», To je enačbe prve stopnje. V tej lekciji bomo analizirali kar se imenuje kvadratna enačba in kako to rešiti.

Kaj se imenuje kvadratna enačba

Pomembno!

Stopnja enačbe je določena z največjo stopnjo, v kateri stoji neznano.

Če je največja moč, v kateri stoji neznano, "2", potem imate kvadratno enačbo.

Primeri kvadratnih enačb

• 5x 2 - 14x + 17 \u003d 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x \u003d 0
• x 2 - 8 \u003d 0

Pomembno! Splošni pogled kvadratne enačbe je videti takole:

A x 2 + b x + c \u003d 0

"A", "b" in "c" dobijo številke.

• "A" - prvi ali najpomembnejši koeficient;
• "B" je drugi koeficient;
• "C" je brezplačen član.

Če želite najti "a", "b" in "c", morate svojo enačbo primerjati s splošno obliko kvadratne enačbe "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Vadimo pri definiranju koeficientov "a", "b" in "c" v kvadratnih enačbah.

5x 2 - 14x + 17 \u003d 0 −7x 2 - 13x + 8 \u003d 0 −x 2 + x +

Enačba	Kvote
a \u003d 5 b \u003d −14 c \u003d 17
a \u003d −7 b \u003d −13 c \u003d 8

1

3

= 0

• a \u003d -1
• b \u003d 1
• c \u003d

  1

  3

x 2 + 0,25x \u003d 0

• a \u003d 1
• b \u003d 0,25
• c \u003d 0

x 2 - 8 \u003d 0

• a \u003d 1
• b \u003d 0
• c \u003d −8

Kako rešiti kvadratne enačbe

Za razliko linearne enačbe za reševanje kvadratnih enačb, poseben formula za iskanje korenin.

Ne pozabite!

Za reševanje kvadratne enačbe potrebujete:

• pripeljemo kvadratno enačbo v splošno obliko "ax 2 + bx + c \u003d 0". To pomeni, da mora na desni strani ostati le "0";
• uporabite formulo za korenine:

Vzemimo primer, kako uporabiti formulo za iskanje korenin kvadratne enačbe. Rešimo kvadratno enačbo.

X 2 - 3x - 4 \u003d 0

Enačba "x 2 - 3x - 4 \u003d 0" je bila že zmanjšana na splošno "ax 2 + bx + c \u003d 0" in ne zahteva dodatnih poenostavitev. Za njegovo rešitev se moramo samo prijaviti formula za iskanje korenin kvadratne enačbe.

Določimo koeficiente "a", "b" in "c" za to enačbo.

x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d

Z njeno pomočjo je rešena katera koli kvadratna enačba.

V formuli "x 1; 2 \u003d" je radikalni izraz pogosto nadomeščen
"B 2 - 4ac" s črko "D" in se imenuje diskriminator. Koncept diskriminante je podrobneje obravnavan v lekciji "Kaj je diskriminator".

Poglejmo še en primer kvadratne enačbe.

x 2 + 9 + x \u003d 7x

V tej obliki je težko določiti koeficiente "a", "b" in "c". Najprej enačbo spravimo v splošno obliko "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x \u003d 7x
x 2 + 9 + x - 7x \u003d 0
x 2 + 9 - 6x \u003d 0
x 2 - 6x + 9 \u003d 0

Zdaj lahko uporabite korensko formulo.

X 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x \u003d

6

2

x \u003d 3
Odgovor: x \u003d 3

Včasih obstajajo korenine v kvadratnih enačbah. To se zgodi, ko pod formulo v korenu najdemo negativno število.

Kvadratne enačbe. Diskriminatorno. Rešitev, primeri.

Pozor!
Obstajajo še dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki "niso zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Vrste kvadratnih enačb

Kaj je kvadratna enačba? Kako izgleda? V terminu kvadratna enačba ključna beseda je "kvadrat". To pomeni, da v enačbi nujno mora biti x na kvadrat. Poleg tega je lahko enačba (ali pa tudi ne!) Samo x (v prvi stopnji) in samo število (brezplačni član). In ne sme biti nobenih znakov x do stopnje, večje od dveh.

