Hoy veremos el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Puede leer sobre qué son estos sistemas en el artículo anterior dedicado a resolver los mismos SLAE utilizando el método Cramer. El método Gauss no requiere ningún conocimiento específico, sólo se necesita atención y constancia. A pesar de que, desde el punto de vista matemático, la formación escolar es suficiente para aplicarlo, los estudiantes suelen tener dificultades para dominar este método. ¡En este artículo intentaremos reducirlos a nada!
método de gauss
METRO método gaussiano– el método más universal para resolver SLAE (con la excepción de sistemas muy grandes). A diferencia de lo discutido anteriormente método de cramer, es adecuado no sólo para sistemas que tienen una única solución, sino también para sistemas que tienen un número infinito de soluciones. Hay tres opciones posibles aquí.
- El sistema tiene una solución única (el determinante de la matriz principal del sistema no es igual a cero);
- El sistema tiene un número infinito de soluciones;
- No hay soluciones, el sistema es incompatible.
Entonces tenemos un sistema (que tenga una solución) y lo vamos a resolver usando el método gaussiano. ¿Cómo funciona esto?
El método de Gauss consta de dos etapas: directa e inversa.
Trazo directo del método gaussiano.
Primero, escribamos la matriz extendida del sistema. Para hacer esto, agregue una columna de miembros libres a la matriz principal.
La esencia del método Gauss es llevar esta matriz a una forma escalonada (o, como también se dice, triangular), mediante transformaciones elementales. De esta forma, sólo debería haber ceros debajo (o encima) de la diagonal principal de la matriz.
Qué puedes hacer:
- Puedes reorganizar las filas de la matriz;
- Si hay filas iguales (o proporcionales) en una matriz, puede eliminar todas menos una;
- Puedes multiplicar o dividir una cadena por cualquier número (excepto cero);
- Se eliminan las filas nulas;
- Puede agregar una cadena multiplicada por un número distinto de cero a una cadena.
Método gaussiano inverso
Después de transformar el sistema de esta manera, una incógnita xn se conoce, y puedes encontrar todas las incógnitas restantes en orden inverso, sustituyendo las x ya conocidas en las ecuaciones del sistema, hasta la primera.
Cuando Internet está siempre a mano, puedes resolver un sistema de ecuaciones utilizando el método gaussiano. en línea. Sólo necesitas ingresar los coeficientes en la calculadora en línea. Pero debes admitir que es mucho más agradable darte cuenta de que el ejemplo no se ha solucionado. programa de computadora, pero con tu propio cerebro.
Un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones usando el método de Gauss.
Y ahora, un ejemplo para que todo quede claro y comprensible. Deja que el sistema se dé. ecuaciones lineales, y debes resolverlo usando el método gaussiano:
Primero escribimos la matriz extendida:
Ahora hagamos las transformaciones. Recordamos que necesitamos lograr una apariencia triangular de la matriz. Multipliquemos la primera línea por (3). Multiplica la segunda línea por (-1). Agregue la segunda línea a la primera y obtenga:
Luego multiplica la tercera línea por (-1). Agreguemos la tercera línea a la segunda:
Multipliquemos la primera línea por (6). Multipliquemos la segunda línea por (13). Agreguemos la segunda línea a la primera:
Listo: el sistema adopta la forma adecuada. Queda por encontrar las incógnitas:
Sistema en en este ejemplo tiene una solución única. Consideraremos la resolución de sistemas con un número infinito de soluciones en un artículo aparte. Quizás al principio no sepa por dónde empezar a transformar la matriz, pero después de la práctica adecuada lo dominará y descifrará los SLAE utilizando el método gaussiano como nueces. Y si de repente te encuentras con un SLAE que resulta ser un hueso demasiado difícil de descifrar, ¡contacta con nuestros autores! Puede solicitar un ensayo económico dejando una solicitud en la Oficina de Correspondencia. ¡Juntos solucionaremos cualquier problema!
Nota explicativa
Este desarrollo metodológico está destinado a impartir una lección en la disciplina "Matemáticas" sobre el tema "Resolución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss" de acuerdo con el plan de estudios de la disciplina académica desarrollado sobre la base del Estándar Educativo del Estado Federal para especialidades de educación secundaria vocacional .
Como resultado del estudio del tema. el estudiante debe:
saber:
- transformaciones elementales sobre matrices;
- etapas de resolución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss.
poder:
- Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss.
