Pažvelkime į paprastą pavyzdį:
15:5=3
Šiame pavyzdyje natūralusis skaičius Padalinome 15 visiškai 3, be likusios dalies.
Kartais natūralusis skaičius negali būti visiškai padalintas. Pavyzdžiui, apsvarstykite problemą:
Spintoje buvo 16 žaislų. Grupėje buvo penki vaikai. Kiekvienas vaikas pasiėmė tiek pat žaislų. Kiek žaislų turi kiekvienas vaikas?
Sprendimas:
Padalinkite skaičių 16 iš 5 naudodami stulpelį ir gausime:
Žinome, kad 16 negalima padalyti iš 5. Artimiausias mažesnis skaičius, kuris dalijasi iš 5, yra 15, o likutis yra 1. Skaičių 15 galime parašyti kaip 5⋅3. Dėl to (16 – dividendas, 5 – daliklis, 3 – nepilnas koeficientas, 1 – liekana). Gavau formulę padalijimas su likusia dalimi kurį galima padaryti tirpalo tikrinimas.
a=
b⋅
c+
d
a - dalytis,
b - skirstytuvas,
c – nepilnas koeficientas,
d - priminimas.
Atsakymas: kiekvienas vaikas pasiims 3 žaislus ir vienas žaislas liks.
Likęs skyrius
Likutis visada turi būti mažesnis už daliklį.
Jei dalijimo metu likusi dalis yra lygi nuliui, tai reiškia, kad dividendas yra padalintas visiškai arba be liekanos ant daliklio.
Jei dalijimo metu liekana yra didesnė už daliklį, tai reiškia, kad rastas skaičius nėra didžiausias. Yra didesnis skaičius, kuris padalins dividendą, o likusi dalis bus mažesnė už daliklį.
Klausimai tema „Padalijimas su likusia dalimi“:
Ar liekana gali būti didesnė už daliklį?
Atsakymas: ne.
Ar liekana gali būti lygi dalikliui?
Atsakymas: ne.
Kaip rasti dividendą naudojant nepilnąjį koeficientą, daliklį ir liekaną?
Atsakymas: formulėje pakeičiame dalinio koeficiento, daliklio ir liekanos reikšmes ir randame dividendą. Formulė:
a=b⋅c+d
1 pavyzdys:
Atlikite padalijimą su likusia dalimi ir patikrinkite: a) 258:7 b) 1873:8
Sprendimas:
a) Padalinkite iš stulpelio: 
258 – dividendai,
7 – skirstytuvas,
36 – nepilnas koeficientas,
6 – likutis. Likusioji dalis yra mažesnė už daliklį 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) Padalinkite iš stulpelio: 
1873 – dalijamasis,
8 – daliklis,
234 – nepilnas koeficientas,
1 – likutis. Likutis yra mažesnis nei daliklis 1<8.
Pakeiskime jį į formulę ir patikrinkime, ar teisingai išsprendėme pavyzdį:
8⋅234+1=1872+1=1873
2 pavyzdys:
Kokios liekanos gaunamos dalijant natūraliuosius skaičius: a) 3 b)8?
Atsakymas:
a) Likutis yra mažesnis už daliklį, todėl mažesnis nei 3. Mūsų atveju liekana gali būti 0, 1 arba 2.
b) Likutis yra mažesnis už daliklį, todėl mažesnis nei 8. Mūsų atveju liekana gali būti 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 arba 7.
3 pavyzdys:
Kokia didžiausia liekana, kurią galima gauti dalijant natūraliuosius skaičius: a) 9 b) 15?
Atsakymas:
a) Likutis yra mažesnis už daliklį, todėl mažesnis nei 9. Tačiau reikia nurodyti didžiausią likutį. Tai yra skaičius, esantis arčiausiai daliklio. Tai yra skaičius 8.
b) Likutis yra mažesnis už daliklį, todėl mažesnis nei 15. Tačiau reikia nurodyti didžiausią likutį. Tai yra skaičius, esantis arčiausiai daliklio. Šis skaičius yra 14.
4 pavyzdys:
Raskite dividendą: a) a:6=3(lik.4) b) c:24=4(lik.11)
Sprendimas:
a) Išspręskite pagal formulę:
a=b⋅c+d
(a – dividendas, b – daliklis, c – dalinis koeficientas, d – liekana.)
a:6=3(lik.4)
(a – dividendas, 6 – daliklis, 3 – dalinis koeficientas, 4 – liekana.) Pakeiskime skaičius į formulę:
a=6⋅3+4=22
Atsakymas: a=22
b) Išspręskite pagal formulę:
a=b⋅c+d
(a – dividendas, b – daliklis, c – dalinis koeficientas, d – liekana.)
s:24=4(lik.11)
(c – dividendas, 24 – daliklis, 4 – dalinis koeficientas, 11 – liekana.) Pakeiskime skaičius į formulę:
с=24⋅4+11=107
Atsakymas: c=107
Užduotis:
Viela 4m. reikia supjaustyti 13 cm gabalėliais. Kiek tokių kūrinių bus?
Sprendimas:
Pirmiausia reikia konvertuoti metrus į centimetrus.
4m.=400cm.
Galime padalinti iš stulpelio arba mintyse gauname:
400:13 = 30 (likę 10)
Patikrinkime:
13⋅30+10=390+10=400
Atsakymas: Gausite 30 vienetų ir liks 10 cm vielos.
Skaičių dalijimosi ženklai- tai taisyklės, leidžiančios palyginti greitai, nedalinant, sužinoti, ar šis skaičius dalijasi iš nurodyto skaičiaus be liekanos.
Šiek tiek dalijimosi požymiai gana paprasta, kai kurie sudėtingesni. Šiame puslapyje rasite tiek pirminių skaičių dalijimosi ženklus, kaip, pavyzdžiui, 2, 3, 5, 7, 11, ir sudėtinių skaičių dalijimosi ženklus, pvz., 6 arba 12.
Tikiuosi, kad ši informacija jums bus naudinga.
Laimingo mokymosi!
Bandymas dalytis iš 2
Tai vienas iš paprasčiausių dalijimosi ženklų. Tai skamba taip: jei natūralaus skaičiaus žymėjimas baigiasi lyginiu skaitmeniu, tai jis yra lyginis (be likučio dalijasi iš 2), o jei natūralusis skaičius baigiasi nelyginiu skaitmeniu, tai šis skaičius yra nelyginis .
Kitaip tariant, jei paskutinis skaičiaus skaitmuo yra 2
, 4
, 6
, 8
arba 0
- skaičius dalijasi iš 2, jei ne, tada jis nesidalija
Pavyzdžiui, skaičiai: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
dalijasi iš 2, nes yra lyginės.
