετραδιάστατου χώρου.

Παράδειγμα 4

Αρχικά δεδομένα:φορείς

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Αποτελούν τη βάση ενός χώρου διάστασης 4;

Λύση

Το αρχικό σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αλλά ο αριθμός των διανυσμάτων σε αυτό δεν επαρκεί για να γίνει η βάση ενός τετραδιάστατου χώρου.

Απάντηση:όχι, δεν το κάνουν.

Αποσύνθεση ενός διανύσματος σε βάση

Ας υποθέσουμε ότι τα αυθαίρετα διανύσματα e (1) , e (2) , . . . , e (n) είναι η βάση ενός διανυσματικού χώρου n διαστάσεων. Ας προσθέσουμε σε αυτά ένα ορισμένο διάνυσμα n-διαστάσεων x →: το προκύπτον σύστημα διανυσμάτων θα γίνει γραμμικά εξαρτώμενο. Οι ιδιότητες της γραμμικής εξάρτησης δηλώνουν ότι τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα ενός τέτοιου συστήματος μπορεί να εκφραστεί γραμμικά μέσω των άλλων. Αναδιατυπώνοντας αυτή τη δήλωση, μπορούμε να πούμε ότι τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα ενός γραμμικά εξαρτώμενου συστήματος μπορεί να επεκταθεί στα υπόλοιπα διανύσματα.

Έτσι, καταλήξαμε στη διατύπωση του πιο σημαντικού θεωρήματος:

Ορισμός 4

Οποιοδήποτε διάνυσμα ενός διανυσματικού χώρου n διαστάσεων μπορεί να αποσυντεθεί μοναδικά σε μια βάση.

Αποδεικτικά στοιχεία 1

Ας αποδείξουμε αυτό το θεώρημα:

ας θέσουμε τη βάση του ν-διάστατου διανυσματικού χώρου - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Ας κάνουμε το σύστημα γραμμικά εξαρτημένο προσθέτοντας ένα διάνυσμα n διαστάσεων x → σε αυτό. Αυτό το διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί γραμμικά ως προς τα αρχικά διανύσματα π.χ.

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , όπου x 1 , x 2 , . . . , x n - ορισμένοι αριθμοί.

Τώρα αποδεικνύουμε ότι μια τέτοια αποσύνθεση είναι μοναδική. Ας υποθέσουμε ότι αυτό δεν συμβαίνει και υπάρχει μια άλλη παρόμοια αποσύνθεση:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , όπου x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - ορισμένοι αριθμοί.

Ας αφαιρέσουμε από την αριστερή και τη δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας, αντίστοιχα, την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της ισότητας x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Παίρνουμε:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Σύστημα διανυσμάτων βάσης e (1) , e (2) , . . . , το e(n) είναι γραμμικά ανεξάρτητο. εξ ορισμού της γραμμικής ανεξαρτησίας ενός συστήματος διανυσμάτων, η παραπάνω ισότητα είναι δυνατή μόνο όταν όλοι οι συντελεστές είναι (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) θα είναι ίσο με μηδέν. Από το οποίο θα είναι δίκαιο: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Και αυτό αποδεικνύει τη μοναδική επιλογή για την αποσύνθεση ενός διανύσματος σε βάση.

Στην περίπτωση αυτή, οι συντελεστές x 1, x 2, . . . , x n λέγονται οι συντεταγμένες του διανύσματος x → στη βάση e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Η αποδεδειγμένη θεωρία καθιστά σαφή την έκφραση «δεδομένου ενός διανυσματικού διανύσματος x = (x 1 , x 2 , . . . . . , x n)»: θεωρείται ένας διανυσματικός χώρος x → n-διάστατος διανυσματικός χώρος και οι συντεταγμένες του καθορίζονται σε ένα ορισμένη βάση. Είναι επίσης σαφές ότι το ίδιο διάνυσμα σε μια άλλη βάση n-διάστατου χώρου θα έχει διαφορετικές συντεταγμένες.

Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα: ας υποθέσουμε ότι σε κάποια βάση n-διάστατου διανυσματικού χώρου δίνεται ένα σύστημα n γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων

και επίσης δίνεται το διάνυσμα x = (x 1 , x 2 , . . . . , x n).

Διανύσματα e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) σε αυτή την περίπτωση είναι επίσης η βάση αυτού του διανυσματικού χώρου.

Ας υποθέσουμε ότι είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες του διανύσματος x → στη βάση e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , συμβολίζεται ως x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Το διάνυσμα x → θα αναπαρασταθεί ως εξής:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Ας γράψουμε αυτή την έκφραση σε συντεταγμένη μορφή:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . + x ~ n e 2 (n) , .

Η ισότητα που προκύπτει είναι ισοδύναμη με ένα σύστημα n γραμμικών αλγεβρικών παραστάσεων με n άγνωστες γραμμικές μεταβλητές x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Ο πίνακας αυτού του συστήματος θα έχει την εξής μορφή:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Ας είναι αυτός ένας πίνακας A, και οι στήλες του είναι διανύσματα ενός γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος διανυσμάτων e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Η κατάταξη του πίνακα είναι n και ο προσδιοριστής του είναι μη μηδενικός. Αυτό δείχνει ότι το σύστημα εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση, που προσδιορίζεται με οποιαδήποτε βολική μέθοδο: για παράδειγμα, τη μέθοδο Cramer ή τη μέθοδο matrix. Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n διάνυσμα x → στη βάση e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Ας εφαρμόσουμε την εξεταζόμενη θεωρία σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Παράδειγμα 6

Αρχικά δεδομένα:τα διανύσματα καθορίζονται με βάση τον τρισδιάστατο χώρο

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Είναι απαραίτητο να επιβεβαιωθεί το γεγονός ότι το σύστημα των διανυσμάτων e (1), e (2), e (3) χρησιμεύει επίσης ως βάση ενός δεδομένου χώρου, και επίσης να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες του διανύσματος x σε μια δεδομένη βάση.

Λύση

Το σύστημα των διανυσμάτων e (1), e (2), e (3) θα είναι η βάση του τρισδιάστατου χώρου εάν είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Ας μάθουμε αυτή τη δυνατότητα προσδιορίζοντας την κατάταξη του πίνακα A, οι σειρές του οποίου είναι τα δεδομένα διανύσματα e (1), e (2), e (3).

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο Gaussian:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Έτσι, το σύστημα των διανυσμάτων e (1), e (2), e (3) είναι γραμμικά ανεξάρτητο και αποτελεί βάση.

Έστω το διάνυσμα x → έχει συντεταγμένες x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 στη βάση. Η σχέση μεταξύ αυτών των συντεταγμένων καθορίζεται από την εξίσωση:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Ας εφαρμόσουμε τις τιμές σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Ας λύσουμε το σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Έτσι, το διάνυσμα x → στη βάση e (1), e (2), e (3) έχει συντεταγμένες x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Απάντηση: x = (1, 1, 1)

Σχέση μεταξύ βάσεων

Ας υποθέσουμε ότι σε κάποια βάση του ν-διάστατου διανυσματικού χώρου δίδονται δύο γραμμικά ανεξάρτητα συστήματα διανυσμάτων:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Αυτά τα συστήματα είναι επίσης βάσεις ενός δεδομένου χώρου.

Έστω c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - συντεταγμένες του διανύσματος c (1) στη βάση e (1) , e (2) , . . . , e (3) , τότε η σχέση συντεταγμένων θα δοθεί από ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Το σύστημα μπορεί να αναπαρασταθεί ως μήτρα ως εξής:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Ας κάνουμε την ίδια καταχώρηση για το διάνυσμα c (2) κατ' αναλογία:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Ας συνδυάσουμε τις ισότητες του πίνακα σε μία έκφραση:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Θα καθορίσει τη σύνδεση μεταξύ των διανυσμάτων δύο διαφορετικών βάσεων.

Χρησιμοποιώντας την ίδια αρχή, είναι δυνατή η έκφραση όλων των διανυσμάτων βάσης e(1), e(2), . . . , e (3) μέσω της βάσης c (1) , c (2) , . . . , γ (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Ας δώσουμε τους παρακάτω ορισμούς:

Ορισμός 5

Πίνακας c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) είναι ο πίνακας μετάβασης από τη βάση e (1) , e (2) , . . . , ε (3)

στη βάση c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Ορισμός 6

Πίνακας e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) είναι ο πίνακας μετάβασης από τη βάση c (1) , c (2) , . . . , c(n)

στη βάση e (1) , e (2) , . . . , ε (3) .

Από αυτές τις ισότητες είναι προφανές ότι

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

εκείνοι. οι πίνακες μετάβασης είναι αμφίδρομοι.