Objetivos de la lección:
educativo:
- considerar transformaciones elementales sobre matrices;
- Considere el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
desarrollo:
- desarrollar la capacidad de analizar la información recibida y sacar conclusiones;
educativo:
- cultivar el interés de los estudiantes por la disciplina que se estudia, mostrar la importancia del conocimiento sobre este tema para sus futuras actividades profesionales;
- cultivar la disposición y la capacidad para la educación, incluida la autoeducación, a lo largo de la vida.
Progreso de la lección
| actividades del maestro | Actividades estudiantiles | tiempo total |
| 1. Parte organizativa | ||
| Etiquetas estudiantes en diario | 1 minuto | |
| 2. comprobar trabajo independiente | Entregar trabajo independiente extraescolar completado | 5 minutos |
| 3. Presentación del material teórico | ||
| Informa el tema y los objetivos de la lección. | Analizar el propósito de la lección. Registra el tema en un cuaderno. |
1 minuto |
| Explica el curso de la lección. | Registre el plan de conferencia en un cuaderno. | 3 minutos |
| Introduce el método gaussiano. | Fijar las etapas de resolución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método gaussiano. | 15 minutos |
| Introduce transformaciones matriciales elementales. | Corregir transformaciones de matrices elementales. | 15 minutos |
| Examina el método gaussiano utilizando un ejemplo específico. | Registre el progreso de la solución en un cuaderno. | 12 minutos |
| 4. Parte práctica | ||
| Tareas completas | 25 minutos | |
| Proporciona consultas a los estudiantes en función de los resultados de la lección. | Hacer las cuestiones | 5 minutos |
| 5. Resumen de la lección | ||
| Comprueba los resultados del trabajo. | Evaluar los resultados de su trabajo. | 5 minutos |
| Registra los resultados del análisis en el registro. | ||
| Proporciona trabajo extracurricular independiente con explicaciones. | Registre la tarea y haga preguntas sobre su finalización. | 3 minutos |
Calificación "Excelente":
- el trabajo está completamente terminado;
Calificación "Bien":
Calificación "satisfactoriamente":
Calificación "insatisfactorio":
tiempo total- 90 min.
Plan de lección:
- Momento organizacional;
- Comprobación del trabajo independiente extraescolar;
- Parte teórica;
- Parte práctica;
- Resultados de la lección.
parte teorica
Uno de los métodos más universales y eficaces para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales es el método de Gauss, que consiste en la eliminación secuencial de incógnitas.
Un sistema de n ecuaciones lineales con m incógnitas puede tener la forma:
I=1, 2, 3,…, n; j=1, 2, 3,..., metro.
Tenga en cuenta que el número de incógnitas m y el número de ecuaciones n en el caso general no están relacionados entre sí. Son posibles tres casos: m=n, m > n, m< n.
Una solución de un sistema es cualquier secuencia finita de m números ( 
, que es la solución de cada una de las ecuaciones del sistema.
El proceso de solución gaussiana consta de dos etapas:
1. El sistema se reduce a una forma escalonada (triangular).
2. Determinación coherente de incógnitas a partir del sistema paso a paso resultante.
Sea un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas x, y, z.
Introduzcamos en consideración sistema matricial
Y matriz extendida 
.
Transformaciones matriciales elementales:
1. Intercambie dos filas de la matriz:
;
2. Multiplicación (división) de todos los elementos de una fila de la matriz por un número distinto de cero:
Divide los elementos de la primera línea por 2 y multiplica la segunda por 2.
.
3. Sumar a todos los elementos de una fila de la matriz los elementos correspondientes de otra fila, multiplicados por el mismo número:
Multipliquemos los elementos de la primera línea por 2:
.
Agreguemos a todos los elementos de la primera línea los elementos correspondientes de la segunda línea, mientras escribimos los elementos de la primera línea sin cambios:
Dividamos los elementos de la primera línea por 2:
En la práctica, algunas acciones se realizan de forma oral:
Si durante el proceso de transformación aparece una fila cero en la matriz, se puede eliminar.
Consideremos la esencia del método de Gauss en un sistema específico de ecuaciones lineales (ver Solicitud):
Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss.
Escribamos la matriz extendida:
El sistema original se redujo a uno paso a paso:
De la última ecuación de la penúltima ecuación o .
Encontremos a partir de la primera ecuación: o.
GRAMO) 
Criterios para evaluar el desempeño del trabajo independiente:
Calificación "Excelente":
- el trabajo está completamente terminado;
- no existen lagunas ni errores en el razonamiento lógico y la justificación de la decisión;
- no hay errores matemáticos en la solución (puede haber una inexactitud, un error tipográfico, que no es consecuencia del desconocimiento o mala comprensión del material educativo).
