Veamos un ejemplo sencillo:
15:5=3
En este ejemplo número natural dividimos 15 completamente por 3, sin resto.
A veces un número natural no se puede dividir por completo. Por ejemplo, considere el problema:
Había 16 juguetes en el armario. Había cinco niños en el grupo. Cada niño tomó la misma cantidad de juguetes. ¿Cuántos juguetes tiene cada niño?
Solución:
Dividimos el número 16 entre 5 usando una columna y obtenemos:
Sabemos que 16 no se puede dividir entre 5. El número más pequeño más cercano que es divisible por 5 es 15 con un resto de 1. Podemos escribir el número 15 como 5⋅3. Como resultado (16 – dividendo, 5 – divisor, 3 – cociente incompleto, 1 – resto). Recibió fórmula división con resto que se puede hacer comprobando la solución.
a=
b⋅
do+
d
a – divisible,
b - divisor,
do – cociente incompleto,
d - resto.
Respuesta: cada niño tomará 3 juguetes y quedará un juguete.
Resto de la división
El resto siempre debe ser menor que el divisor.
Si durante la división el resto es cero, significa que el dividendo se divide completamente o sin resto en el divisor.
Si durante la división el resto es mayor que el divisor, esto significa que el número encontrado no es el mayor. Hay un número mayor que dividirá el dividendo y el resto será menor que el divisor.
Preguntas sobre el tema "División con resto":
¿Puede el resto ser mayor que el divisor?
Respuesta: no.
¿Puede el resto ser igual al divisor?
Respuesta: no.
¿Cómo encontrar el dividendo usando el cociente, divisor y resto incompletos?
Respuesta: sustituimos los valores del cociente parcial, divisor y resto en la fórmula y encontramos el dividendo. Fórmula:
a=b⋅c+d
Ejemplo #1:
Realizar división con resto y comprobar: a) 258:7 b) 1873:8
Solución:
a) Dividir por columna: 
258 – dividendo,
7 – divisor,
36 – cociente incompleto,
6 – resto. El resto es menor que el divisor 6.<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) Dividir por columna: 
1873 – divisible,
8 – divisor,
234 – cociente incompleto,
1 – resto. El resto es menor que el divisor 1.<8.
Sustituyémoslo en la fórmula y comprobamos si resolvimos el ejemplo correctamente:
8⋅234+1=1872+1=1873
Ejemplo #2:
¿Qué restos se obtienen al dividir números naturales: a) 3 b)8?
Respuesta:
a) El resto es menor que el divisor, por tanto menor que 3. En nuestro caso, el resto puede ser 0, 1 o 2.
b) El resto es menor que el divisor, por tanto menor que 8. En nuestro caso, el resto puede ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 o 7.
Ejemplo #3:
¿Cuál es el mayor resto que se puede obtener al dividir números naturales: a) 9 b) 15?
Respuesta:
a) El resto es menor que el divisor, por lo tanto menor que 9. Pero necesitamos indicar el resto mayor. Es decir, el número más cercano al divisor. Este es el número 8.
b) El resto es menor que el divisor, por tanto, menor que 15. Pero necesitamos indicar el resto mayor. Es decir, el número más cercano al divisor. Este número es 14.
Ejemplo #4:
Encuentre el dividendo: a) a:6=3(rest.4) b) c:24=4(rest.11)
Solución:
a) Resuelve usando la fórmula:
a=b⋅c+d
(a – dividendo, b – divisor, c – cociente parcial, d – resto).
a:6=3(rest.4)
(a – dividendo, 6 – divisor, 3 – cociente parcial, 4 – resto). Sustituyamos los números en la fórmula:
a=6⋅3+4=22
Respuesta: a=22
b) Resuelve usando la fórmula:
a=b⋅c+d
(a – dividendo, b – divisor, c – cociente parcial, d – resto).
s:24=4(rest.11)
(c – dividendo, 24 – divisor, 4 – cociente parcial, 11 – resto). Sustituyamos los números en la fórmula:
ñ=24⋅4+11=107
Respuesta:c=107
Tarea:
Cable de 4m. Hay que cortarlo en trozos de 13 cm. ¿Cuántas piezas de este tipo habrá?
Solución:
Primero necesitas convertir metros a centímetros.
4m.=400cm.
Podemos dividir por una columna o en nuestra mente obtenemos:
400:13=30(restantes 10)
Comprobemos:
13⋅30+10=390+10=400
Respuesta: Obtendrás 30 piezas y quedarán 10 cm de alambre.
Signos de divisibilidad de números.- estas son reglas que le permiten saber con relativa rapidez, sin dividir, si este número es divisible por este número sin resto.
Algunos de signos de divisibilidad bastante simples, algunos más complicados. En esta página encontrará tanto signos de divisibilidad de números primos, como por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, como signos de divisibilidad de números compuestos, como 6 o 12.
Espero que esta información te sea útil.
¡Feliz aprendizaje!
Prueba de divisibilidad por 2
Este es uno de los signos de divisibilidad más simples. Suena así: si la notación de un número natural termina en un dígito par, entonces es par (divisible sin resto por 2), y si la notación de un número termina en un dígito impar, entonces este número es impar.
