Gráfica de la función k x 2. Función lineal

La función Coeficiente k puede tomar cualquier valor excepto k = 0. Consideremos primero el caso en el que k = 1; así que hablaremos primero de la función.

Para construir una gráfica de la función, haremos lo mismo que en el párrafo anterior: le daremos a la variable independiente x varios valores específicos y calcularemos (usando la fórmula) los valores correspondientes de la variable dependiente variable Ud. Es cierto que esta vez es más conveniente realizar cálculos y construcciones gradualmente, dando al argumento primero solo valores positivos y luego solo negativos.

Primera etapa. Si x = 1, entonces y = 1 (recordemos que usamos la fórmula);

Segunda etapa.

Resumiendo, hemos elaborado la siguiente tabla:

Ahora combinemos las dos etapas en una, es decir, haremos una a partir de dos figuras 24 y 26 (Figura 27). esto es todo gráfica de una función se llama hipérbole.
Intentemos describir las propiedades geométricas de una hipérbola usando el dibujo.

En primer lugar, notamos que esta recta parece tan hermosa como una parábola porque tiene simetría. Cualquier línea que pase por el origen de las coordenadas O y se ubique en el primer y tercer ángulo coordenado cruza la hipérbola en dos puntos que se encuentran en esta línea en lados opuestos del punto O, pero a distancias iguales de él (Fig. 28). Esto es inherente, en particular, a los puntos (1; 1) y (- 1; - 1),

Etc. Esto significa que O es el centro de simetría de la hipérbola. También dicen que una hipérbola es simétrica con respecto al origen. coordenadas.

En segundo lugar, vemos que la hipérbola consta de dos partes que son simétricas con respecto al origen; generalmente se les llama ramas de una hipérbola.

En tercer lugar, notamos que cada rama de la hipérbola en una dirección se acerca cada vez más al eje de abscisas y en la otra dirección al eje de ordenadas. En tales casos, las rectas correspondientes se denominan asíntotas.

Esto significa que la gráfica de la función, es decir La hipérbola tiene dos asíntotas: el eje x y el eje y.

Si analizas cuidadosamente el gráfico trazado, puedes descubrir una propiedad geométrica más, no tan obvia como las tres anteriores (los matemáticos suelen decir esto: “una propiedad más sutil”). Una hipérbola no solo tiene un centro de simetría, sino también ejes de simetría.

De hecho, construyamos una línea recta y = x (Fig. 29). Ahora mira: puntos ubicados en lados opuestos del conducto directo, pero a distancias iguales de él. Son simétricos con respecto a esta línea recta. Lo mismo puede decirse de los puntos donde, por supuesto, esto significa que la recta y = x es el eje de simetría de la hipérbola (así como y = -x)

Ejemplo 1. Encuentre los valores más pequeño y más grande de la función a) en el segmento ; b) en el segmento [- 8, - 1].
Solución, a) Construyamos una gráfica de la función y seleccionemos del segmento la parte que corresponde a los valores de la variable x (Fig. 30). Para la parte seleccionada del gráfico encontramos:

b) Construya una gráfica de la función y seleccione aquella parte de la misma que corresponda a los valores de la variable x de segmento[- 8, - 1] (Figura 31). Para la parte seleccionada del gráfico encontramos:

Entonces, hemos considerado la función para el caso en que k= 1. Ahora sea k numero positivo, diferente de 1, por ejemplo k = 2.

Veamos la función y hagamos una tabla de los valores de esta función:

Construyamos los puntos (1; 2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1),

en el plano de coordenadas (Fig. 32). Delinean una determinada línea que consta de dos ramas; Realicémoslo (Fig. 33). Al igual que la gráfica de una función, esta recta se llama hipérbola.

Consideremos ahora el caso cuando k< 0; пусть, например, k = - 1. Построим график функции (здесь k = - 1).

