A. La proyección del punto A sobre el eje PQ (Fig. 4) es la base a de la perpendicular caída desde un punto dado a un eje dado. El eje sobre el que proyectamos se llama eje de proyección.
b. Sean dados dos ejes y un vector A B, como se muestra en la figura. 5.
Un vector cuyo inicio es la proyección del principio y cuyo final es la proyección del final de este vector se llama proyección del vector A B sobre el eje PQ. Se escribe así;
A veces el indicador PQ no está escrito en la parte inferior; esto se hace en los casos en que, además de PQ, no existe otro sistema operativo en el que se pueda diseñar.
Con. Teorema I. Las magnitudes de los vectores que se encuentran sobre un eje están relacionadas como las magnitudes de sus proyecciones sobre cualquier eje.
Dejemos que se den los ejes y vectores indicados en la Fig. 6. De la similitud de los triángulos queda claro que las longitudes de los vectores están relacionadas como las longitudes de sus proyecciones, es decir.
Dado que los vectores en el dibujo están dirigidos en diferentes direcciones, sus magnitudes tienen diferentes signos, por lo tanto,
Evidentemente, las magnitudes de las proyecciones también tienen distinto signo:
sustituyendo (2) en (3) en (1), obtenemos
Invirtiendo los signos obtenemos
Si los vectores están igualmente dirigidos, entonces sus proyecciones también tendrán la misma dirección; no habrá signos menos en las fórmulas (2) y (3). Sustituyendo (2) y (3) en la igualdad (1), obtenemos inmediatamente la igualdad (4). Entonces, el teorema ha sido demostrado para todos los casos.
d. Teorema II. La magnitud de la proyección de un vector sobre cualquier eje es igual a la magnitud del vector multiplicada por el coseno del ángulo entre el eje de proyecciones y el eje del vector. Dejemos que los ejes se den como un vector como se indica en la figura. . 7. Construyamos un vector con la misma dirección que su eje y lo trazamos, por ejemplo, desde el punto de intersección de los ejes. Sea su longitud igual a uno. Entonces su magnitud
1. Encontrar proyecciones geométricamente.
Vector
- proyección del vector sobre el eje BUEY
- proyección del vector sobre el eje oy
Definición 1. Proyección vectorial en cualquier eje de coordenadas hay un número tomado con un signo más o menos, correspondiente a la longitud del segmento ubicado entre las bases de las perpendiculares caídas desde el principio y el final del vector hasta el eje de coordenadas.
El signo de proyección se define de la siguiente manera. Si, al moverse a lo largo del eje de coordenadas, hay un movimiento desde el punto de proyección del comienzo del vector hasta el punto de proyección del final del vector en la dirección positiva del eje, entonces la proyección del vector se considera positiva. . Si es opuesto al eje, entonces la proyección se considera negativa.
La figura muestra que si el vector está orientado de alguna manera en dirección opuesta al eje de coordenadas, entonces su proyección sobre este eje es negativa. Si un vector está orientado de alguna manera en la dirección positiva del eje de coordenadas, entonces su proyección sobre este eje es positiva.
Si un vector es perpendicular al eje de coordenadas, entonces su proyección sobre este eje es cero.
Si un vector es codireccional con un eje, entonces su proyección sobre este eje es igual al valor absoluto del vector.
Si un vector se dirige en dirección opuesta al eje de coordenadas, entonces su proyección sobre este eje es igual en valor absoluto al valor absoluto del vector tomado con un signo menos.
2. La definición más general de proyección.
De un triángulo rectángulo ABD:.
Definición 2. Proyección vectorial en cualquier eje de coordenadas hay un número igual al producto del módulo del vector por el coseno del ángulo formado por el vector con la dirección positiva del eje de coordenadas.
El signo de la proyección está determinado por el signo del coseno del ángulo formado por el vector con la dirección positiva del eje.