En otras palabras, si el último dígito de un número es 2
, 4
, 6
, 8
o 0
- el número es divisible por 2, si no, entonces no es divisible
Por ejemplo, números: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
son divisibles por 2 porque son pares.
Números A: 23 5
, 137
, 2303
No son divisibles por 2 porque son impares.
Prueba de divisibilidad por 3
Este signo de divisibilidad tiene reglas completamente diferentes: si la suma de los dígitos de un número es divisible por 3, entonces el número es divisible por 3; Si la suma de las cifras de un número no es divisible por 3, entonces el número no es divisible por 3.
Esto significa que para saber si un número es divisible por 3, solo necesitas sumar los números que lo componen.
Se ve así: 3987 y 141 son divisibles por 3, porque en el primer caso 3+9+8+7= 27
(27:3=9 - divisible por 3), y en el segundo 1+4+1= 6
(6:3=2 - también divisible por 3).
Pero los números: 235 y 566 no son divisibles por 3, porque 2+3+5= 10
y 5+6+6= 17
(y sabemos que ni 10 ni 17 son divisibles por 3 sin resto).
Prueba de divisibilidad por 4
Este signo de divisibilidad será más complicado. Si los 2 últimos dígitos de un número forman un número divisible por 4 o es 00, entonces el número es divisible por 4; de lo contrario, el número dado no es divisible por 4 sin resto.
Por ejemplo: 1 00
y 3 64
son divisibles por 4 porque en el primer caso el número termina en 00
, y en el segundo en 64
, que a su vez es divisible por 4 sin resto (64:4=16)
numeros 3 57
y 8 86
no son divisibles por 4 porque tampoco 57
ni 86
no son divisibles por 4, lo que significa que no corresponden a este criterio de divisibilidad.
Prueba de divisibilidad por 5
Y nuevamente, tenemos un signo de divisibilidad bastante simple: si la notación de un número natural termina con el número 0 o 5, entonces este número es divisible sin resto por 5. Si la notación de un número termina con otro dígito, entonces el número no es divisible por 5 sin resto.
Esto significa que cualquier número que termine en dígitos 0
Y 5
, por ejemplo 1235 5
y 43 0
, caen bajo la regla y son divisibles por 5.
Y, por ejemplo, 1549 3
y 56 4
no terminan en el número 5 o 0, lo que significa que no se pueden dividir entre 5 sin resto.
Prueba de divisibilidad por 6
Tenemos ante nosotros el número compuesto 6, que es el producto de los números 2 y 3. Por tanto, el signo de divisibilidad por 6 también es compuesto: para que un número sea divisible por 6, debe corresponderle dos signos de divisibilidad al mismo tiempo: el signo de divisibilidad por 2 y el signo de divisibilidad por 3. Tenga en cuenta que un número compuesto como 4 tiene un signo de divisibilidad individual, porque es el producto del número 2 por sí mismo. Pero volvamos a la prueba de la divisibilidad entre 6.
Los números 138 y 474 son pares y cumplen los criterios de divisibilidad por 3 (1+3+8=12, 12:3=4 y 4+7+4=15, 15:3=5), lo que significa que son divisibles. por 6. Pero 123 y 447, aunque son divisibles por 3 (1+2+3=6, 6:3=2 y 4+4+7=15, 15:3=5), pero son impares, lo cual significa que no corresponden al criterio de divisibilidad por 2 y, por lo tanto, no corresponden al criterio de divisibilidad por 6.
Prueba de divisibilidad por 7
Esta prueba de divisibilidad es más compleja: un número es divisible por 7 si el resultado de restar el doble del último dígito al número de decenas de este número es divisible por 7 o igual a 0.
Suena bastante confuso, pero en la práctica es sencillo. Compruébalo tú mismo: el número 95
9 es divisible por 7 porque 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 se divide entre 7 sin resto). Además, si surgen dificultades con el número obtenido durante la transformación (debido a su tamaño es difícil entender si es divisible por 7 o no, entonces este procedimiento se puede continuar tantas veces como se considere necesario).
Por ejemplo, 45
5 y 4580
1 tengo las propiedades de divisibilidad entre 7. En el primer caso, todo es bastante sencillo: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5. En el segundo caso haremos esto: 4580
-2*1=4580-2=4578. Nos resulta difícil entender si 457
8 por 7, así que repitamos el proceso: 457
-2*8=457-16=441. Y nuevamente usaremos la prueba de divisibilidad, ya que todavía tenemos un número de tres dígitos frente a nosotros. 44
1. Entonces, 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, es decir 42 es divisible por 7 sin resto, lo que significa que 45801 es divisible por 7.
Aquí están los números 11
1 y 34
5 no es divisible por 7 porque 11
-2*1=11-2=9 (9 no es divisible por 7) y 34
-2*5=34-10=24 (24 no es divisible por 7 sin resto).
Prueba de divisibilidad por 8
La prueba de divisibilidad por 8 suena así: si los últimos 3 dígitos forman un número divisible por 8, o es 000, entonces el número dado es divisible por 8.
numeros 1 000
o 1 088
divisible por 8: el primero termina en 000
, el segundo 88
:8=11 (divisible por 8 sin resto).
Y aquí están los números 1. 100
o 4 757
no son divisibles por 8 porque los números 100
Y 757
no son divisibles por 8 sin resto.