V matematičnem smislu je kvadratna enačba enačba oblike:

Tukaj a, b in c - nekaj številk. b in c - popolnoma vsak, ampak in- karkoli drugega kot nič. Na primer:

Tukaj in =1; b = 3; c = -4

Tukaj in =2; b = -0,5; c = 2,2

Tukaj in =-3; b = 6; c = -18

No, razumete ...

Te kvadratne enačbe na levi vsebujejo polni set člani. X na kvadrat s koeficientom in,x na prvo moč s koeficientom b in prosti termin s.

Takšne kvadratne enačbe se imenujejo poln.

Kaj če b \u003d 0, kaj dobimo? Imamo x bo izginil v prvi stopnji. To se zgodi pri množenju z nič.) Izkazalo se je na primer:

5x 2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

-x 2 + 4x \u003d 0

Itd. In če sta oba koeficienta, b in c so enaki nič, je še bolj preprosto:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Takšne enačbe, kjer nekaj manjka, se imenujejo nepopolne kvadratne enačbe. Kar je povsem logično.) Upoštevajte, da je kvadrat x prisoten v vseh enačbah.

Mimogrede, zakaj in ne more biti nič? In vi nadomestite in nič.) X na kvadratku bo izginil! Enačba bo postala linearna. In odloča se na povsem drugačen način ...

To so vse glavne vrste kvadratnih enačb. Popolno in nepopolno.

Reševanje kvadratnih enačb.

Reševanje popolnih kvadratnih enačb.

Kvadratne enačbe je enostavno rešiti. V skladu s formulami in jasnimi, preprostimi pravili. Na prvi stopnji je treba navedeno enačbo zmanjšati na standardno obliko, tj. pogledati:

Če je enačba že dana v tej obliki, vam ni treba opraviti prve faze.) Glavna stvar je pravilno določiti vse koeficiente, in, b in c.

Formula za iskanje korenin kvadratne enačbe je videti takole:

Kliče se izraz pod korenskim znakom diskriminanten... A o njem - spodaj. Kot lahko vidite, za iskanje x uporabimo samo a, b in c. Tisti. koeficienti iz kvadratne enačbe. Samo previdno nadomestite vrednosti a, b in c v to formulo in preštejte. Nadomestna s svojimi znaki! Na primer, v enačbi:

in =1; b = 3; c \u003d -4. Torej zapišemo:

Primer je skoraj rešen:

To je odgovor.

Vse je zelo preprosto. In kaj se vam zdi nemogoče zmotiti? No ja, kako ...

Najpogostejše napake so zmeda s pomenskimi znaki. a, b in c... Namesto z njihovimi znaki (kje se zmede?), Temveč z nadomestitvijo negativnih vrednosti v formuli za izračun korenin. Tukaj se shrani podroben zapis formule z določenimi številkami. Če obstajajo računske težave, naredi tako!

Recimo, da morate rešiti ta primer:

Tukaj a = -6; b = -5; c = -1

Recimo, da veste, da odgovore le redko dobite prvič.

No, ne bodi len. Napisovanje dodatne vrstice bo trajalo 30 sekund in število napak se bo močno zmanjšala... Tako pišemo podrobno, z vsemi oklepaji in znaki:

Zdi se neverjetno težko tako skrbno slikati. Ampak zdi se le. Poskusi. No, ali pa izberite. Kaj je boljše, hitro ali kajne? Poleg tega vas bom osrečil. Čez nekaj časa ne bo treba vsega tako skrbno barvati. Uspelo bo samo od sebe. Še posebej, če uporabljate spodaj opisane praktične tehnike. Ta zloben primer s kopico pomanjkljivosti je mogoče rešiti enostavno in brez napak!

Toda kvadratne enačbe so pogosto nekoliko drugačne. Na primer, takole:

Ste izvedeli?) Ja! to nepopolne kvadratne enačbe.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb.

Rešiti jih je mogoče tudi s splošno formulo. Samo pravilno morate ugotoviti, kaj je tu enako a, b in c.

Ste se zavedali? V prvem primeru a \u003d 1; b \u003d -4; in c? Sploh ga ni! No, ja, tako je. V matematiki to pomeni, da c \u003d 0 ! To je vse. Namesto v formulo nadomestite nič c, in uspelo nam bo. Enako je z drugim primerom. Le nič imamo tukaj iz, in b !