Calificación "Bien":
- el trabajo se ha completado en su totalidad, pero la justificación de las medidas de decisión es insuficiente (si la capacidad de fundamentar el razonamiento no fuera un objeto especial de prueba);
- se cometió un error o hubo dos o tres deficiencias en los cálculos, dibujos, dibujos o gráficos (si este tipo de trabajos no fueran objeto especial de inspección).
Calificación "satisfactoriamente":
- se cometió más de un error o más de dos o tres deficiencias en cálculos, dibujos o gráficas, pero el estudiante tiene las habilidades requeridas sobre el tema que se evalúa.
Calificación "insatisfactorio":
- Se cometieron errores importantes, lo que demostró que el estudiante no posee plenamente las habilidades requeridas en este tema.
En nuestra calculadora encontrarás gratis resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss en línea con soluciones detalladas e incluso números complejos. Con nosotros podrás resolver tanto un sistema de ecuaciones ordinario definido como indefinido, que tiene un número infinito de soluciones. En este caso, en la respuesta recibirás la dependencia de unas variables a través de otras, libres. También puede comprobar la coherencia del sistema utilizando el mismo método gaussiano.
Puede leer más sobre cómo utilizar nuestra calculadora en línea en las instrucciones.
Sobre el método
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método gaussiano, se realizan los siguientes pasos.
- Escribimos la matriz extendida.
- De hecho, el algoritmo se divide en avance y retroceso. Un movimiento directo es la reducción de una matriz a una forma escalonada. El movimiento inverso es la reducción de la matriz a una forma escalonada especial. Pero en la práctica, es más conveniente poner a cero inmediatamente lo que se encuentra tanto arriba como debajo del elemento en cuestión. Nuestra calculadora utiliza exactamente este enfoque.
- Es importante tener en cuenta que al resolver mediante el método gaussiano, la presencia en la matriz de al menos una fila cero con un lado derecho distinto de cero (columna de términos libres) indica la incompatibilidad del sistema. En este caso no hay solución.
Para comprender mejor cómo funciona el algoritmo, ingrese cualquier ejemplo, seleccione "solución muy detallada" y estudie la respuesta.
Sea el sistema dado, ∆≠0. (1)método de gauss es un método para eliminar secuencialmente incógnitas.
La esencia del método de Gauss es transformar (1) en un sistema con una matriz triangular, a partir del cual se obtienen secuencialmente (a la inversa) los valores de todas las incógnitas. Consideremos uno de los esquemas computacionales. Este circuito se llama circuito de división simple. Así que veamos este diagrama. Sea 11 ≠0 (elemento principal) divida la primera ecuación por 11. obtenemos
x 1 +a (1) 12 x 2 +...+a (1) 1n x n =b (1) 1 (2)
Utilizando la ecuación (2), es fácil eliminar las incógnitas x 1 del resto de ecuaciones del sistema (para ello basta con restar la ecuación (2) de cada ecuación, previamente multiplicada por el coeficiente correspondiente a x 1) , es decir, en el primer paso obtenemos
.
En otras palabras, en el paso 1, cada elemento de las filas siguientes, comenzando por la segunda, es igual a la diferencia entre el elemento original y el producto de su "proyección" en la primera columna y la primera fila (transformada).
A continuación, dejando la primera ecuación sola, realizamos una transformación similar sobre las ecuaciones restantes del sistema obtenido en el primer paso: seleccionamos de entre ellas la ecuación con el elemento principal y, con su ayuda, excluimos x 2 del resto ecuaciones (paso 2).
Después de n pasos, en lugar de (1), obtenemos un sistema equivalente 
(3)
Así, en la primera etapa obtenemos un sistema triangular (3). Esta etapa se llama carrera hacia adelante.
En la segunda etapa (inversa), encontramos secuencialmente de (3) los valores x n, x n -1, ..., x 1.
Denotaremos la solución resultante como x 0 . Entonces la diferencia ε=b-A x 0 llamado residual.
Si ε=0, entonces la solución encontrada x 0 es correcta.
Los cálculos mediante el método gaussiano se realizan en dos etapas:
- La primera etapa se llama método directo. En la primera etapa, el sistema original se convierte a una forma triangular.
- La segunda etapa se llama carrera inversa. En la segunda etapa se resuelve un sistema triangular equivalente al original.