Prueba de divisibilidad por 9
Este signo de divisibilidad es similar al signo de divisibilidad por 3: si la suma de los dígitos de un número es divisible por 9, entonces el número es divisible por 9; Si la suma de los dígitos de un número no es divisible por 9, entonces el número no es divisible por 9.
Por ejemplo: 3987 y 144 son divisibles por 9, porque en el primer caso 3+9+8+7= 27
(27:9=3 - divisible por 9 sin resto), y en el segundo 1+4+4= 9
(9:9=1 - también divisible por 9).
Pero los números: 235 y 141 no son divisibles por 9, porque 2+3+5= 10
y 1+4+1= 6
(y sabemos que ni 10 ni 6 son divisibles por 9 sin resto).
Signos de divisibilidad por 10, 100, 1000 y otras unidades de dígitos
Combiné estos signos de divisibilidad porque se pueden describir de la misma manera: un número se divide por una unidad de dígito si el número de ceros al final del número es mayor o igual que el número de ceros en una unidad de dígito dada .
Es decir, por ejemplo, tenemos los siguientes números: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. de los cuales todos son divisibles por 1 0
; 46400
y 867 000
también son divisibles por 1 00
; y solo uno de ellos es 867 000
divisible por 1 000
.
Cualquier número que tenga menos ceros finales que una unidad de dígito no es divisible por esa unidad de dígito, por ejemplo 600. 30
y 7 93
no divisible 1 00
.
Prueba de divisibilidad por 11
Para saber si un número es divisible por 11, debes obtener la diferencia entre las sumas de los dígitos pares e impares de este número. Si esta diferencia es igual a 0 o es divisible por 11 sin resto, entonces el número en sí es divisible por 11 sin resto.
Para que quede más claro, sugiero mirar ejemplos: 2
35
4 es divisible por 11 porque ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 también es divisible por 11, ya que ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Aquí hay 1 1
1 o 4
35
4 no es divisible por 11, ya que en el primer caso obtenemos (1+1)- 1
=1, y en el segundo ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Prueba de divisibilidad por 12
El número 12 es compuesto. Su signo de divisibilidad es el cumplimiento de los signos de divisibilidad por 3 y 4 al mismo tiempo.
Por ejemplo, 300 y 636 corresponden tanto a los signos de divisibilidad por 4 (los 2 últimos dígitos son ceros o son divisibles por 4) como a los signos de divisibilidad por 3 (la suma de los dígitos del primer y tercer número son divisibles por 3), pero finalmente, son divisibles por 12 sin resto.
Pero 200 o 630 no son divisibles por 12, porque en el primer caso el número sólo cumple el criterio de divisibilidad entre 4, y en el segundo, sólo el criterio de divisibilidad entre 3, pero no ambos criterios al mismo tiempo.
Prueba de divisibilidad por 13
Un signo de divisibilidad por 13 es que si el número de decenas de un número sumado a las unidades de este número multiplicado por 4 es múltiplo de 13 o igual a 0, entonces el número en sí es divisible por 13.
Tomemos por ejemplo 70
2. Entonces, 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 es divisible por 13 sin resto), lo que significa 70
2 es divisible por 13 sin resto. Otro ejemplo es un número 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10. El número 130 es divisible por 13 sin resto, lo que significa que el número dado corresponde al criterio de divisibilidad entre 13.
Si tomamos los números 12
5 o 21
2, entonces obtenemos 12
+4*5=32 y 21
+4*2=29, respectivamente, y ni 32 ni 29 son divisibles por 13 sin resto, lo que significa que los números dados no son divisibles por 13 sin resto.
Divisibilidad de números
Como puede verse en lo anterior, se puede suponer que para cualquiera de los números naturales puede seleccionar su propio signo de divisibilidad individual o un signo "compuesto" si el número es múltiplo de varios números diferentes. Pero como muestra la práctica, básicamente cuanto mayor es el número, más complejo es su signo. Es posible que el tiempo dedicado a comprobar el criterio de divisibilidad sea igual o mayor que la propia división. Por eso solemos utilizar los signos de divisibilidad más simples.
El artículo examina el concepto de división de números enteros con resto. Demostremos el teorema de la divisibilidad de números enteros con resto y observemos las conexiones entre dividendos y divisores, cocientes incompletos y restos. Consideremos las reglas al dividir números enteros con restos, mirándolas en detalle usando ejemplos. Al final de la solución realizaremos una verificación.
Comprensión general de la división de números enteros con restos.
La división de números enteros con resto se considera división generalizada con resto de números naturales. Esto se hace porque los números naturales son componentes de los números enteros.
La división con resto de un número arbitrario dice que el número entero a se divide por un número b distinto de cero. Si b = 0, entonces no divida con resto.
Al igual que dividir números naturales con resto, los números enteros a y b se dividen, siendo b distinto de cero, por c y d. En este caso, a y b se denominan dividendo y divisor, y d es el resto de la división, c es un cociente entero o incompleto.
Si asumimos que el resto es un número entero no negativo, entonces su valor no es mayor que el módulo del número b. Escribámoslo de esta manera: 0 ≤ d ≤ b. Esta cadena de desigualdades se utiliza al comparar 3 o más números.
Si c es un cociente incompleto, entonces d es el resto de dividir el número entero a por b, que se puede expresar brevemente: a: b = c (resto d).