Si el ángulo es agudo, entonces el coseno tiene signo positivo y las proyecciones son positivas. Para ángulos obtusos, el coseno tiene signo negativo, por lo que en tales casos las proyecciones sobre el eje son negativas. 
- por tanto, para vectores perpendiculares al eje, la proyección es cero.
Respuesta:
Propiedades de proyección:
Propiedades de proyección vectorial
Propiedad 1.
La proyección de la suma de dos vectores sobre un eje es igual a la suma de las proyecciones de vectores sobre el mismo eje: 
Esta propiedad permite sustituir la proyección de una suma de vectores por la suma de sus proyecciones y viceversa.
Propiedad 2. Si un vector se multiplica por el número λ, entonces su proyección sobre el eje también se multiplica por este número:
Propiedad 3.
La proyección del vector sobre el eje l es igual al producto del módulo del vector por el coseno del ángulo entre el vector y el eje:
Eje orto. Descomposición de un vector en vectores unitarios de coordenadas. Coordenadas vectoriales. Propiedades de coordenadas
Respuesta:
Vectores unitarios de los ejes.
Un sistema de coordenadas rectangular (de cualquier dimensión) también se describe mediante un conjunto de vectores unitarios alineados con los ejes de coordenadas. El número de vectores unitarios es igual a la dimensión del sistema de coordenadas y todos son perpendiculares entre sí.
En el caso tridimensional, los vectores unitarios suelen denotarse
Y también se pueden utilizar símbolos de flecha.
En este caso, en el caso de un sistema de coordenadas recto, son válidas las siguientes fórmulas con productos vectoriales de vectores unitarios:
Descomposición de un vector en vectores unitarios de coordenadas.
El vector unitario del eje de coordenadas se denota por , ejes por , ejes por (Fig.1)
Para cualquier vector que se encuentre en el plano, se produce la siguiente expansión:
si el vector 
ubicado en el espacio, entonces la expansión en vectores unitarios de los ejes de coordenadas tiene la forma:
Coordenadas vectoriales:
Para calcular las coordenadas de un vector, conociendo las coordenadas (x1; y1) de su inicio A y las coordenadas (x2; y2) de su final B, es necesario restar las coordenadas del principio de las coordenadas del final: ( x2 – x1; y2 – y1).
Propiedades de las coordenadas.
Considere una línea de coordenadas con origen en el punto O y el vector unitario i. Entonces, para cualquier vector a en esta recta: a = axi.
El número ax se llama coordenada del vector a en el eje de coordenadas.
Propiedad 1. Al sumar vectores sobre un eje, se suman sus coordenadas.
Propiedad 2. Cuando un vector se multiplica por un número, su coordenada se multiplica por ese número.
Producto escalar de vectores. Propiedades.
Respuesta:
El producto escalar de dos vectores distintos de cero es el número
igual al producto de estos vectores por el coseno del ángulo entre ellos.
Propiedades:
1. El producto escalar tiene la propiedad conmutativa: ab=ba
Producto escalar Vectores de unidad de coordenadas. Determinación del producto escalar de vectores especificados por sus coordenadas.
Respuesta:
Producto escalar (×) de vectores unitarios
| (INCÓGNITA) | I | j | k |
| I | |||
| j | |||
| k |
Determinación del producto escalar de vectores especificados por sus coordenadas.
El producto escalar de dos vectores y dado por sus coordenadas se puede calcular mediante la fórmula
El producto cruzado de dos vectores. Propiedades de un producto vectorial.
Respuesta:
Tres vectores no coplanares forman una terna diestra si, desde el final del tercero, la rotación del primer vector al segundo se realiza en sentido antihorario. Si es en el sentido de las agujas del reloj, entonces hacia la izquierda. Si no, entonces en la dirección opuesta (. muestra cómo mostró con "asas")
Producto cruzado de un vector A a vector b llamado vector de donde:
1. Perpendicular a los vectores A Y b
2. Tiene una longitud numéricamente igual al área del paralelogramo formado en a Y b vectores
3. Vectores, a, b, Y do formar un triplete de vectores a la derecha
Propiedades:
1. 