Ας δούμε τη θεωρία χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Παράδειγμα 7

Αρχικά δεδομένα:είναι απαραίτητο να βρεθεί ο πίνακας μετάβασης από τη βάση

γ (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​γ (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Πρέπει επίσης να υποδείξετε τη σχέση μεταξύ των συντεταγμένων ενός αυθαίρετου διανύσματος x → στις δεδομένες βάσεις.

Λύση

1. Έστω T ο πίνακας μετάβασης, τότε η ισότητα θα είναι αληθής:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της ισότητας επί

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

και παίρνουμε:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Ορίστε τον πίνακα μετάβασης:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Ας ορίσουμε τη σχέση μεταξύ των συντεταγμένων του διανύσματος x → :

Ας υποθέσουμε ότι στη βάση c (1) , c (2) , . . . , c (n) διάνυσμα x → έχει συντεταγμένες x 1 , x 2 , x 3 , τότε:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

και στη βάση e (1) , e (2) , . . . , e (3) έχει συντεταγμένες x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, τότε:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Επειδή Εάν οι αριστερές πλευρές αυτών των ισοτήτων είναι ίσες, μπορούμε να εξισώσουμε και τις δεξιές πλευρές:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές στα δεξιά με

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

και παίρνουμε:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Στην άλλη πλευρά

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Οι τελευταίες ισότητες δείχνουν τη σχέση μεταξύ των συντεταγμένων του διανύσματος x → και στις δύο βάσεις.

Απάντηση:μήτρα μετάβασης

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Οι συντεταγμένες του διανύσματος x → στις δεδομένες βάσεις σχετίζονται με τη σχέση:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Έκφραση της φόρμας που ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων A 1 , A 2 ,...,A nμε πιθανότητες λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Προσδιορισμός γραμμικής εξάρτησης συστήματος διανυσμάτων

Διανυσματικό σύστημα A 1 , A 2 ,...,A nπου ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενος, αν υπάρχει ένα μη μηδενικό σύνολο αριθμών λ 1, λ 2 ,...,λ n, στην οποία ο γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nίσο με το μηδενικό διάνυσμα, δηλαδή το σύστημα των εξισώσεων: έχει μη μηδενική λύση.
Σύνολο αριθμών λ 1, λ 2 ,...,λ n είναι μη μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς λ 1, λ 2 ,...,λ n διαφορετικό από το μηδέν.

Προσδιορισμός γραμμικής ανεξαρτησίας συστήματος διανυσμάτων

Διανυσματικό σύστημα A 1 , A 2 ,...,A nπου ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητη, εάν ο γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nίσο με το μηδενικό διάνυσμα μόνο για ένα μηδενικό σύνολο αριθμών λ 1, λ 2 ,...,λ n , δηλαδή το σύστημα των εξισώσεων: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θέχει μια μοναδική λύση μηδέν.

Παράδειγμα 29.1

Ελέγξτε εάν ένα σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά

Λύση:

1. Συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

2. Το λύνουμε με τη μέθοδο Gauss. Οι μετασχηματισμοί Jordanano του συστήματος δίνονται στον Πίνακα 29.1. Κατά τον υπολογισμό, οι δεξιές πλευρές του συστήματος δεν καταγράφονται αφού είναι ίσες με μηδέν και δεν αλλάζουν κατά τους μετασχηματισμούς Jordan.

3. Από τις τρεις τελευταίες σειρές του πίνακα καταγράψτε ένα επιλυμένο σύστημα ισοδύναμο με το αρχικόΣύστημα:

4. Λαμβάνουμε τη γενική λύση του συστήματος:

5. Έχοντας ορίσει την τιμή της δωρεάν μεταβλητής x 3 =1 κατά την κρίση σας, παίρνουμε μια συγκεκριμένη μη μηδενική λύσηΧ=(-3,2,1).

Απάντηση: Έτσι, για ένα μη μηδενικό σύνολο αριθμών (-3,2,1), ο γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων ισούται με το μηδενικό διάνυσμα -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Ως εκ τούτου, διανυσματικό σύστημα γραμμικά εξαρτώμενο.

Ιδιότητες διανυσματικών συστημάτων

Ακίνητα (1)
Εάν ένα σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά εξαρτώμενο, τότε τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα επεκτείνεται ως προς τα άλλα και, αντιστρόφως, εάν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα του συστήματος επεκτείνεται ως προς τα άλλα, τότε το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά.

Ακίνητα (2)
Εάν οποιοδήποτε υποσύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, τότε ολόκληρο το σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

Ακίνητα (3)
Εάν ένα σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε οποιοδήποτε υποσύστημά του είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Ακίνητα (4)
Οποιοδήποτε σύστημα διανυσμάτων που περιέχει μηδενικό διάνυσμα εξαρτάται γραμμικά.

Ακίνητα (5)
Ένα σύστημα διανυσμάτων m-διαστάσεων εξαρτάται πάντα γραμμικά αν ο αριθμός των διανυσμάτων n είναι μεγαλύτερος από τη διάστασή τους (n>m)

Βάση του διανυσματικού συστήματος

Η βάση του διανυσματικού συστήματος A 1 , A 2 ,..., A n ένα τέτοιο υποσύστημα B 1 , B 2 ,...,B r λέγεται(καθένα από τα διανύσματα B 1, B 2,..., B r είναι ένα από τα διανύσματα A 1, A 2,..., A n), το οποίο ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:
1. B 1 ,B 2 ,...,B rγραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων.
2. οποιοδήποτε διάνυσμα A j σύστημα A 1 , A 2 ,..., A n εκφράζεται γραμμικά μέσω των διανυσμάτων B 1 , B 2 ,..., B r

r— τον αριθμό των διανυσμάτων που περιλαμβάνονται στη βάση.

Θεώρημα 29.1 Με βάση τη μονάδα ενός συστήματος διανυσμάτων.

Εάν ένα σύστημα διανυσμάτων m διαστάσεων περιέχει m διαφορετικά μοναδιαία διανύσματα E 1 E 2 ,..., E m , τότε αποτελούν τη βάση του συστήματος.

Αλγόριθμος για την εύρεση της βάσης ενός συστήματος διανυσμάτων

Για να βρεθεί η βάση του συστήματος των διανυσμάτων A 1 ,A 2 ,...,A n είναι απαραίτητο:

• Δημιουργήστε ένα ομοιογενές σύστημα εξισώσεων που αντιστοιχεί στο σύστημα των διανυσμάτων A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Φέρτε αυτό το σύστημα

Όταν εξετάσαμε τις έννοιες ενός ν-διάστατου διανύσματος και εισαγάγαμε πράξεις σε διανύσματα, ανακαλύψαμε ότι το σύνολο όλων των διανυσμάτων n-διαστάσεων δημιουργεί έναν γραμμικό χώρο. Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσουμε για τις πιο σημαντικές σχετικές έννοιες - τη διάσταση και τη βάση ενός διανυσματικού χώρου. Θα εξετάσουμε επίσης το θεώρημα για την επέκταση ενός αυθαίρετου διανύσματος σε βάση και τη σύνδεση μεταξύ διαφόρων βάσεων του ν-διάστατου χώρου. Ας εξετάσουμε λεπτομερώς τις λύσεις σε τυπικά παραδείγματα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Η έννοια της διάστασης του διανυσματικού χώρου και βάσης.

Οι έννοιες της διάστασης και της βάσης ενός διανυσματικού χώρου σχετίζονται άμεσα με την έννοια ενός γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος διανυσμάτων, επομένως, εάν είναι απαραίτητο, σας συνιστούμε να ανατρέξετε στο άρθρο γραμμική εξάρτηση ενός συστήματος διανυσμάτων, ιδιότητες γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας .

Ορισμός.

Διάσταση διανυσματικού χώρουείναι ένας αριθμός ίσος με τον μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων σε αυτό το διάστημα.

Ορισμός.

Διάνυσμα βάση χώρουείναι ένα διατεταγμένο σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων αυτού του χώρου, ο αριθμός των οποίων είναι ίσος με τη διάσταση του χώρου.

Ας δώσουμε κάποιους συλλογισμούς με βάση αυτούς τους ορισμούς.

Θεωρήστε το χώρο των διανυσμάτων n-διαστάσεων.

Ας δείξουμε ότι η διάσταση αυτού του χώρου είναι n.