En cada paso, se supuso que el elemento principal era distinto de cero. Si este no es el caso, entonces se puede utilizar cualquier otro elemento como elemento principal, como si se reorganizaran las ecuaciones del sistema.
Propósito del método de Gauss
El método de Gauss está diseñado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se refiere a métodos de solución directa.Tipos de método gaussiano
- Método gaussiano clásico;
- Modificaciones del método de Gauss. Una de las modificaciones del método gaussiano es un esquema con elección del elemento principal. Una característica del método de Gauss con la elección del elemento principal es una reordenación de las ecuaciones de modo que en el k-ésimo paso el elemento principal resulta ser el elemento más grande en la k-ésima columna.
- método Jordano-Gauss;
Ilustremos la diferencia Método Jordano-Gauss del método gaussiano con ejemplos.
Ejemplo de solución utilizando el método gaussiano
Resolvamos el sistema: 
Multipliquemos la segunda línea por (2). Añade la tercera línea a la segunda. 
Desde la 1ª línea expresamos x 3:
Desde la 2da línea expresamos x 2:
Desde la 3ª línea expresamos x 1: 
Un ejemplo de solución utilizando el método Jordano-Gauss.
Resolvamos el mismo SLAE usando el método Jordano-Gauss. 
Seleccionaremos secuencialmente el elemento de resolución RE, que se encuentra en la diagonal principal de la matriz.
El elemento de resolución es igual a (1).
NE = SE - (A*B)/RE
RE - elemento de resolución (1), A y B - elementos matriciales que forman un rectángulo con los elementos STE y RE.
Presentemos el cálculo de cada elemento en forma de tabla:
| x1 | x2 | x3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
El elemento resolutivo es igual a (3).
En lugar del elemento de resolución obtenemos 1, y en la propia columna escribimos ceros.
Todos los demás elementos de la matriz, incluidos los elementos de la columna B, están determinados por la regla del rectángulo.
Para ello seleccionamos cuatro números que se ubican en los vértices del rectángulo y siempre incluyen el elemento resolutivo RE.
| x1 | x2 | x3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
El elemento de resolución es (-4).
En lugar del elemento de resolución obtenemos 1, y en la propia columna escribimos ceros.
Todos los demás elementos de la matriz, incluidos los elementos de la columna B, están determinados por la regla del rectángulo.
Para ello seleccionamos cuatro números que se ubican en los vértices del rectángulo y siempre incluyen el elemento resolutivo RE.
Presentemos el cálculo de cada elemento en forma de tabla:
| x1 | x2 | x3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Respuesta: x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1
Implementación del método gaussiano.
El método gaussiano se implementa en muchos lenguajes de programación, en particular: Pascal, C++, php, Delphi, y también existe una implementación en línea del método gaussiano.Usando el método gaussiano
Aplicación del método Gauss en la teoría de juegos.
En la teoría de juegos, para encontrar la estrategia máxima óptima de un jugador, se compila un sistema de ecuaciones que se resuelve mediante el método gaussiano.Aplicación del método de Gauss en la resolución de ecuaciones diferenciales.
Para encontrar una solución particular a una ecuación diferencial, primero encuentre las derivadas del grado apropiado para la solución parcial escrita (y=f(A,B,C,D)), que se sustituyen en la ecuación original. A continuación, para encontrar las variables A, B, C, D, se elabora un sistema de ecuaciones que se resuelve mediante el método gaussiano.Aplicación del método Jordano-Gauss en programación lineal.
En programación lineal, en particular en el método simplex, la regla del rectángulo, que utiliza el método Jordano-Gauss, se utiliza para transformar la tabla simplex en cada iteración.Ejemplos
Ejemplo No. 1. Resuelva el sistema usando el método gaussiano:x1 +2x2 - 3x3 + x4 = -2
x 1 + 2 x 2 - x 3 + 2 x 4 = 1
3x 1 -x 2 + 2x 3 + x 4 = 3
3x 1 +x 2 + x 3 + 3x 4 = 2
Para facilitar el cálculo, intercambiemos las líneas:
Multiplica la segunda línea por (-1). Añade la segunda línea a la primera.
Para facilitar el cálculo, intercambiemos las líneas:
Desde la 1ra línea expresamos x 4
Desde la 2da línea expresamos x 3
Desde la 3ra línea expresamos x 2
Desde la 4ta línea expresamos x 1
Ejemplo No. 3.