A skaičiai: 23 5
, 137
, 2303
Jie nesidalina iš 2, nes yra nelyginiai.
Bandymas dalytis iš 3
Šis dalijimosi ženklas turi visiškai kitokias taisykles: jei skaičiaus skaitmenų suma dalijasi iš 3, tai skaičius dalijasi iš 3; Jei skaičiaus skaitmenų suma nesidalija iš 3, tai skaičius nesidalija iš 3.
Tai reiškia, kad norint suprasti, ar skaičius dalijasi iš 3, tereikia sudėti jį sudarančius skaičius.
Tai atrodo taip: 3987 ir 141 dalijasi iš 3, nes pirmuoju atveju 3+9+8+7= 27
(27:3=9 – dalijasi iš 3), o antrajame 1+4+1= 6
(6:3=2 – taip pat dalijasi iš 3).
Bet skaičiai: 235 ir 566 nesidalija iš 3, nes 2+3+5= 10
ir 5+6+6= 17
(ir mes žinome, kad nei 10, nei 17 nesidalija iš 3 be liekanos).
Bandymas dalytis iš 4
Šis dalijimosi ženklas bus sudėtingesnis. Jei paskutiniai 2 skaičiaus skaitmenys sudaro skaičių, kuris dalijasi iš 4, arba jis yra 00, tada skaičius dalijasi iš 4, kitu atveju pateiktas skaičius nesidalija iš 4 be liekanos.
Pavyzdžiui: 1 00
ir 3 64
dalijasi iš 4, nes pirmuoju atveju skaičius baigiasi 00
, o antrajame įjungta 64
, kuris savo ruožtu dalijasi iš 4 be liekanos (64:4=16)
Skaičiai 3 57
ir 8 86
nėra dalijami iš 4, nes nė vienas 57
neigi 86
nėra dalijami iš 4, o tai reiškia, kad jie neatitinka šio dalijimosi kriterijaus.
Dalijamumo iš 5 testas
Ir vėl turime gana paprastą dalijimosi ženklą: jei natūralaus skaičiaus žymėjimas baigiasi skaičiumi 0 arba 5, tai šis skaičius dalijasi iš 5 be liekanos, jei skaičiaus žymėjimas baigiasi kitu skaitmeniu skaičius nesidalija iš 5 be liekanos.
Tai reiškia, kad bet kokie skaičiai baigiasi skaitmenimis 0
Ir 5
Pavyzdžiui, 1235 m 5
ir 43 0
, patenka į taisyklę ir dalijasi iš 5.
Ir, pavyzdžiui, 1549 m 3
ir 56 4
nesibaigia skaičiumi 5 arba 0, o tai reiškia, kad jų negalima padalyti iš 5 be liekanos.
Dalijamumo iš 6 testas
Prieš mus yra sudėtinis skaičius 6, kuris yra skaičių 2 ir 3 sandauga. Todėl dalijimosi iš 6 ženklas taip pat yra sudėtinis: kad skaičius dalytųsi iš 6, jis turi atitikti du dalijamumas tuo pačiu metu: dalijimosi iš 2 ženklas ir dalijimosi iš 3 ženklas. Atkreipkite dėmesį, kad toks sudėtinis skaičius kaip 4 turi individualų dalijimosi ženklą, nes jis yra skaičiaus 2 sandauga savaime. Bet grįžkime prie dalijimosi iš 6 testo.
Skaičiai 138 ir 474 yra lyginiai ir atitinka dalijimosi iš 3 kriterijus (1+3+8=12, 12:3=4 ir 4+7+4=15, 15:3=5), vadinasi, jie dalijasi iš 6. Bet 123 ir 447, nors jie dalijasi iš 3 (1+2+3=6, 6:3=2 ir 4+4+7=15, 15:3=5), tačiau jie yra nelyginiai, reiškia, kad jie neatitinka dalijimosi iš 2 kriterijaus, todėl neatitinka dalijimosi iš 6 kriterijaus.
Bandymas dalytis iš 7
Šis dalijimosi testas yra sudėtingesnis: skaičius dalijasi iš 7, jei iš šio skaičiaus dešimčių skaičiaus du kartus atėmus paskutinį skaitmenį, rezultatas dalijasi iš 7 arba lygus 0.
Tai skamba gana klaidinančiai, bet praktiškai tai paprasta. Pažiūrėkite patys: numeris 95
9 dalijasi iš 7, nes 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 dalijamas iš 7 be liekanos). Be to, jei kyla sunkumų dėl transformacijos metu gauto skaičiaus (dėl jo dydžio sunku suprasti, ar jis dalijasi iš 7, ar ne, tada šią procedūrą galima tęsti tiek kartų, kiek jums atrodo reikalinga).
Pavyzdžiui, 45
5 ir 4580
1 turi dalijimosi iš 7 savybes. Pirmuoju atveju viskas gana paprasta: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5. Antruoju atveju darysime taip: 4580
-2*1=4580-2=4578. Mums sunku suprasti, ar 457
8 po 7, todėl pakartokime procesą: 457
-2*8=457-16=441. Ir vėl naudosime dalijamumo testą, nes prieš mus vis dar yra triženklis skaičius 44
1. Taigi, 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, t.y. 42 dalijasi iš 7 be liekanos, o tai reiškia, kad 45801 dalijasi iš 7.
Štai skaičiai 11
1 ir 34
5 nesidalija iš 7, nes 11
-2*1=11-2=9 (9 nesidalija iš 7) ir 34
-2*5=34-10=24 (24 nesidalija iš 7 be liekanos).
Dalijamumo iš 8 testas
Bandymas dalytis iš 8 skamba taip: jei paskutiniai 3 skaitmenys sudaro skaičių, kuris dalijasi iš 8, arba jis yra 000, tada duotas skaičius dalijasi iš 8.
Skaičiai 1 000
arba 1 088
dalijasi iš 8: pirmasis baigiasi 000
, Antras 88
:8=11 (dalijasi iš 8 be liekanos).
Ir čia yra skaičiai 1 100
arba 4 757
nėra dalijami iš 8, nes skaičiai 100
Ir 757
nėra dalijami iš 8 be liekanos.
Dalijamumo iš 9 testas
Šis dalijimosi ženklas panašus į dalijimosi iš 3 ženklą: jei skaičiaus skaitmenų suma dalijasi iš 9, tai skaičius dalijasi iš 9; Jei skaičiaus skaitmenų suma nesidalija iš 9, tai skaičius nesidalija iš 9.
Pavyzdžiui: 3987 ir 144 dalijasi iš 9, nes pirmuoju atveju 3+9+8+7= 27
(27:9=3 – dalijasi iš 9 be liekanos), o antroje 1+4+4= 9
(9:9=1 – taip pat dalijasi iš 9).