El resto al dividir números a por b puede ser cero, entonces dicen que a es divisible por b completamente, es decir, sin resto. La división sin resto se considera un caso especial de división.
Si dividimos cero por algún número, el resultado es cero. El resto de la división también será cero. Esto se puede rastrear a partir de la teoría de dividir cero por un número entero.
Ahora veamos el significado de dividir números enteros con resto.
Se sabe que los números enteros positivos son números naturales, entonces al dividir con resto se obtendrá el mismo significado que al dividir números naturales con resto.
Dividir un entero negativo a por un entero positivo b tiene sentido. Veamos un ejemplo. Imagine una situación en la que tenemos una deuda de artículos por la cantidad de a que debe ser reembolsada por b persona. Para lograrlo, todos deben contribuir por igual. Para determinar el monto de la deuda de cada uno, es necesario prestar atención al valor de los privados. El resto d indica que se conoce el número de artículos después de liquidar las deudas.
Veamos el ejemplo de las manzanas. Si 2 personas deben 7 manzanas. Si calculamos que cada uno debe devolver 4 manzanas, después del cálculo completo les quedará 1 manzana. Escribamos esto como una igualdad: (− 7) : 2 = − 4 (de t. 1) .
Dividir cualquier número a por un número entero no tiene sentido, pero es posible como opción.
Teorema de la divisibilidad de números enteros con resto
Hemos identificado que a es el dividendo, luego b es el divisor, c es el cociente parcial y d es el resto. Están conectados entre sí. Mostraremos esta conexión usando la igualdad a = b · c + d. La conexión entre ellos se caracteriza por el teorema de divisibilidad con resto.
Teorema
Cualquier número entero sólo puede representarse a través de un número entero y distinto de cero b de esta manera: a = b · q + r, donde q y r son algunos números enteros. Aquí tenemos 0 ≤ r ≤ b.
Demostremos la posibilidad de la existencia de a = b · q + r.
Prueba
Si hay dos números a y b, y a es divisible por b sin resto, entonces de la definición se deduce que existe un número q, y la igualdad a = b · q será verdadera. Entonces la igualdad puede considerarse verdadera: a = b · q + r para r = 0.
Entonces es necesario tomar q tal que dada por la desigualdad b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Tenemos que el valor de la expresión a − b · q es mayor que cero y no mayor que el valor del número b, se deduce que r = a − b · q. Encontramos que el número a se puede representar en la forma a = b · q + r.
Ahora debemos considerar la representación de a = b · q + r para valores negativos de b.
El módulo del número resulta positivo, entonces obtenemos a = b · q 1 + r, donde el valor q 1 es algún número entero, r es un número entero que cumple la condición 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Prueba de unicidad
Supongamos que a = b q + r, q y r son números enteros con la condición 0 ≤ r verdadera< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 Y r 1 son algunos números donde q 1 ≠ q, 0 ≤r 1< b .
Cuando la desigualdad se resta de los lados izquierdo y derecho, entonces obtenemos 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, lo que equivale a r - r 1 = b · q 1 - q. Dado que se utiliza el módulo, obtenemos la igualdad r - r 1 = b · q 1 - q.
La condición dada dice que 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q Y q 1- entero, y q ≠ q 1, entonces q 1 - q ≥ 1. De aquí tenemos que b · q 1 - q ≥ b. Las desigualdades resultantes r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
De ello se deduce que el número a no se puede representar de otra manera que no sea escribiendo a = b · q + r.
Relación entre dividendo, divisor, cociente parcial y resto
Usando la igualdad a = b · c + d, puedes encontrar el dividendo desconocido a cuando se conoce el divisor b con el cociente incompleto c y el resto d.
Ejemplo 1
Determina el dividendo si al dividir obtenemos - 21, el cociente parcial es 5 y el resto es 12.
Solución
Es necesario calcular el dividendo a con divisor conocido b = − 21, cociente incompleto c = 5 y resto d = 12. Necesitamos recurrir a la igualdad a = b · c + d, de aquí obtenemos a = (− 21) · 5 + 12. Si seguimos el orden de las acciones, multiplicamos - 21 por 5, tras lo cual obtenemos (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93.
Respuesta: - 93 .
La conexión entre el divisor y el cociente parcial y el resto se puede expresar usando las igualdades: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b y d = a − b · c . Con su ayuda podemos calcular el divisor, el cociente parcial y el resto. Esto se reduce a encontrar constantemente el resto al dividir un número entero de números enteros a por b con un dividendo, divisor y cociente parcial conocidos. Se aplica la fórmula d = a − b · c. Consideremos la solución en detalle.
Ejemplo 2
Encuentra el resto al dividir el número entero - 19 por el número entero 3 con un cociente incompleto conocido igual a - 7.
Solución
Para calcular el resto de la división, aplicamos una fórmula de la forma d = a − b · c. Por condición, todos los datos están disponibles: a = − 19, b = 3, c = − 7. De aquí obtenemos d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (diferencia − 19 − (− 21). Este ejemplo se calcula usando la regla de la resta un número entero negativo.
Respuesta: 2 .
Todos los números enteros positivos son números naturales. De ello se deduce que la división se realiza de acuerdo con todas las reglas de la división con un resto de números naturales. La velocidad de división con el resto de números naturales es importante, ya que en ella se basa no solo la división de números positivos, sino también las reglas para dividir números enteros arbitrarios.