Ας πάρουμε ένα σύστημα n μονάδων διανυσμάτων της μορφής

Ας πάρουμε αυτά τα διανύσματα ως σειρές του πίνακα A. Σε αυτήν την περίπτωση, ο πίνακας Α θα είναι ένας πίνακας ταυτότητας με διάσταση n επί n. Η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι n (δείτε άρθρο εάν είναι απαραίτητο). Επομένως, το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο και δεν μπορεί να προστεθεί ούτε ένα διάνυσμα σε αυτό το σύστημα χωρίς να παραβιαστεί η γραμμική του ανεξαρτησία. Δεδομένου ότι ο αριθμός των διανυσμάτων στο σύστημα ισούται με n, λοιπόν η διάσταση του χώρου των ν-διαστάσεων διανυσμάτων είναι n και τα μοναδιαία διανύσματα αποτελούν τη βάση αυτού του χώρου.

Από την τελευταία δήλωση και τον ορισμό της βάσης μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οποιοδήποτε σύστημα ν-διάστατων διανυσμάτων, ο αριθμός των διανυσμάτων στα οποία είναι μικρότερος από n, δεν αποτελεί βάση.

Τώρα ας ανταλλάξουμε το πρώτο και το δεύτερο διάνυσμα του συστήματος . Είναι εύκολο να δείξουμε ότι το προκύπτον σύστημα διανυσμάτων είναι επίσης μια βάση ενός διανυσματικού χώρου ν-διάστατων. Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα παίρνοντας τα διανύσματα αυτού του συστήματος ως σειρές του. Αυτός ο πίνακας μπορεί να ληφθεί από τον πίνακα ταυτότητας ανταλλάσσοντας την πρώτη και τη δεύτερη σειρά, επομένως η κατάταξή του θα είναι n. Έτσι, ένα σύστημα n διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο και αποτελεί τη βάση ενός διανυσματικού χώρου ν-διάστατων.

Αν αναδιατάξουμε άλλα διανύσματα του συστήματος , τότε παίρνουμε άλλη βάση.

Αν πάρουμε ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων που δεν είναι μονάδες, τότε είναι επίσης η βάση ενός διανυσματικού χώρου ν-διάστατων.

Ετσι, ένας διανυσματικός χώρος διάστασης n έχει τόσες βάσεις όσες υπάρχουν γραμμικά ανεξάρτητα συστήματα διανυσμάτων n n διαστάσεων.

Αν μιλάμε για ένα δισδιάστατο διανυσματικό χώρο (δηλαδή για ένα επίπεδο), τότε η βάση του είναι οποιαδήποτε δύο μη γραμμικά διανύσματα. Η βάση του τρισδιάστατου χώρου είναι οποιαδήποτε τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Είναι τα διανύσματα η βάση του τρισδιάστατου διανυσματικού χώρου;

Λύση.

Ας εξετάσουμε αυτό το σύστημα διανυσμάτων για γραμμική εξάρτηση. Για να γίνει αυτό, ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα του οποίου οι σειρές θα είναι οι συντεταγμένες των διανυσμάτων και ας βρούμε την κατάταξή του:


Έτσι, τα διανύσματα a, b και c είναι γραμμικά ανεξάρτητα και ο αριθμός τους είναι ίσος με τη διάσταση του διανυσματικού χώρου, επομένως αποτελούν τη βάση αυτού του χώρου.

Απάντηση:

Ναι είναι.

Παράδειγμα.

Μπορεί ένα σύστημα διανυσμάτων να είναι η βάση ενός διανυσματικού χώρου;

Λύση.

Αυτό το σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, αφού ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων τρισδιάστατων διανυσμάτων είναι τρία. Κατά συνέπεια, αυτό το σύστημα διανυσμάτων δεν μπορεί να είναι η βάση ενός τρισδιάστατου διανυσματικού χώρου (αν και ένα υποσύστημα του αρχικού συστήματος διανυσμάτων είναι μια βάση).

Απάντηση:

ΟΧΙ δεν ΜΠΟΡΕΙ.

Παράδειγμα.

Βεβαιωθείτε ότι τα διανύσματα

μπορεί να αποτελέσει τη βάση ενός τετραδιάστατου διανυσματικού χώρου.

Λύση.

Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα παίρνοντας τα αρχικά διανύσματα ως σειρές του:

Ας βρούμε:

Έτσι, το σύστημα των διανυσμάτων a, b, c, d είναι γραμμικά ανεξάρτητο και ο αριθμός τους είναι ίσος με τη διάσταση του διανυσματικού χώρου, επομένως τα a, b, c, d αποτελούν τη βάση του.

Απάντηση:

Τα αρχικά διανύσματα είναι πράγματι η βάση του τετραδιάστατου χώρου.

Παράδειγμα.

Τα διανύσματα αποτελούν τη βάση ενός διανυσματικού χώρου διάστασης 4;

Λύση.

Ακόμα κι αν το αρχικό σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, ο αριθμός των διανυσμάτων σε αυτό δεν αρκεί για να είναι η βάση ενός τετραδιάστατου χώρου (η βάση ενός τέτοιου χώρου αποτελείται από 4 διανύσματα).

Απάντηση:

Όχι, δεν το κάνει.

Αποσύνθεση ενός διανύσματος σύμφωνα με τη βάση του διανυσματικού χώρου.

Έστω αυθαίρετα διανύσματα αποτελούν τη βάση ενός ν-διάστατου διανυσματικού χώρου. Εάν προσθέσουμε κάποιο διάνυσμα n διαστάσεων x σε αυτά, τότε το προκύπτον σύστημα διανυσμάτων θα εξαρτάται γραμμικά. Από τις ιδιότητες της γραμμικής εξάρτησης γνωρίζουμε ότι τουλάχιστον ένα διάνυσμα ενός γραμμικά εξαρτημένου συστήματος εκφράζεται γραμμικά μέσω των άλλων. Με άλλα λόγια, τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα ενός γραμμικά εξαρτώμενου συστήματος επεκτείνεται στα υπόλοιπα διανύσματα.

Αυτό μας φέρνει σε ένα πολύ σημαντικό θεώρημα.

Θεώρημα.

Οποιοδήποτε διάνυσμα ενός διανυσματικού χώρου n διαστάσεων μπορεί να αποσυντεθεί μοναδικά σε μια βάση.

Απόδειξη.

Αφήνω - βάση του ν-διάστατου διανυσματικού χώρου. Ας προσθέσουμε ένα n-διάστατο διάνυσμα x σε αυτά τα διανύσματα. Τότε το προκύπτον σύστημα διανυσμάτων θα εξαρτάται γραμμικά και το διάνυσμα x μπορεί να εκφραστεί γραμμικά σε όρους διανυσμάτων : , όπου υπάρχουν μερικοί αριθμοί. Έτσι αποκτήσαμε την επέκταση του διανύσματος x ως προς τη βάση. Μένει να αποδείξουμε ότι αυτή η αποσύνθεση είναι μοναδική.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει άλλη αποσύνθεση, όπου - κάποιοι αριθμοί. Ας αφαιρέσουμε από την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της τελευταίας ισότητας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της ισότητας, αντίστοιχα:

Δεδομένου ότι το σύστημα των διανυσμάτων βάσης είναι γραμμικά ανεξάρτητη, τότε με τον ορισμό της γραμμικής ανεξαρτησίας ενός συστήματος διανυσμάτων, η ισότητα που προκύπτει είναι δυνατή μόνο όταν όλοι οι συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν. Επομένως, , που αποδεικνύει τη μοναδικότητα της αποσύνθεσης του διανύσματος σε σχέση με τη βάση.

Ορισμός.

Οι συντελεστές λέγονται συντεταγμένες του διανύσματος x στη βάση .

Αφού εξοικειωθούμε με το θεώρημα για την αποσύνθεση ενός διανύσματος σε βάση, αρχίζουμε να κατανοούμε την ουσία της έκφρασης «μας δίνεται ένα διάνυσμα ν-διάστατο " Αυτή η έκφραση σημαίνει ότι εξετάζουμε ένα διάνυσμα διανυσματικού χώρου x n διαστάσεων, οι συντεταγμένες του οποίου καθορίζονται σε κάποια βάση. Ταυτόχρονα, καταλαβαίνουμε ότι το ίδιο διάνυσμα x σε μια άλλη βάση του διανυσματικού χώρου n-διαστάσεων θα έχει συντεταγμένες διαφορετικές από .

Ας εξετάσουμε το εξής πρόβλημα.

Ας μας δοθεί ένα σύστημα n γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων σε κάποια βάση του ν-διάστατου διανυσματικού χώρου

και διάνυσμα . Στη συνέχεια τα διανύσματα αποτελούν επίσης τη βάση αυτού του διανυσματικού χώρου.

Ας πρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος x στη βάση . Ας υποδηλώσουμε αυτές τις συντεταγμένες ως .