Toda nepopolne kvadratne enačbe je mogoče rešiti veliko lažje. Brez kakršnih koli formul. Razmislite o prvi nepopolni enačbi. Kaj lahko počneš tam na levi strani? Iz oklepajev lahko dodate x! Vzemimo ven.

In kaj od tega? In dejstvo, da je izdelek enak nič, če in samo, če je kateri od dejavnikov enak nič! Ne verjameš mi? No, potem si omislite dve številki, ki ni nič, ki bosta, če ju pomnožite, dali nič!
Ne deluje? To je to ...
Zato lahko samozavestno zapišemo: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

Vse. To bodo korenine naše enačbe. Oba ustrezata. Z zamenjavo katerega koli od njih v prvotno enačbo dobimo pravilno identiteto 0 \u003d 0. Kot lahko vidite, je rešitev veliko preprostejša od splošne formule. Mimogrede bom ugotovil, kateri X bo prvi in \u200b\u200bkateri drugi je popolnoma brezbrižen. Primerno je zapisati po vrsti, x 1 - kaj je manj, in x 2 - kaj je več.

Tudi drugo enačbo je mogoče preprosto rešiti. Premaknite 9 na desno stran. Dobimo:

Še vedno je treba izvleči koren iz 9 in to je to. Izkazalo se je:

Tudi dve korenini . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.

Tako so rešene vse nepopolne kvadratne enačbe. Bodisi tako, da x postavite v oklepaje, ali pa preprosto prenesete številko v desno in nato izvlečete koren.
Te tehnike je zelo težko zamenjati. Preprosto zato, ker boste morali v prvem primeru iz x-ja izvleči koren, kar je nekako nerazumljivo, v drugem pa iz oklepajev ni kaj dati ...

Diskriminatorno. Diskriminatorna formula.

Čarobna beseda diskriminanten ! Redki srednješolec te besede še ni slišal! Besedna zveza "odločanje prek diskriminante" vzbuja zaupanje in pomiritev. Ker na umazane trike diskriminante ni treba čakati! Uporaba je enostavna in brez težav.) Spominjam se najbolj splošne formule za reševanje kaj kvadratne enačbe:

Izraz pod korenskim znakom se imenuje diskriminanta. Običajno je diskriminator označen s črko D... Diskriminatorna formula:

D \u003d b 2 - 4ac

In kaj je tako izjemnega v tem izrazu? Zakaj si je zaslužilo posebno ime? Kaj pomen diskriminante? Konec koncev -b, ali 2a v tej formuli ne navajajo posebej ... Črke in črke.

Tu je stvar. Pri reševanju kvadratne enačbe s to formulo je to mogoče samo trije primeri.

1. Diskriminator je pozitiven. To pomeni, da lahko iz nje izvlečete korenino. Dober koren je izluščen ali slab - drugo vprašanje. Pomembno je, kaj se načeloma pridobiva. Potem ima vaša kvadratna enačba dve korenini. Dve različni rešitvi.

2. Diskriminator je nič. Potem imate eno rešitev. Ker seštevanje-odštevanje nič v števcu ne spremeni ničesar. Strogo rečeno, to ni en koren, ampak dve enaki... Toda v poenostavljeni različici je običajno govoriti o tem ena rešitev.

3. Diskriminator je negativen. Iz negativnega števila ni vzet noben kvadratni koren. No, v redu. To pomeni, da rešitev ni.

Iskreno, s preprosto rešitvijo kvadratnih enačb koncept diskriminante ni posebej potreben. Vrednosti koeficientov nadomestimo v formulo, vendar štejemo. Vse se izkaže samo po sebi, in dve korenini, in ena, in ne ena. Vendar pri reševanju bolj zapletenih nalog, brez znanja pomen in diskriminatorna formula ne dovolj. Še posebej - v enačbah s parametri. Takšne enačbe so akrobacija na državnem izpitu in enotnem državnem izpitu!)

Torej, kako rešiti kvadratne enačbe prek diskriminante, ki ste se je spomnili. Ali pa so se naučili, kar pa tudi ni slabo.) Znate se pravilno prepoznati a, b in c... Saj veste kako pozorno jih nadomestite v korenski formuli in pozorno preberite rezultat. Razumete, da je tu ključna beseda pozorno?