- Resuelva SLAE utilizando el método Jordano-Gauss. Escribamos el sistema en la forma: El elemento resolutivo es igual a (2.2). En lugar del elemento de resolución obtenemos 1, y en la propia columna escribimos ceros. Todos los demás elementos de la matriz, incluidos los elementos de la columna B, están determinados por la regla del rectángulo. x1 = 1,00, x2 = 1,00, x3 = 1,00
- Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss.
EjemploVea qué tan rápido puede saber si un sistema es colaborativo
Instrucciones en vídeo
- Utilizando el método gaussiano para eliminar incógnitas, resuelva el sistema de ecuaciones lineales. Verifique la solución encontrada: Solución
- Resolver un sistema de ecuaciones usando el método de Gauss. Se recomienda que las transformaciones asociadas con la eliminación secuencial de incógnitas se apliquen a la matriz extendida de un sistema determinado. Verifique la solución resultante.
Solución:xls - Resolver un sistema de ecuaciones lineales de tres formas: a) el método de Gauss de eliminación sucesiva de incógnitas; b) utilizando la fórmula x = A -1 b con el cálculo de la matriz inversa A -1 ; c) según las fórmulas de Cramer.
Solución:xls - Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones degenerado utilizando el método de Gauss.
Descargar documento de solución - Resolver mediante el método de Gauss un sistema de ecuaciones lineales escrito en forma matricial:
7 8 -3 x 92
2 2 2 años = 30
-9 -10 5 z -114
Resolver un sistema de ecuaciones usando el método de la suma.
Resuelve el sistema de ecuaciones 6x+5y=3, 3x+3y=4 usando el método de la suma.Solución.
6x+5y=3
3x+3y=4
Multipliquemos la segunda ecuación por (-2).
6x+5y=3
-6x-6y=-8
============= (añadir)
-y=-5
¿De dónde viene y = 5?
Encuentra x:
6x+5*5=3 o 6x=-22
¿Dónde x = -22/6 = -11/3?
Ejemplo No. 2. Resolver un SLAE en forma matricial significa que el registro original del sistema debe convertirse en un registro matricial (la llamada matriz extendida). Demostremos esto con un ejemplo.
Escribamos el sistema en forma de matriz extendida:
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 = -21/(-21) = 1
x2 = /15
x1 = /3
Desde la 2da línea expresamos x 2:
Desde la 3ª línea expresamos x 1:
Ejemplo No. 3. Resuelva el sistema usando el método gaussiano: x 1 +2x 2 - 3x 3 + x 4 = -2
x 1 + 2 x 2 - x 3 + 2 x 4 = 1
3x 1 -x 2 + 2x 3 + x 4 = 3
3x 1 +x 2 + x 3 + 3x 4 = 2
Solución:
Escribamos el sistema en la forma:
Para facilitar el cálculo, intercambiemos las líneas:
Multiplica la segunda línea por (-1). Añade la segunda línea a la primera.
Multiplica la segunda línea por (3). Multiplica la tercera línea por (-1). Añade la tercera línea a la segunda.
Multiplica la cuarta línea por (-1). Añade la cuarta línea a la tercera.
Para facilitar el cálculo, intercambiemos las líneas:
Multiplica la primera línea por (0). Añade la segunda línea a la primera.
Multiplica la segunda línea por (7). Multipliquemos la tercera línea por (2). Añade la tercera línea a la segunda.
Multipliquemos la primera línea por (15). Multipliquemos la segunda línea por (2). Añade la segunda línea a la primera.
Desde la 1ra línea expresamos x 4
Desde la 2da línea expresamos x 3
Desde la 3ra línea expresamos x 2
Desde la 4ta línea expresamos x 1
Dos sistemas de ecuaciones lineales se llaman equivalentes si el conjunto de todas sus soluciones coincide.
Las transformaciones elementales de un sistema de ecuaciones son:
- Eliminar ecuaciones triviales del sistema, es decir aquellos para los cuales todos los coeficientes son iguales a cero;
- Multiplicar cualquier ecuación por un número distinto de cero;
- Sumar a cualquier ecuación i-ésima cualquier ecuación j-ésima multiplicada por cualquier número.
Una variable x i se llama libre si esta variable no está permitida, pero sí se permite todo el sistema de ecuaciones.
Teorema. Las transformaciones elementales transforman un sistema de ecuaciones en uno equivalente.
El significado del método gaussiano es transformar el sistema de ecuaciones original y obtener un sistema equivalente resuelto o equivalente inconsistente.
