El artículo examina el concepto de división de números enteros con resto. Demostremos el teorema de la divisibilidad de números enteros con resto y observemos las conexiones entre dividendos y divisores, cocientes incompletos y restos. Veamos las reglas al dividir números enteros con restos, analizándolas en detalle usando ejemplos. Al final de la solución realizaremos una verificación.
Comprensión general de la división de números enteros con restos.
La división de números enteros con resto se trata como división generalizada con resto números naturales. Esto se hace porque los números naturales son componentes de los números enteros.
La división con resto de un número arbitrario dice que el número entero a se divide por un número b distinto de cero. Si b = 0, entonces no divida con resto.
Al igual que dividir números naturales con resto, los números enteros a y b se dividen, siendo b distinto de cero, por c y d. En este caso, a y b se denominan dividendo y divisor, y d es el resto de la división, c es un cociente entero o incompleto.
Si asumimos que el resto es un número entero no negativo, entonces su valor no es mayor que el módulo del número b. Escribámoslo de esta manera: 0 ≤ d ≤ b. Esta cadena de desigualdades se utiliza al comparar 3 o más números.
Si c es un cociente incompleto, entonces d es el resto de dividir el número entero a por b, que se puede expresar brevemente: a: b = c (resto d).
El resto al dividir números a por b puede ser cero, entonces dicen que a es divisible por b completamente, es decir, sin resto. La división sin resto se considera un caso especial de división.
Si dividimos cero por algún número, el resultado es cero. El resto de la división también será cero. Esto se puede rastrear a partir de la teoría de dividir cero por un número entero.
Ahora veamos el significado de dividir números enteros con resto.
Se sabe que los números enteros positivos son números naturales, entonces al dividir con resto se obtendrá el mismo significado que al dividir números naturales con resto.
Dividir un entero negativo a por un entero positivo b tiene sentido. Veamos un ejemplo. Imagine una situación en la que tenemos una deuda de artículos por la cantidad de a que debe ser reembolsada por b persona. Para lograrlo, todos deben contribuir por igual. Para determinar el monto de la deuda de cada uno, es necesario prestar atención al valor de los privados. El resto d indica que se conoce el número de artículos después de liquidar las deudas.
Veamos el ejemplo de las manzanas. Si 2 personas deben 7 manzanas. Si calculamos que todos deben devolver 4 manzanas, después del cálculo completo les quedará 1 manzana. Escribamos esto como una igualdad: (− 7) : 2 = − 4 (de t. 1) .
Dividir cualquier número a por un número entero no tiene sentido, pero es posible como opción.
Teorema sobre la divisibilidad de números enteros con resto
Hemos identificado que a es el dividendo, luego b es el divisor, c es el cociente parcial y d es el resto. Están conectados entre sí. Mostraremos esta conexión usando la igualdad a = b · c + d. La conexión entre ellos se caracteriza por el teorema de divisibilidad con resto.
Teorema
Cualquier número entero sólo puede representarse a través de un número entero y distinto de cero b de esta manera: a = b · q + r, donde q y r son algunos números enteros. Aquí tenemos 0 ≤ r ≤ b.
Demostremos la posibilidad de la existencia de a = b · q + r.
Prueba
Si hay dos números a y b, y a es divisible por b sin resto, entonces de la definición se deduce que existe un número q, y la igualdad a = b · q será verdadera. Entonces la igualdad puede considerarse verdadera: a = b · q + r para r = 0.
Entonces es necesario tomar q tal que dada por la desigualdad b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Tenemos que el valor de la expresión a − b · q es mayor que cero y no mayor que el valor del número b, se deduce que r = a − b · q. Encontramos que el número a se puede representar en la forma a = b · q + r.
Ahora debemos considerar la representación de a = b · q + r para valores negativos de b.
El módulo del número resulta positivo, entonces obtenemos a = b · q 1 + r, donde el valor q 1 es algún número entero, r es un número entero que cumple la condición 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Prueba de unicidad
Supongamos que a = b q + r, q y r son números enteros con la condición 0 ≤ r verdadera< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 Y r 1 son algunos números donde q 1 ≠ q, 0 ≤r 1< b .
Cuando la desigualdad se resta de los lados izquierdo y derecho, entonces obtenemos 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, que es equivalente a r - r 1 = b · q 1 - q. Dado que se utiliza el módulo, obtenemos la igualdad r - r 1 = b · q 1 - q.