Zaenkrat si oglejte najboljše prakse, ki bodo drastično zmanjšale napake. Prav tisti, ki so posledica malomarnosti ... Za katere potem to boli in žali ...

Prvi sprejem ... Ne bodite leni, da ga pripeljete v standardni obrazec pred reševanjem kvadratne enačbe. Kaj to pomeni?
Recimo, da ste po nekaterih transformacijah dobili naslednjo enačbo:

Ne hitite s pisanjem korenske formule! Kvote boste skoraj zagotovo pomešali. a, b in c. Primer zgradite pravilno. Najprej je X na kvadrat, nato brez kvadrata, nato prosti član. Všečkaj to:

In spet ne hitite! Minus pred x na kvadratu vas lahko resnično žalosti. To je enostavno pozabiti ... Znebite se minusa. Kako? Da, kot je bilo poučeno v prejšnji temi! Celotno enačbo morate pomnožiti z -1. Dobimo:

Zdaj pa lahko varno zapišete formulo za korenine, izračunate diskriminacijo in dopolnite primer. Naredi to sam. Morali bi imeti korenine 2 in -1.

Sprejem drugega. Preverite korenine! Po Vieta-ovem izreku. Naj vas ne skrbi, vse vam bom razložil! Preverjanje zadnja stvar enačba. Tisti. tisto, s katero smo zapisali formulo za korenine. Če je (kot v tem primeru) koeficient a \u003d 1, preverjanje korenin je enostavno. Dovolj je, da jih pomnožimo. Morali bi dobiti brezplačnega člana, tj. v našem primeru -2. Bodite pozorni, ne 2, ampak -2! Brezplačni član z mojim znakom ... Če ni uspelo, potem je že nekje zamočeno. Poiščite napako.

Če se obnese, morate zložiti korenine. Zadnje in zadnje preverjanje. Moral bi dobiti koeficient b iz nasprotno znano. V našem primeru je -1 + 2 \u003d +1. In koeficient bkar je pred x je -1. Torej je vse v redu!
Škoda, da je to tako preprosto le za primere, ko je kvadrat x čist, s koeficientom a \u003d 1. A vsaj preverite takšne enačbe! Napak bo manj.

Tretji sprejem ... Če vaša enačba vsebuje delne koeficiente, se znebite ulomkov! Pomnožite enačbo s skupnim imenovalcem, kot je opisano v lekciji Kako rešiti enačbe? Enake transformacije. Pri delu z ulomki iz nekega razloga pride do napak ...

Mimogrede, obljubil sem, da bom zgled poenostavil s kopico slabosti. Ni za kaj! Tukaj je.

Da se ne bi zmedli v minusih, enačbo pomnožimo z -1. Dobimo:

To je vse! Z veseljem se odločim!

Torej, če povzamem temo.

Praktični nasvet:

1. Preden rešimo, kvadratno enačbo pripeljemo do standardne oblike, jo sestavimo pravilno.

2. Če je pred kvadratom x negativni koeficient, ga odpravimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z -1.

3. Če so koeficienti delni, ulomke izločimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z ustreznim faktorjem.

4. Če je kvadrat x čist, je koeficient pri njem enak enoti, rešitev lahko enostavno preverimo z Vietinim izrekom. Naredi!

Zdaj se lahko odločite.)

Reši enačbe:

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0

x 2 + 3x + 8 \u003d 0

x 2 - 4x + 4 \u003d 0

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Odgovori (v neredu):

x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5

x 1,2 \u003d2

x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0,5

x - poljubno število

x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3

brez rešitev

x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5

Se vse ujema? Globa! Kvadratne enačbe niso vaš glavobol. Prvi trije so delovali, ostali pa ne? Potem problem ni v kvadratnih enačbah. Težava je v enakih transformacijah enačb. Sprehodite se po povezavi, koristno je.

Ne ravno dobro? Ali pa sploh ne deluje? Potem vam bo v pomoč razdelek 555. Tam so vsi ti primeri razvrščeni na koščke. Prikazano glavni napake v rešitvi. Govori se seveda tudi o uporabi enakih transformacij pri reševanju različnih enačb. Zelo pomaga!