Διάνυσμα x στη βάση έχει μια ιδέα. Ας γράψουμε αυτήν την ισότητα σε συντεταγμένη μορφή:

Αυτή η ισότητα είναι ισοδύναμη με ένα σύστημα n γραμμικού αλγεβρικές εξισώσειςμε n άγνωστες μεταβλητές :

Η κύρια μήτρα αυτού του συστήματος έχει τη μορφή

Ας το συμβολίσουμε με το γράμμα Α. Οι στήλες του πίνακα Α αντιπροσωπεύουν διανύσματα ενός γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος διανυσμάτων , άρα η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι n, επομένως ο προσδιοριστής του δεν είναι μηδενικός. Αυτό το γεγονός δείχνει ότι το σύστημα εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση που μπορεί να βρεθεί με οποιαδήποτε μέθοδο, για παράδειγμα, ή.

Με αυτόν τον τρόπο θα βρεθούν οι απαιτούμενες συντεταγμένες διάνυσμα x στη βάση .

Ας δούμε τη θεωρία με παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Σε κάποια βάση του τρισδιάστατου διανυσματικού χώρου, τα διανύσματα

Βεβαιωθείτε ότι το σύστημα των διανυσμάτων είναι επίσης βάση αυτού του χώρου και βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος x σε αυτή τη βάση.

Λύση.

Για να είναι ένα σύστημα διανυσμάτων η βάση ενός τρισδιάστατου διανυσματικού χώρου, πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Ας το μάθουμε αυτό προσδιορίζοντας την κατάταξη του πίνακα Α, οι σειρές του οποίου είναι διανύσματα. Ας βρούμε την κατάταξη χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian


Επομένως, Rank(A) = 3, που δείχνει τη γραμμική ανεξαρτησία του συστήματος των διανυσμάτων.

Άρα, τα διανύσματα είναι η βάση. Έστω ότι το διάνυσμα x έχει συντεταγμένες σε αυτή τη βάση. Στη συνέχεια, όπως δείξαμε παραπάνω, η σχέση μεταξύ των συντεταγμένων αυτού του διανύσματος δίνεται από το σύστημα των εξισώσεων

Αντικαθιστώντας τις τιμές που είναι γνωστές από τη συνθήκη σε αυτό, λαμβάνουμε

Ας το λύσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer:

Έτσι, το διάνυσμα x στη βάση έχει συντεταγμένες .

Απάντηση:

Παράδειγμα.

Σε κάποια βάση ενός τετραδιάστατου διανυσματικού χώρου, δίνεται ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων

Είναι γνωστό ότι . Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος x στη βάση .

Λύση.

Δεδομένου ότι το σύστημα των διανυσμάτων γραμμικά ανεξάρτητο από συνθήκη, τότε είναι μια βάση τετραδιάστατου χώρου. Μετά ισότητα σημαίνει ότι το διάνυσμα x στη βάση έχει συντεταγμένες. Ας συμβολίσουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος x στη βάση Πως .

Σύστημα εξισώσεων που ορίζουν τη σχέση μεταξύ των συντεταγμένων του διανύσματος x σε βάσεις Και μοιάζει με

Αντικαθιστούμε γνωστές τιμές σε αυτό και βρίσκουμε τις απαιτούμενες συντεταγμένες:

Απάντηση:

.

Επικοινωνία μεταξύ βάσεων.

Έστω δύο γραμμικά ανεξάρτητα συστήματα διανυσμάτων σε κάποια βάση ενός ν-διάστατου διανυσματικού χώρου

Και

είναι δηλαδή και οι βάσεις αυτού του χώρου.

Αν - συντεταγμένες του διανύσματος στη βάση , στη συνέχεια η σύνδεση συντεταγμένων Και δίνεται από ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων (μιλήσαμε για αυτό στην προηγούμενη παράγραφο):

, το οποίο σε μορφή μήτρας μπορεί να γραφτεί ως

Ομοίως για ένα διάνυσμα μπορούμε να γράψουμε

Οι προηγούμενες ισότητες πίνακα μπορούν να συνδυαστούν σε μία, η οποία ουσιαστικά ορίζει τη σχέση μεταξύ των διανυσμάτων δύο διαφορετικών βάσεων

Ομοίως, μπορούμε να εκφράσουμε όλα τα διανύσματα βάσης μέσω βάσης :

Ορισμός.

Μήτρα που ονομάζεται μήτρα μετάβασης από τη βάση στη βάση , τότε η ισότητα είναι αληθινή

Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας από τα δεξιά με

παίρνουμε

Ας βρούμε τον πίνακα μετάβασης, αλλά δεν θα σταθούμε λεπτομερώς στην εύρεση του αντίστροφου πίνακα και στον πολλαπλασιασμό των πινάκων (δείτε άρθρα και εάν χρειάζεται):

Μένει να μάθουμε τη σχέση μεταξύ των συντεταγμένων του διανύσματος x στις δεδομένες βάσεις.

Έστω λοιπόν το διάνυσμα x συντεταγμένες στη βάση

και στη βάση το διάνυσμα x έχει συντεταγμένες , τότε

Δεδομένου ότι οι αριστερές πλευρές των δύο τελευταίων ισοτήτων είναι ίδιες, μπορούμε να εξισώσουμε τις δεξιές πλευρές:

Αν πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές στα δεξιά επί

τότε παίρνουμε


Στην άλλη πλευρά

(βρείτε μόνοι σας τον αντίστροφο πίνακα).
Οι δύο τελευταίες ισότητες μας δίνουν την απαιτούμενη σχέση μεταξύ των συντεταγμένων του διανύσματος x στις βάσεις και .

Απάντηση:

Ο πίνακας μετάβασης από βάση σε βάση έχει τη μορφή
;
συντεταγμένες του διανύσματος x σε βάσεις και σχετίζονται με τις σχέσεις

ή
.

Εξετάσαμε τις έννοιες της διάστασης και της βάσης ενός διανυσματικού χώρου, μάθαμε να αποσυνθέτουμε ένα διάνυσμα σε βάση και ανακαλύψαμε τη σύνδεση μεταξύ διαφορετικών βάσεων του διανυσματικού χώρου n διαστάσεων μέσω του πίνακα μετάβασης.

Γραμμική εξάρτηση και γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων.
Βάση διανυσμάτων. Affine σύστημα συντεταγμένων

Υπάρχει ένα καρότσι με σοκολάτες στην αίθουσα, και κάθε επισκέπτης σήμερα θα πάρει ένα γλυκό ζευγάρι - αναλυτική γεωμετρία με γραμμική άλγεβρα. Αυτό το άρθρο θα θίξει δύο ενότητες ανώτερων μαθηματικών ταυτόχρονα και θα δούμε πώς συνυπάρχουν σε ένα περιτύλιγμα. Κάντε ένα διάλειμμα, φάτε ένα Twix! ...φτου, τι ανοησίες. Αν και, εντάξει, δεν θα σκοράρω, τελικά, θα πρέπει να έχετε μια θετική στάση απέναντι στις σπουδές.

Γραμμική εξάρτηση διανυσμάτων, γραμμική διανυσματική ανεξαρτησία, βάση των διανυσμάτωνκαι άλλοι όροι δεν έχουν μόνο γεωμετρική ερμηνεία, αλλά, κυρίως, αλγεβρική σημασία. Η ίδια η έννοια του «διανύσματος» από την άποψη της γραμμικής άλγεβρας δεν είναι πάντα το «συνηθισμένο» διάνυσμα που μπορούμε να απεικονίσουμε σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα. Δεν χρειάζεται να ψάξετε πολύ για απόδειξη, δοκιμάστε να σχεδιάσετε ένα διάνυσμα πενταδιάστατου χώρου . Ή το διάνυσμα καιρού, που μόλις πήγα στο Gismeteo για: – θερμοκρασία και Ατμοσφαιρική πίεσηαντίστοιχα. Το παράδειγμα, φυσικά, είναι λανθασμένο από την άποψη των ιδιοτήτων του διανυσματικού χώρου, αλλά, ωστόσο, κανείς δεν απαγορεύει την επισημοποίηση αυτών των παραμέτρων ως διάνυσμα. Φθινοπωρινή ανάσα...