Bet skaičiai: 235 ir 141 nesidalija iš 9, nes 2+3+5= 10
ir 1+4+1= 6
(ir mes žinome, kad nei 10, nei 6 nesidalija iš 9 be liekanos).
Dalijimosi iš 10, 100, 1000 ir kitų skaitmenų ženklai
Šiuos dalijimosi ženklus sujungiau, nes juos galima apibūdinti taip pat: skaičius dalijamas iš skaitmens vieneto, jei nulių skaičius skaičiaus pabaigoje yra didesnis arba lygus nulių skaičiui duotame skaitmenų vienete .
Kitaip tariant, pavyzdžiui, turime šiuos skaičius: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. iš kurių visi dalijasi iš 1 0
; 46400
ir 867 000
taip pat dalijasi iš 1 00
; ir tik vienas iš jų yra 867 000
dalijasi iš 1 000
.
Bet kokie skaičiai, kurių nulių gale yra mažiau nei skaitmenų vienetas, nesidalina iš šio skaitmens vieneto, pavyzdžiui, 600 30
ir 7 93
nedalomas 1 00
.
Dalijamumo iš 11 testas
Norėdami sužinoti, ar skaičius dalijasi iš 11, turite gauti skirtumą tarp šio skaičiaus lyginių ir nelyginių skaitmenų sumų. Jei šis skirtumas lygus 0 arba dalijasi iš 11 be liekanos, tai pats skaičius dalijasi iš 11 be liekanos.
Kad būtų aiškiau, siūlau pažiūrėti pavyzdžius: 2
35
4 dalijasi iš 11, nes ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 taip pat dalijasi iš 11, nes ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Štai 1 1
1 arba 4
35
4 nesidalija iš 11, nes pirmuoju atveju gauname (1+1)- 1
=1, o antrajame ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Dalijamumo iš 12 testas
Skaičius 12 yra sudėtinis. Jo dalijimosi ženklas yra atitikimas dalijimosi iš 3 ir 4 požymiams vienu metu.
Pavyzdžiui, 300 ir 636 atitinka ir dalijimosi iš 4 ženklus (paskutiniai 2 skaitmenys yra nuliai arba dalijasi iš 4), ir dalijimosi iš 3 ženklus (ir pirmojo, ir trečiojo skaičių skaitmenų suma dalijasi iš 3), bet galiausiai jie dalijasi iš 12 be liekanos.
Bet 200 ar 630 nesidalija iš 12, nes pirmuoju atveju skaičius atitinka tik dalijimosi iš 4 kriterijų, o antruoju - tik dalijimosi iš 3 kriterijų. bet ne abu kriterijus vienu metu.
Bandymas dalytis iš 13
Dalijimosi iš 13 ženklas yra tas, kad jei skaičiaus dešimčių skaičius, pridėtas prie šio skaičiaus vienetų, padaugintas iš 4, yra 13 kartotinis arba lygus 0, tada pats skaičius dalijasi iš 13.
Paimkime pavyzdį 70
2. Taigi, 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 dalijasi iš 13 be liekanos), o tai reiškia 70
2 dalijasi iš 13 be liekanos. Kitas pavyzdys yra skaičius 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10. Skaičius 130 dalijasi iš 13 be liekanos, o tai reiškia, kad pateiktas skaičius atitinka dalijimosi iš 13 kriterijų.
Jei paimtume skaičius 12
5 arba 21
2, tada gauname 12
+4*5=32 ir 21
Atitinkamai +4*2=29 ir nei 32, nei 29 nesidalija iš 13 be liekanos, o tai reiškia, kad pateikti skaičiai nesidalija iš 13 be liekanos.
Skaičių dalijamumas
Kaip matyti iš to, kas išdėstyta aukščiau, galima daryti prielaidą, kad bet kuriam natūraliajam skaičiui galite pasirinkti savo individualų dalijimosi ženklą arba „sudėtinį“ ženklą, jei skaičius yra kelių skirtingų skaičių kartotinis. Tačiau, kaip rodo praktika, paprastai kuo didesnis skaičius, tuo sudėtingesnis jo ženklas. Gali būti, kad laikas, sugaištas tikrinant dalijamumo kriterijų, gali būti lygus arba didesnis už patį padalijimą. Todėl dažniausiai naudojame pačius paprasčiausius dalijimosi ženklus.
Straipsnyje nagrinėjama sveikųjų skaičių padalijimo su liekana samprata. Įrodykime teoremą apie sveikųjų skaičių dalijimąsi su liekana ir pažvelkime į ryšius tarp dividendų ir daliklių, nepilnų koeficientų ir liekanų. Pažvelkime į taisykles skaidydami sveikuosius skaičius su liekanomis, pažvelkime į juos išsamiai naudodami pavyzdžius. Sprendimo pabaigoje atliksime patikrinimą.
Bendras supratimas apie sveikųjų skaičių padalijimą su liekanomis
Sveikųjų skaičių padalijimas su liekana yra laikomas apibendrintu padalijimu su natūraliųjų skaičių liekana. Tai daroma, nes natūralūs skaičiai yra sveikųjų skaičių sudedamoji dalis.
Dalijimas su savavališko skaičiaus liekana reiškia, kad sveikasis skaičius a yra padalintas iš skaičiaus b, kuris nėra nulis. Jei b = 0, tada neskirstykite su liekana.
Kaip ir dalijant natūraliuosius skaičius iš liekanos, sveikieji skaičiai a ir b dalijami iš c ir d, kai b nėra nulis. Šiuo atveju a ir b vadinami dividendu ir dalikliu, o d yra dalybos liekana, c yra sveikasis arba nepilnasis koeficientas.
Jeigu darysime prielaidą, kad liekana yra neneigiamas sveikasis skaičius, tai jos reikšmė nėra didesnė už skaičiaus b modulį. Parašykime taip: 0 ≤ d ≤ b. Ši nelygybių grandinė naudojama lyginant 3 ar daugiau skaičių.
Jei c yra nepilnas koeficientas, tai d yra sveikojo skaičiaus a padalijimo iš b liekana, kurią galima trumpai pasakyti: a: b = c (likutis d).
Likutis dalijant skaičius a iš b gali būti nulis, tada sakoma, kad a dalijasi iš b visiškai, tai yra be liekanos. Dalijimas be liekanos laikomas ypatingu padalijimo atveju.
Jei nulį padalinsime iš kažkokio skaičiaus, rezultatas bus nulis. Likusi padalijimo dalis taip pat bus lygi nuliui. Tai galima atsekti iš teorijos, kaip padalyti nulį iš sveikojo skaičiaus.
Dabar pažvelkime į sveikųjų skaičių padalijimo su liekana prasmę.