Če vam je všeč to spletno mesto ...

Mimogrede, imam še nekaj zanimivih strani za vas.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Takojšnje preverjanje veljavnosti. Učenje - z zanimanjem!)

lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Povprečje podeželja Kopyevskaya splošna šola

10 načinov reševanja kvadratnih enačb

Vodja: Galina Anatolyevna Patrikeyeva,

učitelj matematike

vas Kopyevo, 2007

1. Zgodovina razvoja kvadratnih enačb

1.1 Kvadratne enačbe v starem Babilonu

1.2 Kako je Diophantus sestavil in rešil kvadratne enačbe

1.3 Kvadratne enačbe v Indiji

1.4 Kvadratne enačbe iz al-Khorezmi

1.5 Kvadratne enačbe v Evropi XIII - XVII stoletja

1.6 O Vieta-ovem izreku

2. Metode reševanja kvadratnih enačb

Zaključek

Literatura

1. Zgodovina razvoja kvadratnih enačb

1.1 Kvadratne enačbe v starem Babilonu

Potrebo po reševanju enačb ne samo prve, ampak tudi druge stopnje je že v starih časih povzročala potreba po reševanju problemov, povezanih z iskanjem površin kopnega in zemeljskih del vojaške narave, pa tudi z razvojem astronomije in sama matematika. Kvadratne enačbe so lahko rešili okoli leta 2000 pr. e. Babilonci.

Z uporabo sodobnega algebrskega zapisa lahko rečemo, da v njihovih klinopisnih besedilih poleg nepopolnih obstajajo tudi na primer popolne kvadratne enačbe:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Pravilo za reševanje teh enačb, določeno v babilonskih besedilih, v bistvu sovpada s sodobnim, ni pa znano, kako so Babilonci prišli do tega pravila. Skoraj vsa doslej najdena klinopisna besedila povzročajo težave le z rešitvami, navedenimi v obliki receptov, brez navodil, kako so jih našli.

Kljub visoki stopnji razvoja algebre v Babilonu v klinastih besedilih manjka koncept negativnega števila in splošne metode za reševanje kvadratnih enačb.

1.2 Kako je Diofant sestavil in rešil kvadratne enačbe.

V Diofanovi "Aritmetiki" ni sistematične predstavitve algebre, vsebuje pa sistematizirano vrsto problemov, ki jih spremljajo razlage in jih rešuje sestavljanje enačb različnih stopenj.

Pri sestavljanju enačb Diofant spretno izbira neznanke, da poenostavi rešitev.

Tu je na primer ena izmed njegovih nalog.

Problem 11. Poiščite dve številki, saj veste, da je njihova vsota 20, zmnožek pa 96

Diophantus trdi takole: iz pogoja problema izhaja, da iskana števila niso enaka, saj če bi bila enaka, potem njihov produkt ne bi bil enak 96, ampak 100. Tako bo ena izmed njih več kot polovica njihove vsota, tj ... 10 + x, drugi je manj, tj. 10 - x... Razlika med njima 2x.

Od tod enačba:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - x 2 \u003d 96

x 2 - 4 \u003d 0 (1)

Od tod x \u003d 2... Ena od zahtevanih številk je 12 , drugo 8 ... Sklep x \u003d -2 za Diofanta ne obstaja, saj je grška matematika poznala le pozitivna števila.

Če rešimo to težavo in izberemo eno od zahtevanih števil kot neznano, potem pridemo do rešitve enačbe

y (20 - y) \u003d 96,

y 2 - 20y + 96 \u003d 0. (2)

Jasno je, da z izbiro polovične razlike iskanih številk kot neznane Diophantus poenostavi rešitev; mu uspe problem zreducirati na reševanje nepopolne kvadratne enačbe (1).

1.3 Kvadratne enačbe v Indiji

Problemi kvadratnih enačb se že srečujejo v astronomskem traktu "Aryabhattiam", ki ga je leta 499 zbral indijski matematik in astronom Aryabhatta. Drugi indijski učenjak, Brahmagupta (VII. Stoletje), je opisal splošno pravilo za reševanje kvadratnih enačb, reducirano v eno samo kanonsko obliko:

ah 2 +bx \u003d c, a\u003e 0. (1)

V enačbi (1) so koeficienti, razen in, je lahko negativno. Pravilo Brahmagupte je v bistvu enako našemu.