El método de división más conveniente es la columna, ya que es más fácil y rápido obtener un incompleto o simplemente un cociente con resto. Veamos la solución con más detalle.
Ejemplo 3
Divide 14671 entre 54.
Solución
Esta división debe hacerse en una columna:
Es decir, el cociente parcial es igual a 271 y el resto es 37.
Respuesta: 14.671: 54 = 271. (resto 37)
La regla para dividir con resto un número entero positivo por un número entero negativo, ejemplos
Para realizar la división con el resto de un número positivo por un entero negativo, es necesario formular una regla.
Definición 1
El cociente incompleto de dividir el entero positivo a por el entero negativo b produce un número opuesto al cociente incompleto de dividir los módulos de los números a por b. Entonces el resto es igual al resto de dividir a por b.
De ahí tenemos que el cociente incompleto de dividir un entero positivo por un entero negativo se considera un entero no positivo.
Obtenemos el algoritmo:
- dividimos el módulo del dividendo por el módulo del divisor, entonces obtenemos un cociente incompleto y
- resto;
- Anotemos el número opuesto al que obtuvimos.
Veamos el ejemplo del algoritmo para dividir un número entero positivo por un número entero negativo.
Ejemplo 4
Divida con el resto 17 entre - 5.
Solución
Apliquemos el algoritmo para dividir con resto un número entero positivo por un número entero negativo. Es necesario dividir 17 entre - 5 módulo. De aquí obtenemos que el cociente parcial es igual a 3 y el resto es igual a 2.
Obtenemos el número requerido al dividir 17 entre - 5 = - 3 con un resto igual a 2.
Respuesta: 17: (− 5) = − 3 (restantes 2).
Ejemplo 5
Necesitas dividir 45 entre - 15.
Solución
Es necesario dividir los números en módulo. Dividimos el número 45 entre 15, obtenemos el cociente de 3 sin resto. Esto significa que el número 45 es divisible por 15 sin resto. La respuesta es - 3, ya que la división se realizó en módulo.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
Respuesta: 45: (− 15) = − 3 .
La formulación de la regla para la división con resto es la siguiente.
Definición 2
Para obtener un cociente incompleto c al dividir un entero negativo a por un b positivo, debe aplicar el opuesto del número dado y restarle 1, luego el resto d se calculará mediante la fórmula: d = a − b·c.
Con base en la regla, podemos concluir que al dividir obtenemos un número entero no negativo. Para garantizar la precisión de la solución, utilice el algoritmo para dividir a por b con resto:
- encontrar los módulos del dividendo y del divisor;
- dividir módulo;
- escribe el opuesto del número dado y resta 1;
- usa la fórmula para el resto d = a − b · c.
Veamos un ejemplo de una solución donde se utiliza este algoritmo.
Ejemplo 6
Encuentra el cociente parcial y el resto de la división: 17 entre 5.
Solución
Dividimos los números dados en módulo. Encontramos que al dividir, el cociente es 3 y el resto es 2. Como obtuvimos 3, lo opuesto es 3. Necesitas restar 1.
− 3 − 1 = − 4 .
El valor deseado es igual a - 4.
Para calcular el resto, necesitas a = − 17, b = 5, c = − 4, luego d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .
Esto significa que el cociente incompleto de la división es el número 4 con un resto igual a 3.
Respuesta:(− 17) : 5 = − 4 (3 restantes).
Ejemplo 7
Divide el número entero negativo - 1404 por el 26 positivo.
Solución
Es necesario dividir por columna y módulo.
Obtuvimos la división de los módulos de números sin resto. Esto significa que la división se realiza sin resto y el cociente deseado = - 54.
Respuesta: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Regla de división con resto para números enteros negativos, ejemplos
Es necesario formular una regla para la división con un resto de números enteros negativos.
Definición 3
Para obtener un cociente incompleto c al dividir un entero negativo a por un entero negativo b, es necesario realizar cálculos de módulo, luego sumar 1, luego podemos realizar cálculos usando la fórmula d = a − b · c.
De ello se deduce que el cociente incompleto de dividir números enteros negativos será un número positivo.
Formulemos esta regla en forma de algoritmo:
- encontrar los módulos del dividendo y del divisor;
- divida el módulo del dividendo por el módulo del divisor para obtener un cociente incompleto con
- resto;
- sumando 1 al cociente incompleto;
- cálculo del resto basado en la fórmula d = a − b · c.
Veamos este algoritmo usando un ejemplo.
Ejemplo 8
Encuentra el cociente parcial y el resto al dividir - 17 por - 5.
Solución
Para garantizar la exactitud de la solución, aplicamos el algoritmo de división con resto. Primero, divide los números en módulo. De esto obtenemos que el cociente parcial = 3 y el resto es 2. Según la regla, debes sumar el cociente incompleto y 1. Obtenemos que 3 + 1 = 4. De aquí obtenemos que el cociente parcial de dividir los números dados es igual a 4.
Para calcular el resto usaremos la fórmula. Por condición tenemos que a = − 17, b = − 5, c = 4, luego, usando la fórmula, obtenemos d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . La respuesta requerida, es decir, el resto, es igual a 3 y el cociente parcial es igual a 4.