Yra žinoma, kad teigiami sveikieji skaičiai yra natūralūs skaičiai, tada dalijant su liekana gausis ta pati reikšmė, kaip ir dalijant natūraliuosius skaičius su liekana.
Prasminga neigiamą sveikąjį skaičių a dalyti iš teigiamo sveikojo skaičiaus b. Pažiūrėkime į pavyzdį. Įsivaizduokite situaciją, kai turime a dydžio daiktų skolą, kurią turi grąžinti b asmuo. Kad tai būtų pasiekta, visi turi vienodai prisidėti. Norint nustatyti kiekvieno skolos sumą, reikia atkreipti dėmesį į privačių s. Likutis d rodo, kad yra žinomas prekių kiekis po skolų apmokėjimo.
Pažvelkime į obuolių pavyzdį. Jei 2 žmonės skolingi 7 obuolius. Jei paskaičiuosime, kad kiekvienas turi grąžinti 4 obuolius, tai po pilno skaičiavimo jiems liks 1 obuolys. Parašykime tai lygybe: (− 7) : 2 = − 4 (iš t. 1) .
Bet kokį skaičių a dalinti iš sveikojo skaičiaus nėra prasmės, bet tai įmanoma kaip parinktis.
Teorema apie sveikųjų skaičių dalijimąsi su liekana
Nustatėme, kad a yra dividendas, tada b yra daliklis, c yra dalinis koeficientas, o d yra liekana. Jie yra sujungti vienas su kitu. Šį ryšį parodysime naudodami lygybę a = b · c + d. Ryšiui tarp jų būdinga dalijimosi su liekana teorema.
Teorema
Bet kurį sveikąjį skaičių galima pavaizduoti tik per sveikąjį skaičių ir skaičių b, kuris nėra nulis, tokiu būdu: a = b · q + r, kur q ir r yra keli sveikieji skaičiai. Čia turime 0 ≤ r ≤ b.
Įrodykime a = b · q + r egzistavimo galimybę.
Įrodymas
Jei yra du skaičiai a ir b, o a dalijasi iš b be liekanos, tai iš apibrėžimo išplaukia, kad yra skaičius q, ir lygybė a = b · q bus teisinga. Tada lygybė gali būti laikoma teisinga: a = b · q + r, jei r = 0.
Tada reikia paimti q tokį, kurį duota nelygybe b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Turime, kad išraiškos a − b · q reikšmė yra didesnė už nulį ir ne didesnė už skaičiaus b reikšmę, iš to seka, kad r = a − b · q. Pastebime, kad skaičius a gali būti pavaizduotas forma a = b · q + r.
Dabar turime apsvarstyti galimybę pateikti a = b · q + r neigiamoms b reikšmėms.
Skaičiaus modulis pasirodo teigiamas, tada gauname a = b · q 1 + r, kur reikšmė q 1 yra kažkoks sveikasis skaičius, r yra sveikasis skaičius, atitinkantis sąlygą 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Unikalumo įrodymas
Tarkime, kad a = b q + r, q ir r yra sveikieji skaičiai, kurių sąlyga 0 ≤ r teisinga< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 Ir r 1 yra keletas skaičių, kur q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .
Kai nelygybė atimama iš kairės ir dešinės pusių, gauname 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, tai yra lygiavertė r - r 1 = b · q 1 - q. Kadangi naudojamas modulis, gauname lygybę r - r 1 = b · q 1 - q.
Pateikta sąlyga sako, kad 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q Ir q 1- visas ir q ≠ q 1, tada q 1 – q ≥ 1. Iš čia gauname, kad b · q 1 - q ≥ b. Gautos nelygybės r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
Iš to išplaukia, kad skaičius a negali būti pavaizduotas jokiu kitu būdu, išskyrus užrašant a = b · q + r.
Ryšys tarp dividendo, daliklio, dalinio koeficiento ir liekanos
Naudodami lygybę a = b · c + d, galite rasti nežinomą dividendą a, kai žinomas daliklis b su nepilnu daliniu c ir likučiu d.
1 pavyzdys
Nustatykite dividendą, jei padalydami gauname - 21, nepilnas koeficientas yra 5, o likutis yra 12.
Sprendimas
Būtina apskaičiuoti dividendą a, kai žinomas daliklis b = − 21, nepilnasis koeficientas c = 5 ir liekana d = 12. Turime kreiptis į lygybę a = b · c + d, iš čia gauname a = (− 21) · 5 + 12. Jei laikomės veiksmų eilės, padauginame - 21 iš 5, po to gauname (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93.
Atsakymas: - 93 .
Ryšys tarp daliklio ir dalinio dalinio bei liekanos gali būti išreikštas naudojant lygybes: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b ir d = a − b · c . Jų pagalba galime apskaičiuoti daliklį, dalinį koeficientą ir liekaną. Tai reiškia, kad nuolat reikia rasti likutį, kai sveikasis skaičius a dalinamas iš b su žinomu dividendu, dalikliu ir daliniu koeficientu. Taikoma formulė d = a − b · c. Pažvelkime į sprendimą išsamiai.
2 pavyzdys
Raskite likutį, kai sveikąjį skaičių - 19 padalijate iš sveikojo skaičiaus 3, kurio žinomas nepilnas koeficientas lygus - 7.
Sprendimas
Norėdami apskaičiuoti dalybos likutį, taikome d = a − b · c formos formulę. Pagal sąlygą visi duomenys yra prieinami: a = -19, b = 3, c = -7. Iš čia gauname d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (skirtumas − 19 − (− 21). Šis pavyzdys apskaičiuojamas naudojant atimties taisyklę neigiamas sveikasis skaičius.
Atsakymas: 2 .
Visi teigiami sveikieji skaičiai yra natūralūs skaičiai. Iš to išplaukia, kad dalyba atliekama pagal visas padalijimo taisykles su natūraliųjų skaičių liekana. Dalijimosi su likusia natūraliųjų skaičių greitis yra svarbus, nes juo grindžiamas ne tik teigiamų skaičių padalijimas, bet ir savavališkų sveikųjų skaičių padalijimo taisyklės.
Patogiausias padalijimo būdas yra stulpelis, nes lengviau ir greičiau gauti nepilną arba tiesiog koeficientą su likučiu. Pažvelkime į sprendimą išsamiau.
3 pavyzdys
Padalinkite 14671 iš 54.
Sprendimas
Šis padalijimas turi būti atliktas stulpelyje:
Tai reiškia, kad dalinis koeficientas yra lygus 271, o likusioji dalis yra 37.
Atsakymas: 14 671: 54 = 271. (likusieji 37)
Teigiamo sveikojo skaičiaus padalijimo iš neigiamo sveikojo skaičiaus taisyklė, pavyzdžiai
Norint atlikti teigiamo skaičiaus likutį padalyti iš neigiamo sveikojo skaičiaus, būtina suformuluoti taisyklę.