V starodavni Indiji je bilo javno tekmovanje za reševanje težkih problemov pogosto. Ena od starodavnih indijskih knjig o tovrstnih tekmovanjih pravi: "Kakor sonce zasenči zvezde s svojim sijajem, tako bo učeni človek zasenčil slavo drugega v ljudskih zborih, ki predlagajo in rešujejo algebrske probleme." Problemi so bili pogosto oblečeni v poetično obliko.

Tu je ena izmed nalog slavnega indijskega matematika XII. Stoletja. Bhaskaras.

Problem 13.

"Prefinjena jata opic In dvanajst ob trti ...

Po zaužitju moči se zabavajte. Začeli so skakati, visi ...

Njih na trgu je osmi del Koliko opic je bilo tam,

Na jasi sem se zabaval. Povej mi, v tem paketu? "

Rešitev Bhaskare kaže, da je vedel za dvovrednosti korenin kvadratnih enačb (slika 3).

Enačba, ki ustreza problemu 13:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara pod krinko piše:

x 2 - 64x \u003d -768

in, da levo stran te enačbe dopolnimo na kvadrat, sešteva na obe strani 32 2 , nato pa:

x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

(x - 32) 2 \u003d 256,

x - 32 \u003d ± 16,

x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.

1.4 Kvadratne enačbe za al - Khorezmi

V algebrski razpravi al-Khorezmi je podana klasifikacija linearnih in kvadratnih enačb. Avtor šteje 6 vrst enačb in jih izraža tako:

1) "Kvadrati so enaki koreninam", tj. sekira 2 + c \u003dbx.

2) "Kvadrati so enaki številu", tj. sekira 2 \u003d c.

3) "Korenine so enake številu", tj. ah \u003d c.

4) "Kvadrati in števila so enaki koreninam", tj sekira 2 + c \u003dbx.

5) "Kvadrati in korenine so enaki številu", tj. ah 2 +bx \u003d s.

6) "Korenine in številke so enake kvadratom", tj.bx + c \u003d os 2.

Za Al-Khorezmija, ki se je izogibal uporabi negativnih števil, se izrazi vsake od teh enačb seštejejo in se ne odštejejo. V tem primeru se enačbe, ki nimajo pozitivnih rešitev, zagotovo ne upoštevajo. Avtor opisuje metode za reševanje zgornjih enačb z uporabo tehnik al - jabr in al - muqabal. Njegove odločitve seveda ne sovpadajo popolnoma z našimi. Poleg tega, da je zgolj retorična, je treba na primer opozoriti, da je pri reševanju nepopolne kvadratne enačbe prve vrste

al - Khorezmi, tako kot vsi matematiki do 17. stoletja, ne upošteva ničelne rešitve, verjetno zato, ker ni pomembna pri konkretnih praktičnih problemih. Pri reševanju popolnih kvadratnih enačb al-Khwarizmi na posebnih numeričnih primerih določi pravila za reševanje in nato geometrijske dokaze.

Problem 14. »Kvadrat in število 21 sta enaka 10 koreninam. Poišči koren " (implicira koren enačbe x 2 + 21 \u003d 10x).

Avtorjeva rešitev se glasi nekako takole: število korenin razdelite na polovico, dobite 5, pomnožite 5 samo, od proizvoda odštejte 21, nastalo bo 4. Izvlecite koren 4, dobite 2. Odštejte 2 od 5 , dobite 3, to bo želeni koren. Ali dodajte 2 do 5, kar daje 7, to je tudi koren.

Razprava al-Khorezmi je prva knjiga, ki je prišla do nas, v kateri je sistematično predstavljena klasifikacija kvadratnih enačb in podane formule za njihovo rešitev.