En el párrafo anterior, observamos que la gráfica de la función y = -f(x) es simétrica a la gráfica de la función y = f(x) con respecto al eje x. En particular, esto significa que la gráfica de la función y = - f(x) es simétrica a la gráfica de la función y = f(x) con respecto al eje x. En particular, esto significa que cronograma, es simétrica a la gráfica con respecto al eje x (Fig. 34). Por lo tanto, obtenemos una hipérbola, cuyas ramas están ubicadas en el segundo y cuarto ángulos coordenados.

En general, la gráfica de la función. es una hipérbola, cuyas ramas se ubican en el primer y tercer ángulo coordenado si k > 0 (Fig.33), y en el segundo y cuarto ángulo coordenado si k< О (рис. 34). Точка (0; 0) - центр симметрии гиперболы, оси координат - асимптоты гиперболы.

Se suele decir que dos cantidades x e y son inversamente proporcionales si están relacionadas por la relación xy = k (donde k es un número distinto de 0), o, lo que es lo mismo, . Por esta razón, la función a veces se denomina proporcionalidad inversa (por analogía con la función y - kx, que, como probablemente sepa,
recuerde, se llama proporcionalidad directa); número k - coeficiente inverso proporcionalidad.

Propiedades de la función para k > 0

Al describir las propiedades de esta función, nos basaremos en su modelo geométrico: una hipérbola (ver Fig. 33).

2. y > 0 para x>0;y<0 при х<0.

3. La función disminuye en los intervalos (-°°, 0) y (0, +°°).

5. Ni los valores más pequeños ni los más grandes de una función

Propiedades de la función en k< 0
Al describir las propiedades de esta función, nos basaremos en su geometría. modelo- hipérbole (ver Fig. 34).

1. El dominio de una función consta de todos los números excepto x = 0.

2. y > 0 en x< 0; у < 0 при х > 0.

3. La función aumenta en los intervalos (-oo, 0) y (0, +oo).

4. La función no está limitada ni desde abajo ni desde arriba.

5. La función no tiene ni el valor más pequeño ni el más grande.

6. La función es continua en los intervalos (-oo, 0) y (0, +oo) y sufre una discontinuidad en x = 0.

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Lección de álgebra. 8vo grado.

Tema de la lección: “Función y=k/x, sus propiedades y gráfica”.

Objetivos de la lección:

Objetivo educativo:enseñar a construir una gráfica de la función y=k/x, explorar las propiedades de la función, formarse una idea clara de las diferencias en las propiedades y la ubicación de la gráfica de la función en k 0 yk 0, amplía la comprensión de la función de los estudiantes.

Objetivo de desarrollo:Continuar el desarrollo del interés cognitivo en el estudio del álgebra, desarrollar la capacidad de analizar, observar, comparar, pensar lógicamente, desarrollar habilidades de control mutuo y autocontrol.

Objetivo educativo:cultivar las habilidades comunicativas en el trabajo, la capacidad de escuchar y escuchar a los demás, el respeto por la opinión de un amigo, cultivar en los estudiantes cualidades morales como la perseverancia, la precisión, la iniciativa, la precisión, el hábito del trabajo sistemático, la independencia y la actividad.

Equipo: computadora, dispositivo multimedia, folleto, presentación de la lección.

Estructura de la lección:

Establecer el objetivo de la lección. (2 minutos)
Actualización de los conocimientos y habilidades básicos de los estudiantes. (8 minutos)
Preparación para el aprendizaje activo de nuevo material. (9 minutos)
Asimilación de nuevos conocimientos. (16 minutos)
Consolidación de los conocimientos adquiridos. (5 minutos)
Reflexión. (3 minutos)
Establecer tareas. (2 minutos)
Reservar puestos de trabajo.

Progreso de la lección.

Momento organizacional. (diapositiva 1) Se formulan el tema de la lección y el propósito de la lección. Hoy continuamos familiarizándonos con las funciones y considerando la función y=k/x, sus propiedades y gráfica, qué nos muestra esta función y qué papel juega en la vida de cualquier persona.

Actualización de los conocimientos y habilidades básicos de los estudiantes.

Dos estudiantes se acercan a la pizarra y completan las tablas que están preparadas en la pizarra.