1 apibrėžimas
Neišsamus teigiamo sveikojo skaičiaus a dalijimas iš neigiamo sveikojo skaičiaus b duoda skaičių, kuris yra priešingas nepilnam skaičių a modulių dalijimui iš b. Tada liekana lygi liekanai, kai a dalijama iš b.
Taigi mes turime, kad nepilnas teigiamo sveikojo skaičiaus dalijimosi iš neigiamo sveikojo skaičiaus koeficientas laikomas neteigiamu sveikuoju skaičiumi.
Gauname algoritmą:
- dividendo modulį padaliname iš daliklio modulio, tada gauname nepilną koeficientą ir
- priminimas;
- Užrašykime priešingą skaičių nei gavome.
Pažiūrėkime į teigiamo sveikojo skaičiaus padalijimo iš neigiamo sveikojo skaičiaus algoritmo pavyzdį.
4 pavyzdys
Padalinkite su likusia 17 iš -5.
Sprendimas
Taikykime teigiamo sveikojo skaičiaus padalijimo iš neigiamo sveikojo skaičiaus algoritmą. Būtina padalinti 17 iš - 5 modulio. Iš čia gauname, kad dalinis koeficientas yra lygus 3, o likusioji dalis yra lygi 2.
Gauname, kad reikiamas skaičius 17 padalytas iš - 5 = - 3, o liekana lygi 2.
Atsakymas: 17: (− 5) = − 3 (likę 2).
5 pavyzdys
Jums reikia padalyti 45 iš - 15.
Sprendimas
Būtina padalinti skaičius modulo. Padalinkite skaičių 45 iš 15, gausime koeficientą 3 be liekanos. Tai reiškia, kad skaičius 45 dalijasi iš 15 be liekanos. Atsakymas yra - 3, nes padalijimas buvo atliktas moduliu.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
Atsakymas: 45: (− 15) = − 3 .
Padalijimo su liekana taisyklės formuluotė yra tokia.
2 apibrėžimas
Norint gauti nepilną koeficientą c dalijant neigiamą sveikąjį skaičių a iš teigiamo b, reikia pritaikyti duoto skaičiaus priešingybę ir iš jo atimti 1, tada liekana d bus apskaičiuojama pagal formulę: d = a − b · c.
Remdamiesi taisykle galime daryti išvadą, kad dalydami gauname neneigiamą sveikąjį skaičių. Norėdami užtikrinti sprendimo tikslumą, naudokite algoritmą, skirtą a dalinti iš b su liekana:
- rasti dividendo ir daliklio modulius;
- padalinti modulo;
- užrašykite duoto skaičiaus priešingybę ir atimkite 1;
- naudokite formulę liekanai d = a − b · c.
Pažvelkime į sprendimo, kuriame naudojamas šis algoritmas, pavyzdį.
6 pavyzdys
Raskite dalybos dalinį ir liekaną – 17 iš 5.
Sprendimas
Duotus skaičius dalijame modulo. Pastebime, kad dalijant koeficientas yra 3, o likutis yra 2. Kadangi gavome 3, tai priešingai yra 3. Reikia atimti 1.
− 3 − 1 = − 4 .
Norima reikšmė lygi – 4.
Norėdami apskaičiuoti likutį, jums reikia a = − 17, b = 5, c = − 4, tada d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .
Tai reiškia, kad nepilnas padalijimo koeficientas yra skaičius - 4, o liekana lygi 3.
Atsakymas:(− 17) : 5 = − 4 (likę 3).
7 pavyzdys
Padalinkite neigiamą sveikąjį skaičių - 1404 iš teigiamo 26.
Sprendimas
Būtina padalyti pagal stulpelį ir modulį.
Gavome skaičių modulių padalijimą be liekanos. Tai reiškia, kad padalijimas atliekamas be liekanos, o norimas koeficientas = - 54.
Atsakymas: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Neigiamų sveikųjų skaičių padalijimo taisyklė su liekana, pavyzdžiai
Būtina suformuluoti padalijimo su likusia neigiamų sveikųjų skaičių taisyklę.
3 apibrėžimas
Norint gauti nepilną koeficientą c, padalijus neigiamą sveikąjį skaičių a iš neigiamo sveikojo skaičiaus b, reikia atlikti modulio skaičiavimus, tada pridėti 1, tada galime atlikti skaičiavimus pagal formulę d = a − b · c.
Iš to išplaukia, kad nepilnas neigiamų sveikųjų skaičių dalijimosi koeficientas bus teigiamas skaičius.
Suformuluokime šią taisyklę algoritmo forma:
- rasti dividendo ir daliklio modulius;
- padalykite dividendo modulį iš daliklio modulio, kad gautumėte nepilną koeficientą su
- priminimas;
- pridedant 1 prie nepilno koeficiento;
- likučio apskaičiavimas pagal formulę d = a − b · c.
Pažvelkime į šį algoritmą naudodami pavyzdį.
8 pavyzdys
Raskite dalinį koeficientą ir likutį, kai - 17 dalija iš - 5.
Sprendimas
Siekdami užtikrinti sprendinio teisingumą, taikome padalijimo su liekana algoritmą. Pirma, padalinkite skaičius modulo. Iš to gauname, kad nepilnas koeficientas = 3, o likusioji dalis yra 2. Pagal taisyklę reikia pridėti nepilną koeficientą ir 1. Gauname, kad 3 + 1 = 4. Iš čia gauname, kad duotųjų skaičių dalijimosi dalinis koeficientas yra lygus 4.
Norėdami apskaičiuoti likutį, naudosime formulę. Pagal sąlygą turime, kad a = − 17, b = − 5, c = 4, tada, naudojant formulę, gauname d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Privalomas atsakymas, tai yra, liekana, yra lygi 3, o dalinis koeficientas yra lygus 4.
Atsakymas:(− 17) : (− 5) = 4 (likę 3).
Sveikųjų skaičių padalijimo su liekana rezultato tikrinimas
Padalinę skaičius iš likusios dalies, turite atlikti patikrinimą. Šis patikrinimas apima 2 etapus. Pirmiausia patikrinama, ar likutis d nėra neigiamas, tenkinama sąlyga 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Pažiūrėkime į pavyzdžius.
9 pavyzdys
Padalijimas sudaromas - 521 iš - 12. Dalinys yra 44, o likusioji dalis yra 7. Atlikite patikrinimą.
Sprendimas
Kadangi liekana yra teigiamas skaičius, jos reikšmė yra mažesnė už daliklio modulį. Daliklis yra - 12, o tai reiškia, kad jo modulis yra 12. Galite pereiti prie kito patikrinimo punkto.