3. 
4. 
Producto vectorial de vectores unitarios de coordenadas. Determinación del producto vectorial de vectores especificados por sus coordenadas.
Respuesta:
Producto vectorial de vectores unitarios de coordenadas.
Determinación del producto vectorial de vectores especificados por sus coordenadas.
Sean los vectores a = (x1; y1; z1) y b = (x2; y2; z2) dados por sus coordenadas en el sistema de coordenadas cartesiano rectangular O, i, j, k, y la triple i, j, k es diestro.
Expandamos a y b en vectores base:
a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.
Usando las propiedades del producto vectorial, obtenemos
[A; segundo] = =
= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +
+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +
+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)
Por la definición de producto vectorial encontramos
= 0, = k, = - j,
= - k, = 0, = yo,
= j, = - yo.
= 0.
Teniendo en cuenta estas igualdades, la fórmula (1) se puede escribir de la siguiente manera:
[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i
[A; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)
La fórmula (2) da una expresión para el producto vectorial de dos vectores especificados por sus coordenadas.
La fórmula resultante es engorrosa. Usando la notación de determinantes, puedes escribirla en otra forma que sea más conveniente para la memorización:
Por lo general, la fórmula (3) se escribe aún más breve:
Definición 1. En un plano, una proyección paralela del punto A sobre el eje l es un punto: el punto de intersección del eje l con una línea recta trazada a través del punto A paralela al vector que especifica la dirección del diseño. Definición 2. La proyección paralela de un vector sobre el eje l (al vector) es la coordenada del vector con respecto a la base.
eje l, donde los puntos y son proyecciones paralelas de los puntos A y B sobre el eje l, respectivamente (Fig. 1).
Según la definición tenemos Definición 3. si y base del eje l Cartesiano, es decir, la proyección del vector sobre el eje l.
llamado ortogonal (Fig. 2).
En el espacio, la definición 2 de la proyección del vector sobre el eje sigue vigente, sólo la dirección de la proyección está especificada por dos vectores no colineales (Fig. 3).
De la definición de proyección de un vector sobre un eje se deduce que cada coordenada de un vector es una proyección de este vector sobre el eje definido por el vector base correspondiente. En este caso, la dirección del diseño se especifica mediante otros dos vectores base si el diseño se realiza (considera) en el espacio, o por otro vector base si el diseño se considera en un plano (Fig. 4).
Teorema 1. La proyección ortogonal de un vector sobre el eje l es igual al producto del módulo del vector por el coseno del ángulo entre la dirección positiva del eje l y, es decir,
Allende
de encontramos
Sustituyendo AC en la igualdad (2), obtenemos Desde los números incógnita
y el mismo signo en ambos casos considerados ((Fig.5, a) ; (Fig.5, b), luego de la igualdad (4) se sigue
Comentario. En lo que sigue, consideraremos sólo la proyección ortogonal del vector sobre el eje y, por lo tanto, omitiremos la palabra "ort" (ortogonal) de la notación.
Presentamos una serie de fórmulas que se utilizan más adelante en la resolución de problemas.
Si, entonces la proyección ortogonal sobre el vector según la fórmula (5) tiene la forma
c) Distancia de un punto a un plano.
Sea b un plano dado con un vector normal, sea M un punto dado,
d es la distancia desde el punto M al plano b (Fig. 6).
Si N es un punto arbitrario del plano by y son proyecciones de los puntos M y N sobre el eje, entonces
- GRAMO) La distancia entre líneas que se cruzan.
Sean a y b líneas que se cruzan, sean un vector perpendicular a ellas, A y B sean puntos arbitrarios de las líneas a y b, respectivamente (Fig.7), y sean proyecciones de los puntos A y B sobre, entonces
e) Distancia de un punto a una recta.