1.5 Kvadratne enačbe v EvropiXIII - XVII cc

Formule za reševanje kvadratnih enačb na modelu al - Khorezmija v Evropi so bile prvič predstavljene v "Knjigi Abacusa", ki jo je leta 1202 napisal italijanski matematik Leonardo Fibonacci. To obsežno delo, ki odraža vpliv matematike, tako v državah islama kot v antični Grčiji, odlikujeta tako popolnost kot jasnost predstavitve. Avtor je samostojno razvil nekaj novih algebrskih primerov reševanja problemov in kot prvi v Evropi pristopil k uvajanju negativnih števil. Njegova knjiga je prispevala k širjenju algebrskega znanja ne le v Italiji, temveč tudi v Nemčiji, Franciji in drugih evropskih državah. Številni problemi iz "Knjige o Abakusu" so bili preneseni v skoraj vse evropske učbenike 16. - 17. stoletja. delno pa XVIII.

Splošno pravilo za reševanje kvadratnih enačb, reducirano v eno samo kanonično obliko:

x 2 +bx \u003d s,

z vsemi možnimi kombinacijami znakov kvote b, izje v Evropi šele leta 1544 oblikoval M. Stiefel.

Vieta ima splošno izpeljavo formule za reševanje kvadratne enačbe, toda Viet je priznal le pozitivne korenine. Italijanski matematiki Tartaglia, Cardano, Bombelli so bili med prvimi v 16. stoletju. Razmislite poleg pozitivnih in negativnih korenin. Šele v 17. stoletju. Zahvaljujoč delu Girarda, Descartesa, Newtona in drugih znanstvenikov ima metoda za reševanje kvadratnih enačb sodobno obliko.

1.6 O Vietinem izreku

Izrek, ki izraža razmerje med koeficienti kvadratne enačbe in njenimi koreninami, imenovan Vieta, je leta 1591 prvič oblikoval takole: »Če B + Dpomnoženo z A - A 2 , enako BDpotem Aenako IN in enako D».

Da bi razumeli Vieta, bi se morali tega spomniti IN, kot vsak samoglasnik, je zanj pomenil neznano (naše x), samoglasniki IN,D - koeficienti za neznano. V jeziku sodobne algebre zgornja formulacija Vieta pomeni: če

(a +b) x - x 2 \u003dab,

x 2 - (a +b) x + ab = 0,

x 1 \u003d a, x 2 \u003db.

Izražajoč razmerje med koreninami in koeficienti enačb s splošnimi formulami, zapisanimi s simboli, je Viet ugotovil enotnost v metodah reševanja enačb. Vendar pa je Vieta simbolika še vedno daleč od svoje sodobne oblike. Negativnih števil ni prepoznal, zato je pri reševanju enačb upošteval le primere, ko so vse korenine pozitivne.

2. Metode reševanja kvadratnih enačb

Kvadratne enačbe so temelj, na katerem sloni veličastna zgradba algebre. Kvadratne enačbe se pogosto uporabljajo pri reševanju trigonometričnih, eksponentnih, logaritemskih, iracionalnih in transcendentalnih enačb in neenakosti. Vsi znamo reševati kvadratne enačbe od šole (8. razred), do mature.

Formule za korenine kvadratne enačbe. Obravnavani so primeri resničnih, večkratnih in kompleksnih korenin. Faktoring kvadratnega trinoma. Geometrijska interpretacija. Primeri določanja korenin in faktoringa.

Vsebina

Poglej tudi: Reševanje kvadratnih enačb na spletu

Osnovne formule

Razmislite o kvadratni enačbi:
(1) .
Kvadratne korenine (1) določajo formule:
; .
Te formule lahko kombiniramo tako:
.
Ko so znane korenine kvadratne enačbe, je lahko polinom druge stopnje predstavljen kot produkt faktorjev (razdeljen na faktorje):
.

Nadalje predvidevamo, da gre za realna števila.
Razmislite kvadratna diskriminanta:
.
Če je diskriminator pozitiven, ima kvadratna enačba (1) dve različni realni korenini:
; .
Potem je faktorizacija kvadratnega trinoma:
.
Če je diskriminanta nič, ima kvadratna enačba (1) dve večkratni (enaki) realni korenini:
.
Faktorizacija:
.
Če je diskriminator negativen, ima kvadratna enačba (1) dve zapleteni konjugirani korenini:
;
.
Tu je namišljena enota ,;
in - resnični in namišljeni deli korenin:
; .
Potem

.