Respuesta:(− 17) : (− 5) = 4 (restantes 3).
Comprobar el resultado de dividir números enteros con resto
Después de dividir números con resto, debes realizar una verificación. Esta verificación consta de 2 etapas. Primero, se verifica que el resto d no sea negativo, se cumple la condición 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Veamos ejemplos.
Ejemplo 9
La división se hace - 521 entre - 12. El cociente es 44 y el resto es 7. Realizar verificación.
Solución
Como el resto es un número positivo, su valor es menor que el módulo del divisor. El divisor es -12, lo que significa que su módulo es 12. Puede pasar al siguiente punto de control.
Por condición, tenemos que a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7. A partir de aquí calculamos b · c + d, donde b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. Se deduce que la igualdad es verdadera. Verificación aprobada.
Ejemplo 10
Realice la verificación de división (− 17): 5 = − 3 (restante − 2). ¿Es verdadera la igualdad?
Solución
El objetivo de la primera etapa es que es necesario comprobar la división de números enteros con resto. De esto se desprende claramente que la acción se realizó incorrectamente, ya que se dio un resto igual a - 2. El resto no es un número negativo.
Tenemos que se cumple la segunda condición, pero no suficiente para este caso.
Respuesta: No.
Ejemplo 11
El número - 19 se dividió entre - 3. El cociente parcial es 7 y el resto es 1. Compruebe si este cálculo se realizó correctamente.
Solución
Dado un resto igual a 1. Él es positivo. El valor es menor que el módulo divisor, lo que significa que se está completando la primera etapa. Pasemos a la segunda etapa.
Calculemos el valor de la expresión b · c + d. Por condición, tenemos que b = − 3, c = 7, d = 1, lo que significa que sustituyendo los valores numéricos obtenemos b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20. Se deduce que a = b · c + d la igualdad no se cumple, ya que la condición da a = - 19.
De esto se deduce que la división se hizo con un error.
Respuesta: No.
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En este artículo veremos división de números enteros con resto. Comencemos con el principio general de dividir números enteros con resto, formulemos y demostremos el teorema de la divisibilidad de números enteros con resto y tracemos las conexiones entre dividendo, divisor, cociente incompleto y resto. A continuación, describiremos las reglas mediante las cuales se dividen los números enteros con resto y consideraremos la aplicación de estas reglas al resolver ejemplos. Después de esto, aprenderemos cómo comprobar el resultado de dividir números enteros con resto.
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Comprensión general de la división de números enteros con resto.
Consideraremos la división de números enteros con resto como una generalización de la división con resto de números naturales. Esto se debe al hecho de que los números naturales son componentes de los números enteros.
Comencemos con los términos y designaciones que se utilizan en la descripción.
Por analogía con la división de números naturales con resto, asumiremos que el resultado de la división con resto de dos números enteros a y b (b no es igual a cero) son dos números enteros cy d. Los números a y b se llaman divisible Y divisor en consecuencia, el número d – el resto de dividir a por b, y el número entero c se llama privado incompleto(o simplemente privado, si el resto es cero).
Aceptemos asumir que el resto es un número entero no negativo y que su valor no excede b, es decir (encontramos cadenas de desigualdades similares cuando hablamos de comparar tres o más números enteros).
Si el número c es un cociente incompleto y el número d es el resto de dividir el número entero a por el número entero b, entonces escribiremos brevemente este hecho como una igualdad de la forma a:b=c (resto d).
Tenga en cuenta que al dividir un número entero a por un número entero b, el resto puede ser cero. En este caso decimos que a es divisible por b sin dejar rastro(o completamente). Por tanto, la división de números enteros sin resto es un caso especial de división de números enteros con resto.
También vale la pena decir que al dividir cero por algún número entero, siempre estamos ante una división sin resto, ya que en este caso el cociente será igual a cero (ver la sección de teoría de la división de cero por un número entero), y el resto también será igual a cero.
Hemos decidido la terminología y la notación, ahora comprendamos el significado de dividir números enteros con resto.
También se le puede dar significado a dividir un entero negativo a por un entero positivo b. Para ello, considere un número entero negativo como deuda. Imaginemos esta situación. La deuda que constituye las partidas debe ser saldada por b personas realizando una aportación igual. El valor absoluto del cociente incompleto c en este caso determinará el monto de la deuda de cada una de estas personas, y el resto d mostrará cuántas partidas quedarán después de pagar la deuda. Pongamos un ejemplo. Digamos que 2 personas deben 7 manzanas. Si asumimos que cada uno de ellos debe 4 manzanas, luego de pagar la deuda les quedará 1 manzana. Esta situación corresponde a la igualdad (−7):2=−4 (restante 1).
No le daremos ningún significado a la división con un resto de un número entero arbitrario a por un número entero negativo, pero nos reservaremos su derecho a existir.
Teorema de la divisibilidad de números enteros con resto
Cuando hablamos de dividir números naturales con resto, descubrimos que el dividendo a, el divisor b, el cociente parcial c y el resto d están relacionados por la igualdad a=b·c+d. Los números enteros a, b, cyd tienen la misma relación. Esta conexión se confirma de la siguiente manera teorema de divisibilidad con resto.
Teorema.