Dejar yo- una línea recta dada con un vector director, M - un punto dado,
N - su proyección sobre la línea yo, luego - la distancia requerida (Fig. 8).
Si A es un punto arbitrario sobre una recta yo, entonces en un triángulo rectángulo MNA se pueden encontrar la hipotenusa MA y los catetos. Medio,
f) El ángulo entre una recta y un plano.
Sea el vector director de esta recta. yo, - vector normal de un plano dado b, - proyección de una línea recta yo al plano b (Fig. 9).
Como se sabe, el ángulo μ entre una línea recta yo y su proyección sobre el plano b se llama ángulo entre la recta y el plano. Tenemos
Demos ejemplos de resolución de problemas métricos utilizando el método de coordenadas vectoriales.
Proyección Un vector sobre un eje es un vector que se obtiene multiplicando la proyección escalar de un vector sobre este eje y el vector unitario de este eje. Por ejemplo, si una x – proyección escalar vector A al eje X, luego una x i- su proyección vectorial sobre este eje.
denotemos proyección vectorial Igual que el vector en sí, pero con el índice del eje sobre el que se proyecta el vector. Entonces, la proyección vectorial del vector. A en el eje X denotamos A incógnita( gordo una letra que denota un vector y un subíndice del nombre del eje) o (una letra sin negrita que denota un vector, pero con una flecha en la parte superior (!) y un subíndice del nombre del eje).
Proyección escalar vector por eje se llama número, cuyo valor absoluto es igual a la longitud del segmento del eje (en la escala seleccionada) encerrado entre las proyecciones del punto inicial y el punto final del vector. Generalmente en lugar de la expresión proyección escalar simplemente dicen - proyección. La proyección se indica con la misma letra que el vector proyectado (en escritura normal, sin negrita), con un índice más bajo (como regla general) del nombre del eje sobre el cual se proyecta este vector. Por ejemplo, si un vector se proyecta sobre el eje X A, entonces su proyección se denota por una x. Al proyectar el mismo vector sobre otro eje, si el eje es Y, su proyección se denotará como y.
Para calcular la proyección vector en un eje (por ejemplo, el eje X), es necesario restar la coordenada del punto inicial de la coordenada de su punto final, es decir
una x = x k - x norte.
La proyección de un vector sobre un eje es un número. Además, la proyección puede ser positiva si el valor x k es mayor que el valor x n,
negativo si el valor x k es menor que el valor x n
e igual a cero si x k es igual a x n.
La proyección de un vector sobre un eje también se puede encontrar conociendo el módulo del vector y el ángulo que forma con este eje.
De la figura se desprende claramente que a x = a Cos α
es decir, la proyección del vector sobre el eje es igual al producto del módulo del vector por el coseno del ángulo entre la dirección del eje y dirección vectorial. Si el ángulo es agudo, entonces
Cos α > 0 y a x > 0 y, si es obtuso, entonces el coseno del ángulo obtuso es negativo y la proyección del vector sobre el eje también será negativa.
Los ángulos medidos desde el eje en sentido antihorario se consideran positivos y los ángulos medidos a lo largo del eje son negativos. Sin embargo, dado que el coseno es una función par, es decir, Cos α = Cos (− α), al calcular las proyecciones, los ángulos se pueden contar tanto en el sentido de las agujas del reloj como en el sentido contrario a las agujas del reloj.
Para encontrar la proyección de un vector sobre un eje, el módulo de este vector debe multiplicarse por el coseno del ángulo entre la dirección del eje y la dirección del vector.
Coordenadas vectoriales— coeficientes de la única combinación lineal posible de vectores base en el sistema de coordenadas seleccionado, iguales al vector dado.
¿Dónde están las coordenadas del vector?
Producto escalar de vectores
Producto escalar de vectores[- en dimensión finita espacio vectorial se define como la suma de los productos de componentes idénticos multiplicados vectores.
Por ejemplo, S.p.v. a = (a 1 , ..., un) Y b = (b 1 , ..., bn):
(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + un n b n