Όχι, δεν πρόκειται να σας κουράσω με τη θεωρία, γραμμικούς διανυσματικούς χώρους, το καθήκον είναι να καταλαβαίνουνορισμούς και θεωρήματα. Οι νέοι όροι (γραμμική εξάρτηση, ανεξαρτησία, γραμμικός συνδυασμός, βάση κ.λπ.) ισχύουν για όλα τα διανύσματα από αλγεβρική άποψη, αλλά θα δοθούν γεωμετρικά παραδείγματα. Έτσι, όλα είναι απλά, προσβάσιμα και ξεκάθαρα. Εκτός από προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας, θα εξετάσουμε επίσης ορισμένα τυπικά προβλήματα άλγεβρας. Για να κυριαρχήσετε το υλικό, συνιστάται να εξοικειωθείτε με τα μαθήματα Διανύσματα για ανδρείκελαΚαι Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα;

Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία επίπεδων διανυσμάτων.
Επίπεδη βάση και συγγενικό σύστημα συντεταγμένων

Ας εξετάσουμε το επίπεδο του γραφείου του υπολογιστή σας (μόνο ένα τραπέζι, κομοδίνο, πάτωμα, οροφή, ό,τι θέλετε). Η εργασία θα αποτελείται από τις ακόλουθες ενέργειες:

1) Επιλέξτε βάση αεροπλάνου. Σε γενικές γραμμές, μια επιτραπέζια επιφάνεια έχει μήκος και πλάτος, επομένως είναι διαισθητικό ότι θα απαιτηθούν δύο διανύσματα για την κατασκευή της βάσης. Ένα διάνυσμα σαφώς δεν είναι αρκετό, τρία διανύσματα είναι πάρα πολλά.

2) Με βάση την επιλεγμένη βάση ρυθμίστε το σύστημα συντεταγμένων(πλέγμα συντεταγμένων) για να εκχωρήσετε συντεταγμένες σε όλα τα αντικείμενα στον πίνακα.

Μην εκπλαγείτε, στην αρχή οι εξηγήσεις θα είναι στα δάχτυλα. Επιπλέον, στο δικό σου. Παρακαλώ τοποθετήστε αριστερό δείκτηστην άκρη του τραπεζιού, ώστε να κοιτάζει την οθόνη. Αυτό θα είναι ένα διάνυσμα. Τώρα τοποθετήστε δεξί μικρό δάχτυλοστην άκρη του τραπεζιού με τον ίδιο τρόπο - έτσι ώστε να κατευθύνεται προς την οθόνη της οθόνης. Αυτό θα είναι ένα διάνυσμα. Χαμογέλα, φαίνεσαι υπέροχη! Τι μπορούμε να πούμε για τα διανύσματα; Διανύσματα δεδομένων συγγραμμική, που σημαίνει γραμμικόςεκφράζονται μεταξύ τους:
, καλά, ή το αντίστροφο: , όπου κάποιος αριθμός διαφέρει από το μηδέν.

Μπορείτε να δείτε μια εικόνα αυτής της ενέργειας στην τάξη. Διανύσματα για ανδρείκελα, όπου εξήγησα τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό.

Τα δάχτυλά σας θα βάλουν τη βάση στο επίπεδο του γραφείου του υπολογιστή; Προφανώς όχι. Τα γραμμικά διανύσματα ταξιδεύουν εμπρός και πίσω κατά μήκος μόνοςκατεύθυνση και ένα επίπεδο έχει μήκος και πλάτος.

Τέτοια διανύσματα ονομάζονται γραμμικά εξαρτώμενος.

Αναφορά: Οι λέξεις «γραμμικό», «γραμμικό» δηλώνουν το γεγονός ότι στις μαθηματικές εξισώσεις και εκφράσεις δεν υπάρχουν τετράγωνα, κύβοι, άλλες δυνάμεις, λογάριθμοι, ημίτονο κ.λπ. Υπάρχουν μόνο γραμμικές (1ου βαθμού) εκφράσεις και εξαρτήσεις.

Δύο επίπεδα διανύσματα γραμμικά εξαρτώμενοςεάν και μόνο εάν είναι συγγραμμικές.

Σταυρώστε τα δάχτυλά σας στο τραπέζι έτσι ώστε να υπάρχει οποιαδήποτε γωνία μεταξύ τους εκτός από 0 ή 180 μοίρες. Δύο επίπεδα διανύσματαγραμμικός Δενεξαρτώνται εάν και μόνο εάν δεν είναι συγγραμμικές. Έτσι, προκύπτει η βάση. Δεν χρειάζεται να ντρέπεστε που η βάση αποδείχθηκε «λοξή» με μη κάθετα διανύσματα διαφορετικού μήκους. Πολύ σύντομα θα δούμε ότι όχι μόνο μια γωνία 90 μοιρών είναι κατάλληλη για την κατασκευή του, και όχι μόνο μοναδιαία διανύσματα ίσου μήκους

Οποιοςεπίπεδο διάνυσμα ο μόνος τρόποςεπεκτείνεται σύμφωνα με τη βάση:
, όπου είναι πραγματικοί αριθμοί. Οι αριθμοί καλούνται διανυσματικές συντεταγμένεςσε αυτή τη βάση.

Λέγεται επίσης ότι διάνυσμαπαρουσιάζεται ως γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα βάσης. Δηλαδή η έκφραση λέγεται διάνυσμα αποσύνθεσηςκατά βάσηή γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα βάσης.

Για παράδειγμα, μπορούμε να πούμε ότι το διάνυσμα αποσυντίθεται κατά μήκος μιας ορθοκανονικής βάσης του επιπέδου ή μπορούμε να πούμε ότι αναπαρίσταται ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων.

Ας διατυπώσουμε ορισμός της βάσηςεπίσημα: Η βάση του αεροπλάνουονομάζεται ζεύγος γραμμικά ανεξάρτητων (μη συγγραμμικών) διανυσμάτων, , όπου όποιοςένα επίπεδο διάνυσμα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων βάσης.

Ένα ουσιαστικό σημείο του ορισμού είναι το γεγονός ότι λαμβάνονται τα διανύσματα με μια ορισμένη σειρά. Βάσεις – πρόκειται για δύο εντελώς διαφορετικές βάσεις! Όπως λένε, δεν μπορείτε να αντικαταστήσετε το μικρό δάχτυλο του αριστερού σας χεριού στη θέση του μικρού δακτύλου του δεξιού σας χεριού.

Καταλάβαμε τη βάση, αλλά δεν αρκεί να ορίσετε ένα πλέγμα συντεταγμένων και να εκχωρήσετε συντεταγμένες σε κάθε στοιχείο στο γραφείο του υπολογιστή σας. Γιατί δεν είναι αρκετό; Τα διανύσματα είναι ελεύθερα και περιφέρονται σε ολόκληρο το επίπεδο. Πώς, λοιπόν, αντιστοιχίζετε συντεταγμένες σε αυτά τα μικρά βρώμικα σημεία στο τραπέζι που έχουν απομείνει από ένα άγριο Σαββατοκύριακο; Χρειάζεται ένα σημείο εκκίνησης. Και ένα τέτοιο ορόσημο είναι ένα σημείο γνωστό σε όλους - η προέλευση των συντεταγμένων. Ας κατανοήσουμε το σύστημα συντεταγμένων:

Θα ξεκινήσω με το «σχολικό» σύστημα. Ήδη στο εισαγωγικό μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελαΤόνισα ορισμένες διαφορές μεταξύ του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων και της ορθοκανονικής βάσης. Εδώ είναι η τυπική εικόνα:

Όταν μιλάνε για ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τότε πιο συχνά σημαίνουν την προέλευση των συντεταγμένων, άξονες συντεταγμένωνκαι κλίμακα κατά μήκος των αξόνων. Δοκιμάστε να πληκτρολογήσετε "ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων" σε μια μηχανή αναζήτησης και θα δείτε ότι πολλές πηγές θα σας πουν για άξονες συντεταγμένων που είναι γνωστοί από την 5η-6η τάξη και πώς να σχεδιάσετε σημεία σε ένα επίπεδο.

Από την άλλη πλευρά, φαίνεται ότι ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να οριστεί πλήρως με όρους ορθοκανονικής βάσης. Και αυτό είναι σχεδόν αλήθεια. Η διατύπωση έχει ως εξής:

προέλευση, Και ορθοκανονικήτίθεται η βάση Καρτεσιανό ορθογώνιο επίπεδο σύστημα συντεταγμένων . Δηλαδή το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων οπωσδηποτεορίζεται από ένα μόνο σημείο και δύο μοναδιαία ορθογώνια διανύσματα. Γι' αυτό βλέπετε το σχέδιο που έδωσα παραπάνω - στα γεωμετρικά προβλήματα, τόσο τα διανύσματα όσο και οι άξονες συντεταγμένων σχεδιάζονται συχνά (αλλά όχι πάντα).