La condición dada dice que 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q Y q 1- entero, y q ≠ q 1, entonces q 1 - q ≥ 1. De aquí tenemos que b · q 1 - q ≥ b. Las desigualdades resultantes r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
De ello se deduce que el número a no se puede representar de otra manera que no sea escribiendo a = b · q + r.
Relación entre dividendo, divisor, cociente parcial y resto
Usando la igualdad a = b · c + d, puedes encontrar el dividendo desconocido a cuando se conoce el divisor b con el cociente incompleto c y el resto d.
Ejemplo 1
Determina el dividendo si al dividir obtenemos - 21, el cociente parcial es 5 y el resto es 12.
Solución
Es necesario calcular el dividendo a con divisor conocido b = − 21, cociente incompleto c = 5 y resto d = 12. Necesitamos recurrir a la igualdad a = b · c + d, de aquí obtenemos a = (− 21) · 5 + 12. Si seguimos el orden de las acciones, multiplicamos - 21 por 5, tras lo cual obtenemos (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93.
Respuesta: - 93 .
La conexión entre el divisor y el cociente parcial y el resto se puede expresar usando las igualdades: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b y d = a − b · c . Con su ayuda podemos calcular el divisor, el cociente parcial y el resto. Esto se reduce a encontrar constantemente el resto al dividir un número entero de números enteros a por b con un dividendo, divisor y cociente parcial conocidos. Se aplica la fórmula d = a − b · c. Veamos la solución en detalle.
Ejemplo 2
Encuentra el resto al dividir el número entero - 19 por el número entero 3 con un cociente incompleto conocido igual a - 7.
Solución
Para calcular el resto de la división, aplicamos una fórmula de la forma d = a − b · c. Por condición, todos los datos están disponibles: a = − 19, b = 3, c = − 7. De aquí obtenemos d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (diferencia − 19 − (− 21). este ejemplo calculado usando la regla de restar un número entero negativo.
Respuesta: 2 .
Todos los números enteros positivos son números naturales. De ello se deduce que la división se realiza de acuerdo con todas las reglas de la división con un resto de números naturales. La velocidad de división con el resto de números naturales es importante, ya que en ella se basa no solo la división de números positivos, sino también las reglas para dividir números enteros arbitrarios.
El método de división más conveniente es la columna, ya que es más fácil y rápido obtener un incompleto o simplemente un cociente con resto. Veamos la solución con más detalle.
Ejemplo 3
Divide 14671 entre 54.
Solución
Esta división debe hacerse en una columna:
Es decir, el cociente parcial es igual a 271 y el resto es 37.
Respuesta: 14.671: 54 = 271. (resto 37)
La regla para dividir con resto un número entero positivo por un número entero negativo, ejemplos
Para realizar la división con el resto de un número positivo por un entero negativo, es necesario formular una regla.
Definición 1
El cociente incompleto de dividir el entero positivo a por el entero negativo b produce un número opuesto al cociente incompleto de dividir los módulos de los números a por b. Entonces el resto es igual al resto de dividir a por b.
De ahí tenemos que el cociente incompleto de dividir un entero positivo por un entero negativo se considera un entero no positivo.
Obtenemos el algoritmo:
- dividimos el módulo del dividendo por el módulo del divisor, entonces obtenemos un cociente incompleto y
- resto;
- Anotemos el número opuesto al que obtuvimos.
Veamos el ejemplo del algoritmo para dividir un número entero positivo por un número entero negativo.
Ejemplo 4
Divida con el resto 17 entre - 5.
Solución
Apliquemos el algoritmo para dividir con resto un número entero positivo por un número entero negativo. Es necesario dividir 17 entre - 5 módulo. De esto obtenemos que el cociente parcial es igual a 3 y el resto es igual a 2.
Obtenemos el número requerido al dividir 17 entre - 5 = - 3 con un resto igual a 2.
Respuesta: 17: (− 5) = − 3 (restantes 2).
Ejemplo 5
Necesitas dividir 45 entre - 15.
Solución
Es necesario dividir los números en módulo. Dividimos el número 45 entre 15, obtenemos el cociente de 3 sin resto. Esto significa que el número 45 es divisible por 15 sin resto. La respuesta es - 3, ya que la división se realizó en módulo.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
Respuesta: 45: (− 15) = − 3 .
La formulación de la regla para la división con resto es la siguiente.