Pagal sąlygą gauname, kad a = −521, b = −12, c = 44, d = 7. Iš čia apskaičiuojame b · c + d, kur b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. Iš to išplaukia, kad lygybė yra tiesa. Patvirtinimas atliktas.
10 pavyzdys
Atlikite padalijimo patikrą (− 17): 5 = − 3 (likę − 2). Ar lygybė yra tiesa?
Sprendimas
Pirmojo etapo esmė ta, kad reikia patikrinti sveikųjų skaičių padalijimą su liekana. Iš to aišku, kad veiksmas buvo atliktas neteisingai, nes buvo duota liekana, lygi - 2. Likusi dalis nėra neigiamas skaičius.
Turime, kad antroji sąlyga yra įvykdyta, tačiau šiuo atveju nepakanka.
Atsakymas: Nr.
11 pavyzdys
Skaičius – 19 buvo padalintas iš – 3. Dalinis koeficientas yra 7, o likusioji dalis yra 1. Patikrinkite, ar šis skaičiavimas atliktas teisingai.
Sprendimas
Duota liekana lygi 1. Jis teigiamas. Vertė yra mažesnė už daliklio modulį, o tai reiškia, kad baigiamas pirmasis etapas. Pereikime prie antrojo etapo.
Apskaičiuokime išraiškos b · c + d reikšmę. Pagal sąlygą gauname, kad b = − 3, c = 7, d = 1, o tai reiškia, kad pakeitus skaitines reikšmes gauname b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20. Iš to seka, kad a = b · c + d lygybė negalioja, nes sąlyga suteikia a = - 19.
Iš to išplaukia, kad padalijimas buvo atliktas su klaida.
Atsakymas: Nr.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Šiame straipsnyje mes apžvelgsime sveikųjų skaičių dalyba su liekana. Pradėkime nuo bendrojo principo dalyti sveikuosius skaičius su liekana, suformuluokite ir įrodykime sveikųjų skaičių dalijimosi su liekana teoremą ir atsekime ryšius tarp dividendo, daliklio, nepilnojo koeficiento ir liekanos. Toliau apibūdinsime taisykles, pagal kurias sveikieji skaičiai dalijami su liekana, ir apsvarstysime šių taisyklių taikymą sprendžiant pavyzdžius. Po to išmoksime patikrinti sveikųjų skaičių padalijimo su liekana rezultatą.
Puslapio naršymas.
Bendras supratimas apie sveikųjų skaičių padalijimą su liekana
Sveikųjų skaičių padalijimą su liekana laikysime dalybos su natūraliųjų skaičių liekana apibendrinimu. Taip yra dėl to, kad natūralūs skaičiai yra sveikųjų skaičių sudedamoji dalis.
Pradėkime nuo aprašyme vartojamų terminų ir pavadinimų.
Analogiškai dalijant natūraliuosius skaičius su liekana, darysime prielaidą, kad padalijimo su dviejų sveikųjų skaičių a ir b liekana rezultatas (b nelygus nuliui) yra du sveikieji skaičiai c ir d. Skaičiai a ir b vadinami dalytis Ir skirstytuvas atitinkamai skaičius d – priminimas dalijant a iš b, ir vadinamas sveikasis skaičius c nepilnas privatus(arba tiesiog privatus, jei likusioji dalis lygi nuliui).
Sutikime, kad liekana yra neneigiamas sveikasis skaičius, o jos reikšmė neviršija b, tai yra (panašiomis nelygybių grandinėmis susidūrėme, kai kalbėjome apie trijų ar daugiau sveikųjų skaičių palyginimą).
Jei skaičius c yra nepilnas koeficientas, o skaičius d yra sveikojo skaičiaus a dalijimo iš sveikojo skaičiaus b liekana, tai šį faktą trumpai parašysime kaip a:b=c formos lygybę (likęs d).
Atkreipkite dėmesį, kad dalijant sveikąjį skaičių a iš sveikojo skaičiaus b, liekana gali būti lygi nuliui. Šiuo atveju sakome, kad a dalijasi iš b be pėdsakų(arba visiškai). Taigi sveikųjų skaičių padalijimas be liekanos yra ypatingas sveikųjų skaičių padalijimo su liekana atvejis.
Taip pat verta pasakyti, kad dalijant nulį iš kokio nors sveikojo skaičiaus, mes visada susiduriame su padalijimu be liekanos, nes tokiu atveju koeficientas bus lygus nuliui (žr. nulio padalijimo iš sveikojo skaičiaus teorijos skyrių), o liekana taip pat bus lygus nuliui.
Mes nusprendėme dėl terminijos ir žymėjimo, dabar supraskime sveikųjų skaičių padalijimo su liekana prasmę.
Neigiamą sveikąjį skaičių a dalijant iš teigiamo sveikojo skaičiaus b taip pat galima suteikti prasmę. Norėdami tai padaryti, neigiamą sveikąjį skaičių laikykite skola. Įsivaizduokime šią situaciją. Skolą, kuri sudaro daiktus, turi grąžinti b žmonės, įnešdami vienodą įnašą. Absoliuti nepilnojo koeficiento c reikšmė šiuo atveju lems kiekvieno iš šių žmonių skolos dydį, o likutis d parodys, kiek daiktų liks sumokėjus skolą. Pateikime pavyzdį. Tarkime, 2 žmonės skolingi 7 obuolius. Jeigu darysime prielaidą, kad kiekvienas iš jų skolingas po 4 obuolius, tai sumokėjus skolą jiems liks po 1 obuolį. Ši situacija atitinka lygybę (−7):2=−4 (likęs 1).
Nesuteiksime jokios reikšmės padalijimui su savavališko sveikojo skaičiaus a liekana iš neigiamo sveikojo skaičiaus, bet pasiliksime teisę egzistuoti.
Teorema apie sveikųjų skaičių dalijimąsi su liekana
Kai kalbėjome apie natūraliųjų skaičių dalijimą su liekana, išsiaiškinome, kad dividendas a, daliklis b, dalinis koeficientas c ir liekana d yra susiję lygybe a=b·c+d. Sveikieji skaičiai a, b, c ir d turi tą patį ryšį. Šis ryšys patvirtinamas taip dalijimosi teorema su liekana.
Teorema.
Bet kuris sveikasis skaičius a gali būti vienareikšmiškai pavaizduotas sveikuoju skaičiumi ir ne nuliui b, tokia forma a=b·q+r, kur q ir r yra keli sveikieji skaičiai ir .
Įrodymas.
Pirmiausia įrodome galimybę pavaizduoti a=b·q+r.
Jei sveikieji skaičiai a ir b yra tokie, kad a dalijasi iš b, tai pagal apibrėžimą yra sveikas skaičius q, kad a=b·q. Šiuo atveju galioja lygybė a=b·q+r, kai r=0.