Νομίζω ότι όλοι καταλαβαίνουν ότι χρησιμοποιώντας ένα σημείο (προέλευση) και μια ορθοκανονική βάση ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΣΗΜΕΙΟ στο αεροπλάνο και ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ στο αεροπλάνομπορούν να εκχωρηθούν συντεταγμένες. Μεταφορικά μιλώντας, «τα πάντα σε ένα αεροπλάνο μπορούν να αριθμηθούν».

Απαιτείται τα διανύσματα συντεταγμένων να είναι μονάδα; Όχι, μπορεί να έχουν αυθαίρετο μη μηδενικό μήκος. Θεωρήστε ένα σημείο και δύο ορθογώνια διανύσματα αυθαίρετου μη μηδενικού μήκους:

Μια τέτοια βάση ονομάζεται ορθογώνιο. Η αρχή των συντεταγμένων με διανύσματα ορίζεται από ένα πλέγμα συντεταγμένων και οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο, οποιοδήποτε διάνυσμα έχει τις συντεταγμένες του σε μια δεδομένη βάση. Για παράδειγμα, ή. Η προφανής ταλαιπωρία είναι ότι τα διανύσματα συντεταγμένων γενικάέχουν διαφορετικά μήκη εκτός από την ενότητα. Εάν τα μήκη είναι ίσα με τη μονάδα, τότε προκύπτει η συνήθης ορθοκανονική βάση.

! Σημείωση : στην ορθογώνια βάση, καθώς και παρακάτω στις συγγενικές βάσεις του επιπέδου και του χώρου, θεωρούνται μονάδες κατά μήκος των αξόνων ΥΠΟΘΕΤΙΚΟΣ. Για παράδειγμα, μια μονάδα κατά μήκος του άξονα x περιέχει 4 cm, μια μονάδα κατά μήκος του άξονα τεταγμένων περιέχει 2 cm. Αυτές οι πληροφορίες είναι αρκετές για να μετατρέψουν, εάν είναι απαραίτητο, τις «μη τυπικές» συντεταγμένες σε «συνήθη εκατοστά».

Και η δεύτερη ερώτηση, η οποία έχει ήδη απαντηθεί, είναι εάν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων βάσης πρέπει να είναι ίση με 90 μοίρες; Οχι! Όπως δηλώνει ο ορισμός, τα διανύσματα βάσης πρέπει να είναι μόνο μη γραμμικό. Κατά συνέπεια, η γωνία μπορεί να είναι οτιδήποτε εκτός από 0 και 180 μοίρες.

Κάλεσε ένα σημείο στο αεροπλάνο προέλευση, Και μη γραμμικόφορείς, , σετ σύστημα συντεταγμένων συγγενικού επιπέδου :

Μερικές φορές ένα τέτοιο σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται λοξόςΣύστημα. Ως παραδείγματα, το σχέδιο δείχνει σημεία και διανύσματα:

Όπως καταλαβαίνετε, το συγγενικό σύστημα συντεταγμένων είναι ακόμη λιγότερο βολικό οι τύποι για τα μήκη των διανυσμάτων και των τμημάτων, που συζητήσαμε στο δεύτερο μέρος του μαθήματος, δεν λειτουργούν σε αυτό. Διανύσματα για ανδρείκελα, πολλές νόστιμες φόρμουλες που σχετίζονται με κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων. Ισχύουν όμως οι κανόνες για την προσθήκη διανυσμάτων και τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό, οι τύποι για τη διαίρεση ενός τμήματος σε αυτή τη σχέση, καθώς και ορισμένοι άλλοι τύποι προβλημάτων που θα εξετάσουμε σύντομα.

Και το συμπέρασμα είναι ότι η πιο βολική ειδική περίπτωση ενός συγγενικού συστήματος συντεταγμένων είναι το καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα. Γι' αυτό πρέπει να τη βλέπεις πιο συχνά, αγαπητέ μου. ...Ωστόσο, όλα σε αυτή τη ζωή είναι σχετικά - υπάρχουν πολλές καταστάσεις στις οποίες μια λοξή γωνία (ή κάποια άλλη, για παράδειγμα, πολικός) σύστημα συντεταγμένων. Και στα ανθρωποειδή μπορεί να αρέσουν τέτοια συστήματα =)

Ας περάσουμε στο πρακτικό κομμάτι. Όλα τα προβλήματα σε αυτό το μάθημα ισχύουν τόσο για το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων όσο και για τη γενική συγγενική περίπτωση. Δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ.

Πώς να προσδιορίσετε τη συγγραμμικότητα των επίπεδων διανυσμάτων;

Τυπικό πράγμα. Για δύο επίπεδα διανύσματα ήταν συγγραμμικές, είναι απαραίτητο και επαρκές οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους να είναι ανάλογεςΟυσιαστικά, αυτή είναι μια συντεταγμένη προς συντεταγμένη λεπτομέρεια της προφανούς σχέσης.

Παράδειγμα 1

α) Ελέγξτε αν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά .
β) Τα διανύσματα αποτελούν βάση; ?

Λύση:
α) Ας μάθουμε αν υπάρχει για διανύσματα συντελεστής αναλογικότητας, έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι ισότητες:

Θα σας πω σίγουρα για τον τύπο εφαρμογής "foppish". αυτού του κανόνα, το οποίο λειτουργεί αρκετά καλά στην πράξη. Η ιδέα είναι να κάνετε αμέσως την αναλογία και να δείτε αν είναι σωστή:

Ας κάνουμε μια αναλογία από τους λόγους των αντίστοιχων συντεταγμένων των διανυσμάτων:

Ας συντομεύσουμε:
, επομένως οι αντίστοιχες συντεταγμένες είναι ανάλογες, επομένως,

Η σχέση θα μπορούσε να γίνει αντίστροφα, αυτή είναι μια ισοδύναμη επιλογή:

Για αυτοέλεγχο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το γεγονός ότι τα συγγραμμικά διανύσματα εκφράζονται γραμμικά το ένα μέσω του άλλου. Σε αυτή την περίπτωση, οι ισότητες συμβαίνουν . Η εγκυρότητά τους μπορεί εύκολα να επαληθευτεί μέσω στοιχειωδών πράξεων με διανύσματα:

β) Δύο επίπεδα διανύσματα αποτελούν βάση εάν δεν είναι συγγραμμικά (γραμμικά ανεξάρτητα). Εξετάζουμε διανύσματα για συγγραμμικότητα . Ας δημιουργήσουμε ένα σύστημα:

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι , από τη δεύτερη εξίσωση προκύπτει ότι , που σημαίνει το σύστημα είναι ασυνεπές(χωρίς λύσεις). Έτσι, οι αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων δεν είναι ανάλογες.

συμπέρασμα: τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση.

Μια απλοποιημένη έκδοση της λύσης μοιάζει με αυτό:

Ας κάνουμε μια αναλογία από τις αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων :
, που σημαίνει ότι αυτά τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση.

Συνήθως αυτή η επιλογή δεν απορρίπτεται από τους αναθεωρητές, αλλά δημιουργείται πρόβλημα σε περιπτώσεις όπου ορισμένες συντεταγμένες είναι ίσες με μηδέν. Σαν αυτό: . Ή όπως αυτό: . Ή όπως αυτό: . Πώς να εργαστείτε μέσω της αναλογίας εδώ; (πράγματι, δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν). Γι' αυτόν τον λόγο ονόμασα την απλοποιημένη λύση "foppish".

Απάντηση:α) , β) μορφή.

Ένα μικρό δημιουργικό παράδειγμα για τη δική σας λύση:

Παράδειγμα 2

Σε ποια τιμή της παραμέτρου βρίσκονται τα διανύσματα θα είναι συγγραμμικές;

Στο διάλυμα του δείγματος, η παράμετρος βρίσκεται μέσω της αναλογίας.

Υπάρχει ένας κομψός αλγεβρικός τρόπος για να ελέγξουμε τα διανύσματα για συγγραμμικότητα, ας συστηματοποιήσουμε τη γνώση μας και ας την προσθέσουμε ως το πέμπτο σημείο.

Για δύο επίπεδα διανύσματα οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:

2) τα διανύσματα αποτελούν μια βάση.
3) τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

+ 5) η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων είναι μη μηδενική.

Αντίστοιχα, οι παρακάτω αντίθετες προτάσεις είναι ισοδύναμες:
1) τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.
2) τα διανύσματα δεν αποτελούν βάση.
3) τα διανύσματα είναι συγγραμμικά.
4) τα διανύσματα μπορούν να εκφραστούν γραμμικά μεταξύ τους.
+ 5) η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων είναι ίση με μηδέν.