Cualquier número entero a se puede representar de forma única mediante un número entero y distinto de cero b en la forma a=b·q+r, donde q y r son algunos números enteros, y.
Prueba.
Primero, demostramos la posibilidad de representar a=b·q+r.
Si los números enteros a y b son tales que a es divisible por b, entonces, por definición, existe un número entero q tal que a=b·q. En este caso, se cumple la igualdad a=b·q+r en r=0.
Ahora asumiremos que b es un número entero positivo. Elijamos un número entero q para que el producto b·q no supere el número a, y el producto b·(q+1) ya sea mayor que a. Es decir, tomamos q tal que las desigualdades b q Queda por demostrar la posibilidad de representar a=b·q+r para b negativo. Dado que el módulo del número b en este caso es un número positivo, entonces hay una representación donde q 1 es un número entero y r es un número entero que satisface las condiciones. Luego, tomando q=−q 1, obtenemos la representación que necesitamos a=b·q+r para b negativo. Pasemos a la prueba de unicidad. Supongamos que además de la representación a=b·q+r, q y r son números enteros y , existe otra representación a=b·q 1 +r 1, donde q 1 y r 1 son unos números enteros, y q 1 ≠ q y . Después de restar los lados izquierdo y derecho de la segunda igualdad de los lados izquierdo y derecho de la primera igualdad, respectivamente, obtenemos 0=b·(q−q 1)+r−r 1, que equivale a la igualdad r− r 1 =b·(q 1 −q) . Entonces una igualdad de la forma De las condiciones podemos concluir eso. Dado que q y q 1 son números enteros y q≠q 1, entonces concluimos que La igualdad a=b·c+d permite encontrar el dividendo desconocido a si se conocen el divisor b, el cociente parcial c y el resto d. Veamos un ejemplo. Ejemplo. ¿Cuál es el valor del dividendo si al dividirlo por el número entero −21 el resultado es un cociente incompleto de 5 y un resto de 12? Solución. Necesitamos calcular el dividendo a cuando se conocen el divisor b=−21, el cociente parcial c=5 y el resto d=12. Volviendo a la igualdad a=b·c+d, obtenemos a=(−21)·5+12. Observando, primero multiplicamos los números enteros −21 y 5 de acuerdo con la regla para multiplicar números enteros con diferentes signos, después de lo cual realizamos la suma de números enteros con diferentes signos: (−21)·5+12=−105+12=−93 . Respuesta: −93
.
Las conexiones entre el dividendo, el divisor, el cociente parcial y el resto también se expresan mediante igualdades de la forma b=(a−d):c, c=(a−d):b y d=a−b·c. Estas igualdades te permiten calcular el divisor, el cociente parcial y el resto, respectivamente. Muchas veces tendremos que encontrar el resto al dividir un número entero a por un número entero b cuando se conocen el dividendo, el divisor y el cociente parcial, usando la fórmula d=a−b·c. Para evitar más preguntas, veamos un ejemplo de cálculo del resto. Ejemplo. Encuentra el resto al dividir el número entero −19 por el número entero 3 si sabes que el cociente parcial es igual a −7. Solución. Para calcular el resto de la división, usamos una fórmula de la forma d=a−b·c. De la condición tenemos todos los datos necesarios a=−19, b=3, c=−7. Obtenemos d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (calculamos la diferencia −19−(−21) usando la regla de restando un número entero negativo). Respuesta: Como hemos señalado más de una vez, los números enteros positivos son números naturales. Por tanto, la división con resto de números enteros positivos se realiza de acuerdo con todas las reglas para la división con resto de números naturales. Es muy importante poder realizar fácilmente la división con el resto de números naturales, ya que es esto lo que subyace a la división no solo de números enteros positivos, sino también la base de todas las reglas para la división con el resto de números enteros arbitrarios. Desde nuestro punto de vista, lo más conveniente es realizar la división en columnas, este método permite obtener tanto un cociente incompleto (o simplemente un cociente) como un resto. Veamos un ejemplo de división con resto de números enteros positivos. Ejemplo. Divida con el resto 14,671 entre 54. Solución. Dividamos estos números enteros positivos con una columna: El cociente parcial resultó ser igual a 271 y el resto es igual a 37. Respuesta: 14 671:54=271 (rest. 37). Formulemos una regla que nos permita realizar la división con el resto de un entero positivo por un entero negativo. El cociente parcial de dividir un entero positivo a por un entero negativo b es el opuesto del cociente parcial de dividir a por el módulo de b, y el resto de dividir a por b es igual al resto de dividir por. De esta regla se deduce que el cociente parcial de dividir un número entero positivo por un número entero negativo es un número entero no positivo. Transformemos la regla establecida en un algoritmo para dividir con resto un entero positivo por un entero negativo: Demos un ejemplo del uso del algoritmo para dividir un número entero positivo por un número entero negativo. Ejemplo. Divide con un resto del entero positivo 17 por el entero negativo −5. Solución. Usemos el algoritmo para dividir con resto un número entero positivo por un número entero negativo. dividiendo El número opuesto de 3 es −3. Por lo tanto, el cociente parcial requerido de dividir 17 entre −5 es −3 y el resto es 2. Respuesta: 17 :(−5)=−3 (restante 2). Ejemplo. Dividir 45 por -15. Solución. Los módulos del dividendo y del divisor son 45 y 15, respectivamente. El número 45 es divisible por 15 sin resto y el cociente es 3. Por lo tanto, el entero positivo 45 se divide por el entero negativo −15 sin resto, y el cociente es igual al número opuesto a 3, es decir, −3. De hecho, según la regla para dividir números enteros con diferentes signos, tenemos . Respuesta: 45:(−15)=−3
.