1/x


1/x

2. En este momento se realiza el trabajo frontal con el resto de la clase.

Dé una definición: cuál es el dominio de definición de una función. (el dominio de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar su argumento)

Especifique el alcance para definir las siguientes funciones (en la diapositiva 2 de la pantalla):

Y=x²+8, y=1/x-7, y=4x-1/5, y=2/x

¿Qué figura de la tabla (diapositiva 3) muestra el gráfico?

1) gráfica de una función lineal, escribe la fórmula,

2) proporcionalidad directa, dar ejemplos de proporcionalidad directa de la vida,

3) función cuadrática,

4) cuál es el signo del coeficiente de la función cuadrática, que corresponde a las gráficas de las Figuras 9 y 10.

Luego comprobamos todos juntos si las tablas están completadas correctamente. Prestamos especial atención al lugar donde x=0.

Preparación para el aprendizaje activo de nuevo material.

Sabemos que cada una de estas funciones describe algunos procesos que ocurren en el mundo que nos rodea. Pasemos a la física y, usando su ejemplo, consideremos uno de los fenómenos físicos que muchos han encontrado en la vida. Los chicos miran la diapositiva 4, que muestra un modelo físico y un fenómeno físico. Qué fenómeno físico ocurre (presión de un cuerpo sólido sobre una superficie, cuanto mayor es el área, menor presión). Escribe una fórmula y explica esta diapositiva usando la fórmula.

¿Cómo crees que podemos llamar a tal dependencia de variables? (proporcionalidad inversa). (diapositiva 5)

En matemáticas, tal dependencia se escribe mediante la fórmula y=k/x, y la gráfica de dicha función es una hipérbola. Descubriremos cómo es más tarde. Sé que te has encontrado con el concepto de hipérbole en la literatura. Y Katya Vedeneeva nos contará sobre esto. (el estudiante lee el informe)

Asimilación de nuevos conocimientos.

Ahora ha llegado el momento en que debemos aprender a trazar la función y=k/x y explorar sus propiedades. Ahora trabajaréis en parejas. Frente a usted hay hojas de papel con un plano de coordenadas y está escrito qué función debe construirse. (Apéndice 1). ¿Qué se necesita para graficar una función? (completa la tabla) . Dime, ¿tal vez ya esté lleno? (sí, en el tablero). Los chicos construyen puntos en el plano de coordenadas terminado y luego los revisan junto con el maestro. (diapositiva 6,7).

¿Cómo conectarse correctamente? Mire cómo sucederá esto en la pantalla. Las líneas que se forman al conectar puntos no deben fusionarse con ejes de coordenadas, por lo que después de los puntos extremos es mejor extenderlos otros 2 milímetros. Las líneas que obtuvimos se llaman ramas de la hipérbola. Conecta tus puntos (diapositiva 8,9)

Respuesta a la pregunta: ¿cómo depende la ubicación de la gráfica de la función y=k/x del signo del coeficiente k? Los estudiantes están convencidos de que si k>0, entonces la gráfica se ubica en el primer y tercer cuarto de coordenadas, y si k

Después del plano de coordenadas, ha escrito las propiedades que deben agregarse. Dos cabezas están bien, pero cuatro son mejores. Por eso, nos unimos en grupos de cuatro personas. Examinas la gráfica de la función en tu grupo y agregas propiedades directamente en esta hoja de papel. Luego hay una discusión colectiva, después de la cual cada propiedad se muestra en la pantalla. El propio profesor muestra sólo una propiedad y explica que entendemos la continuidad de una función como una línea continua que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Por lo tanto, la propia profesora explica la propiedad 5. La función es continua en el intervalo de (-∞;0) y (0;+∞) y sufre una discontinuidad en el punto x=0.

Hiciste un buen trabajo y para más lecciones te doy un resumen básico de este tema, que pegarás. (diapositiva 10).

Estamos cansados, descansemos un poco. Le sugiero que mire diapositivas interesantes en las que verá cómo se pueden representar los proverbios usando nuestra función y=k/x. (diapositiva 11,12,13,14).

Consolidación de los conocimientos adquiridos.