Πραγματικά, πραγματικά το ελπίζω αυτή τη στιγμήκαταλαβαίνετε ήδη όλους τους όρους και τις δηλώσεις που συναντάτε.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο νέο, πέμπτο σημείο: δύο επίπεδα διανύσματα είναι συγγραμμικές αν και μόνο αν η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των δεδομένων διανυσμάτων είναι ίση με μηδέν:. Για να εφαρμόσετε αυτή τη δυνατότητα, φυσικά, πρέπει να είστε σε θέση βρείτε καθοριστικούς παράγοντες.

Ας αποφασίσουμεΠαράδειγμα 1 με τον δεύτερο τρόπο:

α) Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων :
, που σημαίνει ότι αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά.

β) Δύο επίπεδα διανύσματα αποτελούν βάση εάν δεν είναι συγγραμμικά (γραμμικά ανεξάρτητα). Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα που αποτελείται από διανυσματικές συντεταγμένες :
, που σημαίνει ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση.

Απάντηση:α) , β) μορφή.

Φαίνεται πολύ πιο συμπαγές και πιο όμορφο από μια λύση με αναλογίες.

Με τη βοήθεια του εξεταζόμενου υλικού, είναι δυνατό να καθοριστεί όχι μόνο η συγγραμμικότητα των διανυσμάτων, αλλά και να αποδειχθεί ο παραλληλισμός τμημάτων και ευθειών. Ας εξετάσουμε μερικά προβλήματα με συγκεκριμένα γεωμετρικά σχήματα.

Παράδειγμα 3

Δίνονται οι κορυφές ενός τετράπλευρου. Να αποδείξετε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Απόδειξη: Δεν χρειάζεται να δημιουργηθεί σχέδιο στο πρόβλημα, αφού η λύση θα είναι καθαρά αναλυτική. Ας θυμηθούμε τον ορισμό του παραλληλογράμμου:
Παραλληλόγραμμο Λέγεται ένα τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες ανά ζεύγη.

Επομένως, είναι απαραίτητο να αποδειχθεί:
1) παραλληλισμός αντίθετων πλευρών και?
2) παραλληλισμός αντίθετων πλευρών και.

Αποδεικνύουμε:

1) Βρείτε τα διανύσματα:

2) Βρείτε τα διανύσματα:

Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο διάνυσμα («σύμφωνα με το σχολείο» – ίσα διανύσματα). Η συγγραμμικότητα είναι αρκετά προφανής, αλλά είναι καλύτερο να επισημοποιηθεί η απόφαση ξεκάθαρα, με διάταξη. Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα που αποτελείται από διανυσματικές συντεταγμένες:
, που σημαίνει ότι αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά και .

συμπέρασμα: Οι απέναντι πλευρές ενός τετράπλευρου είναι παράλληλες ανά ζεύγη, που σημαίνει ότι είναι παραλληλόγραμμο εξ ορισμού. Q.E.D.

Περισσότερες καλές και διαφορετικές φιγούρες:

Παράδειγμα 4

Δίνονται οι κορυφές ενός τετράπλευρου. Να αποδείξετε ότι ένα τετράπλευρο είναι τραπέζιο.

Για μια πιο αυστηρή διατύπωση της απόδειξης, είναι καλύτερα, φυσικά, να λάβουμε τον ορισμό του τραπεζοειδούς, αλλά αρκεί απλώς να θυμηθούμε πώς μοιάζει.

Αυτό είναι ένα έργο που πρέπει να λύσετε μόνοι σας. Ολοκληρωμένη λύσηστο τέλος του μαθήματος.

Και τώρα ήρθε η ώρα να μετακινηθείτε αργά από το αεροπλάνο στο διάστημα:

Πώς να προσδιορίσετε τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων του χώρου;

Ο κανόνας είναι πολύ παρόμοιος. Προκειμένου δύο διανύσματα χώρου να είναι συγγραμμικά, είναι απαραίτητο και αρκετό οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους να είναι ανάλογες.

Παράδειγμα 5

Μάθετε εάν τα ακόλουθα διανύσματα διαστήματος είναι συγγραμμικά:

ΕΝΑ) ;
σι)
V)

Λύση:
α) Ας ελέγξουμε αν υπάρχει συντελεστής αναλογικότητας για τις αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων:

Το σύστημα δεν έχει λύση, πράγμα που σημαίνει ότι τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

Το "Απλοποιημένο" επισημοποιείται ελέγχοντας την αναλογία. Σε αυτήν την περίπτωση:
– οι αντίστοιχες συντεταγμένες δεν είναι αναλογικές, πράγμα που σημαίνει ότι τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

Απάντηση:τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

β-γ) Αυτά είναι σημεία για αυτοτελή απόφαση. Δοκιμάστε το με δύο τρόπους.

Υπάρχει μια μέθοδος για τον έλεγχο χωρικών διανυσμάτων για συγγραμμικότητα μέσω μιας ορίζουσας τρίτης τάξης, αυτή τη μέθοδοπου καλύπτονται στο άρθρο Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων.

Παρόμοια με την περίπτωση του επιπέδου, τα εξεταζόμενα εργαλεία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μελέτη του παραλληλισμού χωρικών τμημάτων και ευθειών.

Καλώς ήρθατε στη δεύτερη ενότητα:

Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία διανυσμάτων στον τρισδιάστατο χώρο.
Χωρική βάση και συγγενικό σύστημα συντεταγμένων

Πολλά από τα μοτίβα που εξετάσαμε στο αεροπλάνο θα ισχύουν για το διάστημα. Προσπάθησα να ελαχιστοποιήσω τις σημειώσεις της θεωρίας γιατί η μερίδα του λέοντοςοι πληροφορίες έχουν ήδη μασηθεί. Ωστόσο, σας συνιστώ να διαβάσετε προσεκτικά το εισαγωγικό μέρος, καθώς θα εμφανιστούν νέοι όροι και έννοιες.

Τώρα, αντί για το επίπεδο του γραφείου του υπολογιστή, εξερευνούμε τον τρισδιάστατο χώρο. Αρχικά, ας δημιουργήσουμε τη βάση του. Κάποιος είναι τώρα μέσα, κάποιος είναι σε εξωτερικό χώρο, αλλά σε κάθε περίπτωση δεν μπορούμε να ξεφύγουμε από τις τρεις διαστάσεις: πλάτος, μήκος και ύψος. Επομένως, για να κατασκευαστεί μια βάση, θα απαιτηθούν τρία χωρικά διανύσματα. Ένα ή δύο διανύσματα δεν είναι αρκετά, το τέταρτο είναι περιττό.

Και πάλι ζεσταίνουμε στα δάχτυλά μας. Σηκώστε το χέρι σας και απλώστε το προς διαφορετικές κατευθύνσεις αντίχειρας, ευρετήριο και μεσαίο δάχτυλο . Αυτά θα είναι διανύσματα, κοιτάζουν σε διαφορετικές κατευθύνσεις, έχουν διαφορετικά μήκη και έχουν διαφορετικές γωνίες μεταξύ τους. Συγχαρητήρια, η βάση του τρισδιάστατου χώρου είναι έτοιμη! Παρεμπιπτόντως, δεν χρειάζεται να το αποδείξετε αυτό στους δασκάλους, ανεξάρτητα από το πόσο σκληρά στρίβετε τα δάχτυλά σας, αλλά δεν υπάρχει διαφυγή από τους ορισμούς =)

Στη συνέχεια, ας αναρωτηθούμε μια σημαντική ερώτηση: οποιαδήποτε τρία διανύσματα αποτελούν τη βάση του τρισδιάστατου χώρου? Πιέστε σταθερά τρία δάχτυλα στο επάνω μέρος του γραφείου του υπολογιστή. Τι συνέβη; Τρία διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και, χοντρικά, έχουμε χάσει μία από τις διαστάσεις - το ύψος. Τέτοιοι φορείς είναι ομοεπίπεδηκαι, είναι προφανές ότι δεν δημιουργείται η βάση του τρισδιάστατου χώρου.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι τα συνεπίπεδα διανύσματα δεν χρειάζεται να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, μπορούν να βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα (απλώς μην το κάνετε αυτό με τα δάχτυλά σας, μόνο ο Σαλβαδόρ Νταλί το έκανε =)).

Ορισμός: ονομάζονται διανύσματα ομοεπίπεδη, εάν υπάρχει επίπεδο στο οποίο είναι παράλληλα. Είναι λογικό να προσθέσουμε εδώ ότι αν δεν υπάρχει τέτοιο επίπεδο, τότε τα διανύσματα δεν θα είναι ομοεπίπεδα.