Demos la formulación de la regla para dividir un número entero negativo con resto por un número entero positivo. Para obtener un cociente incompleto c dividiendo un entero negativo a por un entero positivo b, debe tomar el número opuesto al cociente incompleto de dividir los módulos de los números originales y restarle uno, después de lo cual se calcula el resto d usando la fórmula d=a−b·c. De esta regla de división con resto se deduce que el cociente parcial de dividir un entero negativo por un entero positivo es un entero negativo. De la regla establecida se sigue un algoritmo para dividir con resto un entero negativo a por un entero positivo b: Analicemos la solución al ejemplo en el que utilizamos el algoritmo de división escrita con resto. Ejemplo. Encuentra el cociente parcial y el resto al dividir el entero negativo −17 por el entero positivo 5. Solución. El módulo del dividendo −17 es igual a 17 y el módulo del divisor 5 es igual a 5. dividiendo 17 por 5, obtenemos el cociente parcial 3 y el resto 2. El opuesto de 3 es −3. Resta uno de −3: −3−1=−4. Entonces, el cociente parcial requerido es igual a −4. Sólo queda calcular el resto. En nuestro ejemplo a=−17 , b=5 , c=−4 , entonces d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 . Por lo tanto, el cociente parcial de dividir el entero negativo −17 por el entero positivo 5 es −4 y el resto es 3. Respuesta: (−17):5=−4 (restantes 3) . Ejemplo. Divide el entero negativo −1,404 por el entero positivo 26. Solución. El módulo del dividendo es 1.404, el módulo del divisor es 26. Divida 1404 entre 26 usando una columna: Dado que el módulo del dividendo se divide por el módulo del divisor sin resto, los números enteros originales se dividen sin resto y el cociente deseado es igual al número opuesto a 54, es decir, −54. Respuesta: (−1 404):26=−54
.
Formulemos la regla para la división con un resto de números enteros negativos. Para obtener un cociente incompleto c dividiendo un entero negativo a por un entero negativo b, debe calcular el cociente incompleto dividiendo los módulos de los números originales y sumarle uno, después de lo cual el resto d se calcula usando la fórmula d =a−b·c. De esta regla se deduce que el cociente parcial de dividir números enteros negativos es un número entero positivo. Reescribamos la regla establecida en forma de algoritmo para dividir números enteros negativos: Consideremos el uso del algoritmo para dividir números enteros negativos al resolver un ejemplo. Ejemplo. Encuentra el cociente parcial y el resto al dividir un entero negativo −17 por un entero negativo −5. Solución. Usemos el algoritmo de división apropiado con resto. El módulo del dividendo es 17, el módulo del divisor es 5. División 17 sobre 5 da el cociente parcial 3 y el resto 2. Al cociente incompleto 3 le sumamos uno: 3+1=4. Por lo tanto, el cociente parcial requerido de dividir −17 entre −5 es igual a 4. Sólo queda calcular el resto. En este ejemplo a=−17, b=−5, c=4, entonces d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3. . Entonces, el cociente parcial de dividir un entero negativo −17 por un entero negativo −5 es 4 y el resto es 3. Respuesta: (−17):(−5)=4 (restantes 3) . Después de dividir números enteros con resto, es útil comprobar el resultado. La verificación se realiza en dos etapas. En la primera etapa, se verifica si el resto d es un número no negativo y también se verifica la condición. Si se cumplen todas las condiciones de la primera etapa de verificación, entonces puede pasar a la segunda etapa de verificación; de lo contrario, se puede argumentar que se cometió un error en algún lugar al dividir con resto. En la segunda etapa se comprueba la validez de la igualdad a=b·c+d. Si esta igualdad es cierta, entonces la división con resto se realizó correctamente; de lo contrario, se cometió un error en alguna parte. Veamos soluciones a ejemplos en los que se verifica el resultado de dividir números enteros con resto. Ejemplo. Al dividir el número −521 entre −12, el cociente parcial fue 44 y el resto fue 7, verifica el resultado. Solución. −2 para b=−3, c=7, d=1. Tenemos bc+d=−3·7+1=−21+1=−20. Por tanto, la igualdad a=b·c+d es incorrecta (en nuestro ejemplo a=−19). Por tanto, la división con resto se realizó incorrectamente.
, y debido a las propiedades del módulo de números, la igualdad 
.
. De las desigualdades obtenidas y se sigue que una igualdad de la forma imposible bajo nuestra suposición. Por lo tanto, no existe otra representación del número a que no sea a=b·q+r.Relaciones entre dividendo, divisor, cociente parcial y resto
División con resto de números enteros positivos, ejemplos
La regla para dividir con resto un número entero positivo por un número entero negativo, ejemplos
División con resto de un entero negativo por un entero positivo, ejemplos
Regla de división con resto para números enteros negativos, ejemplos
Comprobar el resultado de dividir números enteros con resto