Dabar manysime, kad b yra teigiamas sveikasis skaičius. Parinkime sveikąjį skaičių q, kad sandauga b·q neviršytų skaičiaus a, o sandauga b·(q+1) jau būtų didesnė už a. Tai yra, imame q taip, kad nelygybės b q Belieka įrodyti galimybę atvaizduoti a=b·q+r neigiamam b . Kadangi šiuo atveju skaičiaus b modulis yra teigiamas skaičius, tai yra vaizdavimas, kuriame q 1 yra koks nors sveikasis skaičius, o r yra sveikas skaičius, kuris tenkina sąlygas. Tada, imant q=−q 1, gauname reprezentaciją, kurios mums reikia a=b·q+r neigiamam b. Pereikime prie unikalumo įrodymo. Tarkime, kad be pavaizdavimo a=b·q+r, q ir r yra sveikieji skaičiai ir , yra dar vienas vaizdas a=b·q 1 +r 1, kur q 1 ir r 1 yra keli sveikieji skaičiai, o q 1 ≠ q ir . Atėmę antrosios lygybės kairiąją ir dešiniąją puses atitinkamai iš kairės ir dešinės pirmosios lygybės pusių, gauname 0=b·(q−q 1)+r−r 1, kuri yra lygiavertė lygybei r− r 1 =b·(q 1 −q) . Tada formos lygybė Iš sąlygų galime daryti tokią išvadą. Kadangi q ir q 1 yra sveikieji skaičiai, o q≠q 1, darome išvadą, kad Lygybė a=b·c+d leidžia rasti nežinomą dividendą a, jei žinomas daliklis b, dalinis koeficientas c ir liekana d. Pažiūrėkime į pavyzdį. Pavyzdys. Kokia yra dividendo vertė, jei padalijus iš sveikojo skaičiaus −21, gaunamas nepilnas koeficientas 5 ir liekana 12? Sprendimas. Reikia apskaičiuoti dividendą a, kai žinomas daliklis b=−21, dalinis koeficientas c=5 ir liekana d=12. Pasukę į lygybę a=b·c+d, gauname a=(−21)·5+12. Stebėdami, iš pradžių padauginame sveikuosius skaičius −21 ir 5 pagal sveikųjų skaičių su skirtingais ženklais dauginimo taisyklę, po to atliekame skirtingų ženklų sveikųjų skaičių sudėjimą: (−21)·5+12=−105+12=−93 . Atsakymas: −93
.
Ryšiai tarp dividendo, daliklio, dalinio koeficiento ir liekanos taip pat išreiškiami b=(a−d):c, c=(a−d):b ir d=a−b·c formos lygybėmis. Šios lygybės leidžia apskaičiuoti atitinkamai daliklį, dalinį koeficientą ir liekaną. Dažnai turėsime rasti liekaną, kai sveikąjį skaičių a dalijame iš sveikojo skaičiaus b, kai yra žinomas dividendas, daliklis ir dalinis koeficientas, naudojant formulę d=a−b·c. Kad nekiltų papildomų klausimų, pažvelkime į likusios dalies apskaičiavimo pavyzdį. Pavyzdys. Raskite likutį, kai sveikasis skaičius −19 yra padalintas iš sveikojo skaičiaus 3, jei žinote, kad dalinis koeficientas yra lygus −7. Sprendimas. Norėdami apskaičiuoti dalybos likutį, naudojame formulę, kurios forma yra d=a-b·c. Iš sąlygos turime visus reikiamus duomenis a=−19, b=3, c=−7. Gauname d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (skirtumą −19−(−21) apskaičiavome naudodami taisyklę atimant neigiamą sveikąjį skaičių ). Atsakymas: Kaip jau ne kartą pastebėjome, teigiami sveikieji skaičiai yra natūralūs skaičiai. Todėl dalijimas su likusia teigiamų sveikųjų skaičių dalimi atliekamas pagal visas padalijimo su natūraliųjų skaičių liekana taisykles. Labai svarbu, kad būtų galima lengvai atlikti padalijimą su likusia natūraliųjų skaičių dalimi, nes būtent tai yra ne tik teigiamų sveikųjų skaičių padalijimo pagrindas, bet ir visų padalijimo iš savavališkų sveikųjų skaičių taisyklių pagrindas. Mūsų požiūriu, patogiausia atlikti stulpelių padalijimą. Pažiūrėkime į padalijimo su likusia teigiamų sveikųjų skaičių pavyzdį. Pavyzdys. Iš 14 671 padalykite iš 54. Sprendimas. Padalinkime šiuos teigiamus sveikuosius skaičius stulpeliu: Dalinis koeficientas buvo lygus 271, o likusioji dalis yra lygi 37. Atsakymas: 14 671:54=271 (likęs 37) . Suformuluokime taisyklę, leidžiančią padalinti teigiamo sveikojo skaičiaus liekaną iš neigiamo sveikojo skaičiaus. Teigiamojo sveikojo skaičiaus a dalijimo iš neigiamo sveikojo skaičiaus b dalinis koeficientas yra priešingas daliniam koeficientui, padalijus a iš modulio b, o a dalijimo iš b liekana yra lygi dalijimo iš likučiai. Iš šios taisyklės išplaukia, kad dalinis teigiamo sveikojo skaičiaus dalijimas iš neigiamo sveikojo skaičiaus yra neteigiamas sveikasis skaičius. Paverskime nurodytą taisyklę į algoritmą, skirtą teigiamą sveikąjį skaičių padalyti iš neigiamo sveikojo skaičiaus: Pateiksime teigiamo sveikojo skaičiaus padalijimo iš neigiamo sveikojo skaičiaus algoritmo naudojimo pavyzdį. Pavyzdys. Teigiamą sveikąjį skaičių 17 padalykite iš neigiamo sveikojo skaičiaus –5. Sprendimas. Naudokime teigiamo sveikojo skaičiaus dalijimo iš neigiamo sveikojo skaičiaus algoritmą. Dalijant Priešingas skaičius 3 yra –3. Taigi reikalingas dalinis koeficientas, dalijantis 17 iš –5, yra –3, o likusioji dalis yra 2. Atsakymas: 17 :(−5) = −3 (likę 2). Pavyzdys. Padalinti 45 iki –15. Sprendimas. Dividendo ir daliklio moduliai yra atitinkamai 45 ir 15. Skaičius 45 dalijasi iš 15 be liekanos, o koeficientas yra 3. Todėl teigiamas sveikasis skaičius 45 dalijamas iš neigiamo sveikojo skaičiaus −15 be liekanos, o koeficientas yra lygus skaičiui, esančiam priešais 3, tai yra −3. Iš tiesų, pagal sveikųjų skaičių padalijimo su skirtingais ženklais taisyklę, mes turime . Atsakymas: 45:(−15)=−3
.