Definición 2
Para obtener un cociente incompleto c al dividir un entero negativo a por un b positivo, debe aplicar el opuesto del número dado y restarle 1, luego el resto d se calculará mediante la fórmula: d = a − b·c.
Con base en la regla, podemos concluir que al dividir obtenemos un número entero no negativo. Para garantizar la precisión de la solución, utilice el algoritmo para dividir a por b con resto:
- encontrar los módulos del dividendo y del divisor;
- dividir módulo;
- escribe el opuesto del número dado y resta 1;
- usa la fórmula para el resto d = a − b · c.
Veamos un ejemplo de una solución donde se utiliza este algoritmo.
Ejemplo 6
Encuentra el cociente parcial y el resto de la división: 17 entre 5.
Solución
Dividimos los números dados en módulo. Encontramos que al dividir, el cociente es 3 y el resto es 2. Como obtuvimos 3, lo opuesto es 3. Necesitas restar 1.
− 3 − 1 = − 4 .
El valor deseado es igual a - 4.
Para calcular el resto, necesitas a = − 17, b = 5, c = − 4, luego d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .
Esto significa que el cociente incompleto de la división es el número 4 con un resto igual a 3.
Respuesta:(− 17) : 5 = − 4 (restantes 3).
Ejemplo 7
Divide el número entero negativo - 1404 por el 26 positivo.
Solución
Es necesario dividir por columna y módulo.
Obtuvimos la división de los módulos de números sin resto. Esto significa que la división se realiza sin resto y el cociente deseado = - 54.
Respuesta: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Regla de división con resto para números enteros negativos, ejemplos
Es necesario formular una regla para la división con un resto de números enteros negativos.
Definición 3
Para obtener un cociente incompleto c al dividir un entero negativo a por un entero negativo b, es necesario realizar cálculos de módulo, luego sumar 1, luego podemos realizar cálculos usando la fórmula d = a − b · c.
De ello se deduce que el cociente incompleto de dividir números enteros negativos será un número positivo.
formulemos esta regla en forma de algoritmo:
- encontrar los módulos del dividendo y del divisor;
- divida el módulo del dividendo por el módulo del divisor para obtener un cociente incompleto con
- resto;
- sumando 1 al cociente incompleto;
- cálculo del resto basado en la fórmula d = a − b · c.
Veamos este algoritmo usando un ejemplo.
Ejemplo 8
Encuentra el cociente parcial y el resto al dividir - 17 por - 5.
Solución
Para garantizar la exactitud de la solución, aplicamos el algoritmo de división con resto. Primero, divide los números en módulo. De esto obtenemos que el cociente incompleto = 3 y el resto es 2. Según la regla, debes sumar el cociente incompleto y 1. Obtenemos que 3 + 1 = 4. De aquí obtenemos que el cociente parcial de dividir los números dados es igual a 4.
Para calcular el resto usaremos la fórmula. Por condición tenemos que a = − 17, b = − 5, c = 4, luego, usando la fórmula, obtenemos d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . La respuesta requerida, es decir, el resto, es igual a 3 y el cociente parcial es igual a 4.
Respuesta:(− 17) : (− 5) = 4 (restantes 3).
Comprobar el resultado de dividir números enteros con resto
Después de dividir números con resto, debes realizar una verificación. Esta verificación consta de 2 etapas. Primero, se verifica que el resto d no sea negativo, se cumple la condición 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Veamos ejemplos.
Ejemplo 9
La división se hace - 521 entre - 12. El cociente es 44 y el resto es 7. Realizar verificación.
Solución
Como el resto es un número positivo, su valor es menor que el módulo del divisor. El divisor es -12, lo que significa que su módulo es 12. Puede pasar al siguiente punto de control.
Por condición, tenemos que a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7. A partir de aquí calculamos b · c + d, donde b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. Se deduce que la igualdad es verdadera. Verificación aprobada.
Ejemplo 10
Realice la verificación de división (− 17): 5 = − 3 (restante − 2). ¿Es verdadera la igualdad?
Solución
El objetivo de la primera etapa es que es necesario comprobar la división de números enteros con resto. De esto se desprende claramente que la acción se realizó incorrectamente, ya que se da un resto igual a - 2. El resto no es un número negativo.
Tenemos que se cumple la segunda condición, pero no suficiente para este caso.
Respuesta: No.