Hemos descansado, volvamos a nuestras notas de apoyo. No tuve cuidado y cometí un error al escribirlos. Mire y encuentre el error en ellos. Por favor corrija este error. (diapositiva 15)

Reflexión:

¿Qué nuevo aprendiste en la lección?

¿Qué usaste para descubrir nuevos conocimientos?

¿Qué dificultades encontraste?

Tarea(diapositiva 17)

- §18 págs. 96-100, núm. 18.3, 18.4,

Piensa en ejemplos de diversas áreas de la actividad humana que se describen utilizando una relación proporcional inversa entre cantidades y expresa esta relación como una función y=k/x, haz un bosquejo.

Reservar:

Trabajar en grupos.

Tarea:

El precio de un producto disminuye y la cantidad de bienes adquiridos aumenta. Y viceversa. Piensa en una tarea. Escribe la fórmula y haz un boceto.

Títulos de diapositivas:

Función y=k/x, sus propiedades y gráfica.
Especifique el alcance para definir las siguientes funciones
xЄ(-∞;∞)
xЄ(-∞;0)υ(0;+∞)
xЄ(-∞;∞)
xЄ(-∞;0)υ(0;+∞)
1. ¿Qué figura de la tabla muestra la gráfica de una función lineal? ¿Escribir una fórmula?
2.¿Qué figura de la tabla muestra una gráfica de proporcionalidad directa?
3. ¿Da ejemplos de proporcionalidad directa de la vida?
4. ¿Qué figura de la tabla muestra la gráfica de una función cuadrática?
5. ¿Cuál es el signo del coeficiente de la función cuadrática que corresponde a las gráficas de las Figuras 9 y 10?
1,2,3,4,5,6,7
1,2,3,
y=kx+b
9,10
Funciones en el mundo de la física.
modelo fisico
Ejemplos de fenómenos físicos.
Proporcionalidad inversa
Modelo matemático de proporcionalidad inversa: y=k/x, donde k es el coeficiente de proporcionalidad
La gráfica de esta función se llama hipérbola.
en
incógnita
1
2
4
-1
-2
-4
1
2
4
-1
-2
-4
Función y=1/x
en
incógnita
1
2
4
1
2
4
-1
-2
-4
-1
-2
-4
Función y=-1/x
en
incógnita
1
2
4
-1
-2
-4
1
2
4
-1
-2
-4
Función y=1/x
en
incógnita
1
2
4
1
2
4
-1
-2
-4
-1
-2
-4
Función y=-1/x
y = k/x, k>0
2. y>0 en x>

mayor
el menos
Dominio de definición de la función x(-∞;0) (0;+∞)
2. y >0 en x 0
5. La función tiene un punto de ruptura x = 0
6. Rango de función y (-∞;0) (0;+∞)
4. y - no existe y - no existe
mayor
el menos
y = k / x, k “Presumir desde pequeño y morir de hambre en la vejez”
Riqueza, ropa, comida.
edad
“Vivimos hasta el punto en que ya no quedaba nada”
tiempo
poder
"El rico come dulces y duerme mal"
sueño
vida rica
“Habla menos, escucha más”
У Número de oídos
X Número de conversaciones
y = k/x, k>0
Dominio de definición de la función x(-∞;0) (0;+∞)
2. y>0 para x>0; y 3. Función decreciente en el intervalo (-∞;0) y (0;+∞)
5. La función tiene un punto de ruptura x = 0
6. Rango de función y (-∞;0) (0;+∞)
4. y - no existe y - no existe
mayor
el menos
Dominio de definición de la función x(-∞;0) (0;+∞)
2. y >0 en x 0
3. Función creciente en el intervalo (-∞;0) y (0;+∞)
5. La función tiene un punto de ruptura x = 0
6. Rango de función y (-∞;0) (0;+∞)
4. y - no existe y - no existe
mayor
el menos
y = k / x, k Tarea: §18 págs. 96-100, No. 18.3, 18.4, presente ejemplos de diversas áreas de la actividad humana que se describan utilizando una relación inversamente proporcional entre cantidades y exprese esta relación como una función. y=k /x, haz un boceto.
Gracias por la lección