Entonces, el método gaussiano consta de los siguientes pasos:
- Veamos la primera ecuación. Elijamos el primer coeficiente distinto de cero y dividamos toda la ecuación por él. Obtenemos una ecuación en la que entra alguna variable x i con coeficiente 1;
- Restemos esta ecuación de todas las demás, multiplicándola por números tales que los coeficientes de la variable x i en las ecuaciones restantes se pongan a cero. Obtenemos un sistema resuelto respecto de la variable x i y equivalente al original;
- Si surgen ecuaciones triviales (rara vez, pero sucede; por ejemplo, 0 = 0), las tachamos del sistema. Como resultado, hay una ecuación menos;
- Repetimos los pasos anteriores no más de n veces, donde n es el número de ecuaciones del sistema. Cada vez seleccionamos una nueva variable para “procesar”. Si surgen ecuaciones inconsistentes (por ejemplo, 0 = 8), el sistema es inconsistente.
Como resultado, tras unos pocos pasos obtendremos un sistema resuelto (posiblemente con variables libres) o uno inconsistente. Los sistemas permitidos se dividen en dos casos:
- El número de variables es igual al número de ecuaciones. Esto significa que el sistema está definido;
- El número de variables es mayor que el número de ecuaciones. Recopilamos todas las variables libres a la derecha; obtenemos fórmulas para las variables permitidas. Estas fórmulas están escritas en la respuesta.
¡Eso es todo! ¡Sistema de ecuaciones lineales resuelto! Este es un algoritmo bastante simple y para dominarlo no es necesario contactar a un tutor de matemáticas superior. Veamos un ejemplo:
Tarea. Resuelve el sistema de ecuaciones:
Descripción de pasos:
- Reste la primera ecuación de la segunda y la tercera: obtenemos la variable permitida x 1;
- Multiplicamos la segunda ecuación por (−1) y dividimos la tercera ecuación por (−3); obtenemos dos ecuaciones en las que la variable x 2 entra con un coeficiente de 1;
- Sumamos la segunda ecuación a la primera y restamos de la tercera. Obtenemos la variable permitida x 2 ;
- Finalmente, restamos la tercera ecuación de la primera: obtenemos la variable permitida x 3;
- Hemos recibido un sistema aprobado, anota la respuesta.
La solución general de un sistema simultáneo de ecuaciones lineales es un sistema nuevo, equivalente al original, en el que todas las variables permitidas se expresan en términos de libres.
¿Cuándo podría ser necesaria una solución general? Si tienes que hacer menos pasos que k (k es cuántas ecuaciones hay). Sin embargo, las razones por las que el proceso termina en algún paso l< k , может быть две:
- Después del paso l, obtuvimos un sistema que no contiene una ecuación con el número (l + 1). De hecho, esto es bueno, porque... El sistema autorizado todavía se obtiene, incluso unos pasos antes.
- Después del paso l, obtuvimos una ecuación en la que todos los coeficientes de las variables son iguales a cero y el coeficiente libre es diferente de cero. Esta es una ecuación contradictoria y, por tanto, el sistema es inconsistente.
Es importante comprender que la aparición de una ecuación inconsistente utilizando el método gaussiano es base suficiente para la inconsistencia. Al mismo tiempo, observamos que, como resultado del décimo paso, no pueden quedar ecuaciones triviales: todas se tachan en el proceso.
Descripción de pasos:
- Resta la primera ecuación, multiplicada por 4, de la segunda. Y también sumamos la primera ecuación a la tercera: obtenemos la variable permitida x 1;
- Resta la tercera ecuación, multiplicada por 2, de la segunda: obtenemos la ecuación contradictoria 0 = −5.
Entonces, el sistema es inconsistente porque se ha descubierto una ecuación inconsistente.
Tarea. Explore la compatibilidad y encuentre una solución general para el sistema:
Descripción de pasos:
- Restamos la primera ecuación de la segunda (después de multiplicarla por dos) y la tercera: obtenemos la variable permitida x 1;
- Resta la segunda ecuación de la tercera. Como todos los coeficientes de estas ecuaciones son iguales, la tercera ecuación se volverá trivial. Al mismo tiempo, multiplica la segunda ecuación por (−1);
- Reste la segunda de la primera ecuación: obtenemos la variable permitida x 2. Ahora también está resuelto todo el sistema de ecuaciones;
- Como las variables x 3 y x 4 son libres, las movemos hacia la derecha para expresar las variables permitidas. Ésta es la respuesta.
Entonces, el sistema es consistente e indeterminado, ya que hay dos variables permitidas (x 1 y x 2) y dos libres (x 3 y x 4).