Ejemplo 11
El número - 19 se dividió entre - 3. El cociente parcial es 7 y el resto es 1. Compruebe si este cálculo se realizó correctamente.
Solución
Dado un resto igual a 1. Él es positivo. El valor es menor que el módulo divisor, lo que significa que se está completando la primera etapa. Pasemos a la segunda etapa.
Calculemos el valor de la expresión b · c + d. Por condición, tenemos que b = − 3, c = 7, d = 1, lo que significa que sustituyendo los valores numéricos obtenemos b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20. Se deduce que a = b · c + d la igualdad no se cumple, ya que la condición da a = - 19.
De esto se deduce que la división se hizo con un error.
Respuesta: No.
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En este artículo veremos división de números enteros con resto. Comencemos con el principio general de dividir números enteros con resto, formulemos y demostremos el teorema de la divisibilidad de números enteros con resto y tracemos las conexiones entre dividendo, divisor, cociente incompleto y resto. A continuación, describiremos las reglas mediante las cuales se dividen los números enteros con resto y consideraremos la aplicación de estas reglas al resolver ejemplos. Después de esto, aprenderemos cómo comprobar el resultado de dividir números enteros con resto.
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Comprensión general de la división de números enteros con resto.
Consideraremos la división de números enteros con resto como una generalización de la división con resto de números naturales. Esto se debe al hecho de que los números naturales son componentes de los números enteros.
Comencemos con los términos y designaciones que se utilizan en la descripción.
Por analogía con la división de números naturales con resto, asumiremos que el resultado de la división con resto de dos números enteros a y b (b no es igual a cero) son dos números enteros cy d. Los números a y b se llaman divisible Y divisor en consecuencia, el número d – el resto de dividir a por b, y el número entero c se llama privado incompleto(o simplemente privado, si el resto es cero).
Aceptemos asumir que el resto es un número entero no negativo y que su valor no excede b, es decir (encontramos cadenas de desigualdades similares cuando hablamos de comparar tres o más números enteros).
Si el número c es un cociente incompleto y el número d es el resto de dividir el número entero a por el número entero b, entonces escribiremos brevemente este hecho como una igualdad de la forma a:b=c (d restante).
Tenga en cuenta que al dividir un número entero a por un número entero b, el resto puede ser cero. En este caso decimos que a es divisible por b sin dejar rastro(o completamente). Por tanto, la división de números enteros sin resto es un caso especial de división de números enteros con resto.
También vale la pena decir que al dividir cero por algún número entero, siempre estamos ante una división sin resto, ya que en este caso el cociente será igual a cero (ver la sección de teoría de la división de cero por un número entero), y el resto también será igual a cero.
Hemos decidido la terminología y la notación, ahora comprendamos el significado de dividir números enteros con resto.
Dividir un entero negativo a por un número entero numero positivo A b también se le puede dar significado. Para ello, considere un número entero negativo como deuda. Imaginemos esta situación. La deuda que constituye las partidas debe ser saldada por b personas realizando una aportación igual. El valor absoluto del cociente incompleto c en este caso determinará el monto de la deuda de cada una de estas personas, y el resto d mostrará cuántas partidas quedarán después de pagar la deuda. Pongamos un ejemplo. Digamos que 2 personas deben 7 manzanas. Si asumimos que cada uno de ellos debe 4 manzanas, luego de pagar la deuda les quedará 1 manzana. Esta situación corresponde a la igualdad (−7):2=−4 (restante 1).
No le daremos ningún significado a la división con un resto de un número entero arbitrario a por un número entero negativo, pero nos reservaremos su derecho a existir.
Teorema sobre la divisibilidad de números enteros con resto
Cuando hablamos de dividir números naturales con resto, descubrimos que el dividendo a, el divisor b, el cociente parcial c y el resto d están relacionados por la igualdad a=b·c+d. Los números enteros a, b, cyd tienen la misma relación. Esta conexión se confirma de la siguiente manera teorema de divisibilidad con resto.
Teorema.
Cualquier número entero a se puede representar de forma única mediante un número entero y distinto de cero b en la forma a=b·q+r, donde q y r son algunos números enteros, y.
Prueba.
Primero, demostramos la posibilidad de representar a=b·q+r.
Si los números enteros a y b son tales que a es divisible por b, entonces, por definición, existe un número entero q tal que a=b·q. En este caso, se cumple la igualdad a=b·q+r en r=0.