Pateiksime neigiamo sveikojo skaičiaus padalijimo iš teigiamo sveikojo skaičiaus taisyklės formuluotę. Norėdami gauti nepilną koeficientą c, padalijus neigiamą sveikąjį skaičių iš teigiamo sveikojo skaičiaus b, turite paimti skaičių, priešingą nepilnam daliniui, padalijus pradinių skaičių modulius, ir atimti iš jo vieną, po kurio apskaičiuojama liekana d naudojant formulę d=a−b·c. Iš šios padalijimo su liekana taisyklės išplaukia, kad dalinis neigiamo sveikojo skaičiaus dalijimas iš teigiamo sveikojo skaičiaus yra neigiamas sveikasis skaičius. Iš nurodytos taisyklės seka algoritmas, kaip neigiamą sveikąjį skaičių a padalyti iš teigiamo sveikojo skaičiaus b: Išanalizuokime pavyzdžio sprendimą, kuriame naudojame rašytinį padalijimo algoritmą su liekana. Pavyzdys. Raskite dalinį koeficientą ir liekaną dalijant neigiamą sveikąjį skaičių −17 iš teigiamo sveikojo skaičiaus 5. Sprendimas. Dividendo modulis −17 lygus 17, o daliklio 5 modulis lygus 5. Dalijant 17 iš 5, gauname dalinį koeficientą 3, o likusią dalį 2. 3 priešingybė yra –3. Iš −3 atimkite vieną: −3−1=−4. Taigi reikalingas dalinis koeficientas yra lygus −4. Belieka tik apskaičiuoti likutį. Mūsų pavyzdyje a=-17, b=5, c=-4, tada d=a-b·c=-17-5·(-4)= -17-(-20)=-17+20=3 . Taigi, dalinis neigiamo sveikojo skaičiaus −17 dalijimas iš teigiamo sveikojo skaičiaus 5 yra −4, o likusioji dalis yra 3. Atsakymas: (−17):5=−4 (likę 3) . Pavyzdys. Neigiamą sveikąjį skaičių –1,404 padalinkite iš teigiamo sveikojo skaičiaus 26. Sprendimas. Dividendo modulis yra 1 404, daliklio modulis yra 26. Padalinkite 1 404 iš 26 naudodami stulpelį: Kadangi dividendo modulis dalijamas iš daliklio modulio be liekanos, pradiniai sveikieji skaičiai dalijami be liekanos, o norimas koeficientas yra lygus skaičiui priešais 54, tai yra –54. Atsakymas: (−1 404):26=−54
.
Suformuluokime padalijimo su likusia neigiamų sveikųjų skaičių taisyklę. Norėdami gauti nepilną koeficientą c, padalijus neigiamą sveikąjį skaičių a iš neigiamo sveikojo skaičiaus b, turite apskaičiuoti nepilną koeficientą padalydami pradinių skaičių modulius ir pridėti prie jo vieną, po kurio liekana d apskaičiuojama naudojant formulę d =a−b·c. Iš šios taisyklės išplaukia, kad dalinis neigiamų sveikųjų skaičių daliklis yra teigiamas sveikasis skaičius. Perrašykime nurodytą taisyklę neigiamų sveikųjų skaičių padalijimo algoritmo forma: Apsvarstykime neigiamų sveikųjų skaičių padalijimo algoritmo naudojimą sprendžiant pavyzdį. Pavyzdys. Raskite dalinį koeficientą ir liekaną dalijant neigiamą sveikąjį skaičių −17 iš neigiamo sveikojo skaičiaus −5. Sprendimas. Naudokime atitinkamą padalijimo algoritmą su likusia dalimi. Dividendo modulis yra 17, daliklio modulis yra 5. Padalinys 17 virš 5 suteikia dalinį koeficientą 3, o likusią dalį 2. Prie nepilno dalinio 3 pridedame vieną: 3+1=4. Todėl reikalingas dalinis koeficientas −17 padalijus iš −5 yra lygus 4. Belieka tik apskaičiuoti likutį. Šiame pavyzdyje a=-17, b=-5, c=4, tada d=a-b·c=-17-(-5)·4= -17-(-20)=-17+20=3 . Taigi, dalinis neigiamo sveikojo skaičiaus −17 dalijimas iš neigiamo sveikojo skaičiaus −5 yra 4, o likusioji dalis yra 3. Atsakymas: (−17):(−5)=4 (likę 3) . Padalijus sveikuosius skaičius su liekana, naudinga patikrinti rezultatą. Patikra atliekama dviem etapais. Pirmajame etape patikrinama, ar liekana d yra neneigiamas skaičius, taip pat patikrinama, ar sąlyga tenkinama. Jei tenkinamos visos pirmojo patikrinimo etapo sąlygos, galite pereiti prie antrojo patikrinimo etapo, kitaip galima teigti, kad dalijant su likučiu kažkur buvo padaryta klaida. Antrame etape tikrinamas lygybės a=b·c+d pagrįstumas. Jei ši lygybė teisinga, tada padalijimas su likusia dalimi buvo atliktas teisingai, kitaip kažkur buvo padaryta klaida. Pažiūrėkime į pavyzdžių sprendimus, kuriuose tikrinamas sveikųjų skaičių padalijimo su liekana rezultatas. Pavyzdys. Padalijus skaičių −521 iš −12, dalinis koeficientas buvo 44, o likusioji dalis – 7, patikrinkite rezultatą. Sprendimas. –2, kai b=–3, c=7, d=1. Mes turime b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Taigi lygybė a=b·c+d yra neteisinga (mūsų pavyzdyje a=−19). Todėl dalijimas su likusia dalimi buvo atliktas neteisingai.
, o dėl skaičių modulio savybių – lygybė 
.
. Iš gautų nelygybių ir iš to išplaukia, kad formos lygybė neįmanoma pagal mūsų prielaidą. Todėl nėra kito skaičiaus a vaizdavimo, išskyrus a=b·q+r.Dividendo, daliklio, dalinio koeficiento ir liekanos ryšiai
Dalyba su teigiamų sveikųjų skaičių liekana, pavyzdžiai
Teigiamo sveikojo skaičiaus padalijimo iš neigiamo sveikojo skaičiaus taisyklė, pavyzdžiai
Neigiamojo sveikojo skaičiaus padalijimas iš teigiamo sveikojo skaičiaus, pavyzdžiai
Neigiamų sveikųjų skaičių padalijimo taisyklė su liekana, pavyzdžiai
Sveikųjų skaičių padalijimo su liekana rezultato tikrinimas