Τρία συνεπίπεδα διανύσματα είναι πάντα γραμμικά εξαρτώμενα, δηλαδή εκφράζονται γραμμικά μεταξύ τους. Για απλότητα, ας φανταστούμε πάλι ότι βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Πρώτον, τα διανύσματα δεν είναι μόνο συνεπίπεδα, μπορούν επίσης να είναι συγγραμμικά, τότε οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί μέσω οποιουδήποτε διανύσματος. Στη δεύτερη περίπτωση, εάν, για παράδειγμα, τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά, τότε το τρίτο διάνυσμα εκφράζεται μέσω αυτών με μοναδικό τρόπο: (και γιατί είναι εύκολο να μαντέψει κανείς από τα υλικά της προηγούμενης ενότητας).

Ισχύει και το αντίστροφο: τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα είναι πάντα γραμμικά ανεξάρτητα, δηλαδή σε καμία περίπτωση δεν εκφράζονται μεταξύ τους. Και, προφανώς, μόνο τέτοια διανύσματα μπορούν να αποτελέσουν τη βάση του τρισδιάστατου χώρου.

Ορισμός: Η βάση του τρισδιάστατου χώρουονομάζεται τριπλό γραμμικά ανεξάρτητων (μη ομοεπίπεδων) διανυσμάτων, λαμβάνονται με συγκεκριμένη σειράκαι οποιοδήποτε διάνυσμα του χώρου ο μόνος τρόποςαποσυντίθεται σε μια δεδομένη βάση, όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος σε αυτή τη βάση

Να σας υπενθυμίσω ότι μπορούμε επίσης να πούμε ότι το διάνυσμα αναπαρίσταται στη μορφή γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα βάσης.

Η έννοια του συστήματος συντεταγμένων εισάγεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως για την επίπεδη περίπτωση αρκεί ένα σημείο και τρία γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα:

προέλευση, Και μη ομοεπίπεδηφορείς, λαμβάνονται με συγκεκριμένη σειρά, σετ συγγενικό σύστημα συντεταγμένων του τρισδιάστατου χώρου :

Φυσικά, το πλέγμα συντεταγμένων είναι «λοξό» και άβολο, αλλά, ωστόσο, το κατασκευασμένο σύστημα συντεταγμένων μας επιτρέπει οπωσδηποτεπροσδιορίστε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε διανύσματος και τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου του χώρου. Παρόμοια με ένα επίπεδο, ορισμένοι τύποι που έχω ήδη αναφέρει δεν θα λειτουργήσουν στο συγγενικό σύστημα συντεταγμένων του χώρου.

Η πιο οικεία και βολική ειδική περίπτωση ενός συστήματος συντεταγμένων συγγενών, όπως όλοι μαντεύουν, είναι ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων του χώρου:

Ένα σημείο στο διάστημα που ονομάζεται προέλευση, Και ορθοκανονικήτίθεται η βάση Καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων του χώρου . Γνωστή εικόνα:

Πριν προχωρήσουμε σε πρακτικές εργασίες, ας συστηματοποιήσουμε ξανά τις πληροφορίες:

Για τρία διανύσματα διαστήματος οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:
1) τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
2) τα διανύσματα αποτελούν μια βάση.
3) τα διανύσματα δεν είναι ομοεπίπεδα.
4) τα διανύσματα δεν μπορούν να εκφραστούν γραμμικά μεταξύ τους.
5) η ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων, είναι διαφορετική από το μηδέν.

Νομίζω ότι οι αντίθετες δηλώσεις είναι κατανοητές.

Η γραμμική εξάρτηση/ανεξαρτησία των διανυσμάτων χώρου ελέγχεται παραδοσιακά χρησιμοποιώντας μια ορίζουσα (σημείο 5). Παραμένων πρακτικές εργασίεςθα έχει έντονο αλγεβρικό χαρακτήρα. Ήρθε η ώρα να κρεμάσετε το ραβδί γεωμετρίας και να χειριστείτε το ρόπαλο του μπέιζμπολ της γραμμικής άλγεβρας:

Τρία διανύσματα του χώρουείναι ομοεπίπεδες αν και μόνο αν η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των δεδομένων διανυσμάτων είναι ίση με μηδέν: .

Θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή σας σε μια μικρή τεχνική απόχρωση: οι συντεταγμένες των διανυσμάτων μπορούν να γραφτούν όχι μόνο σε στήλες, αλλά και σε σειρές (η τιμή της ορίζουσας δεν θα αλλάξει εξαιτίας αυτού - δείτε τις ιδιότητες των οριζόντων). Αλλά είναι πολύ καλύτερο στις στήλες, αφού είναι πιο ωφέλιμο για την επίλυση κάποιων πρακτικών προβλημάτων.

Για εκείνους τους αναγνώστες που έχουν λίγο ξεχάσει τις μεθόδους υπολογισμού των οριζόντιων παραγόντων ή ίσως έχουν ελάχιστη γνώση τους, προτείνω ένα από τα παλαιότερα μαθήματά μου: Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα;

Παράδειγμα 6

Ελέγξτε εάν τα ακόλουθα διανύσματα αποτελούν τη βάση του τρισδιάστατου χώρου:

Λύση: Στην πραγματικότητα, ολόκληρη η λύση καταλήγει στον υπολογισμό της ορίζουσας.

α) Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα που αποτελείται από διανυσματικές συντεταγμένες (η ορίζουσα αποκαλύπτεται στην πρώτη γραμμή):

, που σημαίνει ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα (όχι ομοεπίπεδα) και αποτελούν τη βάση του τρισδιάστατου χώρου.

Απάντηση: αυτά τα διανύσματα αποτελούν τη βάση

β) Αυτό είναι ένα σημείο για ανεξάρτητη απόφαση. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Υπάρχουν επίσης δημιουργικές εργασίες:

Παράδειγμα 7

Σε ποια τιμή της παραμέτρου τα διανύσματα θα είναι συνεπίπεδα;

Λύση: Τα διανύσματα είναι ομοεπίπεδα αν και μόνο αν η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων είναι ίση με μηδέν:

Ουσιαστικά, πρέπει να λύσετε μια εξίσωση με μια ορίζουσα. Περνάμε τα μηδενικά όπως οι χαρταετοί στα jerboas - είναι καλύτερο να ανοίξετε την ορίζουσα στη δεύτερη γραμμή και να απαλλαγείτε αμέσως από τα μειονεκτήματα:

Πραγματοποιούμε περαιτέρω απλοποιήσεις και ανάγουμε την ύλη στην απλούστερη γραμμική εξίσωση:

Απάντηση: στο

Είναι εύκολο να το ελέγξετε εδώ για να το κάνετε αυτό, πρέπει να αντικαταστήσετε την προκύπτουσα τιμή στην αρχική ορίζουσα και να βεβαιωθείτε ότι , ανοίγοντάς το ξανά.

Συμπερασματικά, θα εξετάσουμε ένα άλλο τυπικό πρόβλημα, το οποίο έχει περισσότερο αλγεβρικό χαρακτήρα και παραδοσιακά περιλαμβάνεται σε ένα μάθημα γραμμικής άλγεβρας. Είναι τόσο κοινό που αξίζει το δικό του θέμα:

Να αποδείξετε ότι 3 διανύσματα αποτελούν τη βάση του τρισδιάστατου χώρου
και βρείτε τις συντεταγμένες του 4ου διανύσματος σε αυτή τη βάση

Παράδειγμα 8

Δίνονται διανύσματα. Δείξτε ότι τα διανύσματα αποτελούν βάση στον τρισδιάστατο χώρο και βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος σε αυτή τη βάση.

Λύση: Αρχικά, ας ασχοληθούμε με την κατάσταση. Κατά συνθήκη, δίνονται τέσσερα διανύσματα και, όπως μπορείτε να δείτε, έχουν ήδη συντεταγμένες σε κάποια βάση. Το τι είναι αυτή η βάση δεν μας ενδιαφέρει. Και το εξής είναι ενδιαφέρον: τρία διανύσματα μπορεί κάλλιστα να αποτελέσουν μια νέα βάση. Και το πρώτο στάδιο συμπίπτει πλήρως με τη λύση του Παραδείγματος 6, είναι απαραίτητο να ελέγξουμε εάν τα διανύσματα είναι πραγματικά γραμμικά ανεξάρτητα:

Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα που αποτελείται από διανυσματικές συντεταγμένες:

, που σημαίνει ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν τη βάση του τρισδιάστατου χώρου.

! Σπουδαίος : διανυσματικές συντεταγμένες Αναγκαίωςσημειωσε σε στήλεςκαθοριστική, όχι σε χορδές. Διαφορετικά, θα υπάρξει σύγχυση στον περαιτέρω αλγόριθμο επίλυσης.