Grafična interpretacija

Če narišete funkcijo
,
ki je parabola, bodo točke presečišča grafa z osjo korenine enačbe
.
Ko graf prečka os abscise (os) v dveh točkah ().
Ko se graf v eni točki dotakne osi abscise ().
Kdaj graf ne prečka osi abscise ().

Uporabne formule kvadratne enačbe

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Izpeljava formule za korenine kvadratne enačbe

Izvajamo transformacije in uporabljamo formuli (f.1) in (f.3):




,
Kje
; .

Tako smo dobili formulo za polinom druge stopnje v obliki:
.
Zato je razvidno, da enačba

se izvaja ob
in.
To pomeni, da so korenine kvadratne enačbe
.

Primeri določanja korenin kvadratne enačbe

Primer 1

(1.1) .

.
V primerjavi z našo enačbo (1.1) najdemo vrednosti koeficientov:
.
Ugotavljamo diskriminator:
.
Ker je diskriminator pozitiven, ima enačba dve resnični korenini:
;
;
.

Iz tega dobimo razdeljevanje kvadratnega trinoma:

.

Graf funkcije y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 prečka os abscis v dveh točkah.

Načrtujmo funkcijo
.
Graf te funkcije je parabola. Os (absolutna os) prečka na dveh točkah:
in.
Te točke so korenine prvotne enačbe (1.1).

;
;
.

2. primer

Poiščite korenine kvadratne enačbe:
(2.1) .

Zapišemo kvadratno enačbo v splošni obliki:
.
V primerjavi z izvirno enačbo (2.1) najdemo vrednosti koeficientov:
.
Ugotavljamo diskriminator:
.
Ker je diskriminanta nič, ima enačba dve večkratni (enaki) korenini:
;
.

Potem je faktorizacija trinoma:
.

Graf funkcije y \u003d x 2 - 4 x + 4 se v eni točki dotakne osi abscis.

Načrtujmo funkcijo
.
Graf te funkcije je parabola. Na eni točki se dotakne osi abscis (osi):
.
Ta točka je koren prvotne enačbe (2.1). Ker ta koren dvakrat vstopi v faktorjiranje:
,
potem se taka korenina običajno imenuje večkratna. To pomeni, da verjamejo, da obstajata dve enaki korenini:
.

;
.

3. primer

Poiščite korenine kvadratne enačbe:
(3.1) .

Zapišemo kvadratno enačbo v splošni obliki:
(1) .
Prepišemo prvotno enačbo (3.1):
.
V primerjavi z (1) najdemo vrednosti koeficientov:
.
Ugotavljamo diskriminator:
.
Diskriminator je negativen. Veljavnih korenin zato ni.

Kompleksne korenine lahko najdemo:
;
;
.

Potem


.

Graf funkcije ne prečka osi abscise. Veljavnih korenin ni.

Načrtujmo funkcijo
.
Graf te funkcije je parabola. Ne prečka osi abscis (osi). Veljavnih korenin zato ni.

Veljavnih korenin ni. Kompleksne korenine:
;
;
.

Poglej tudi:

Kvadratna enačba ali enačba druge stopnje z eno neznano je enačba, ki jo lahko po transformacijah zmanjšamo v naslednjo obliko:

sekira 2 + bx + c = 0 - kvadratna enačba

kje x je neznano in a, b in c so koeficienti enačbe. V kvadratnih enačbah a se imenuje prvi koeficient ( a ≠ 0), b se imenuje drugi koeficient in c imenovanega znanega ali brezplačnega člana.

Enačba:

sekira 2 + bx + c = 0

poklical popolna kvadratna enačba. Če je eden od koeficientov b ali c je nič ali pa sta oba koeficienta enaka nič, potem je enačba predstavljena kot nepopolna kvadratna enačba.

Zmanjšana kvadratna enačba

Popolno kvadratno enačbo lahko zreduciramo v bolj priročno obliko, če delimo vse njene izraze z a, to je za prvi koeficient:

Enačba x 2 + px + q \u003d 0 se imenuje zmanjšana kvadratna enačba. Zato lahko katero koli kvadratno enačbo, v kateri je prvi koeficient 1, imenujemo zmanjšana.

Na primer enačba:

x 2 + 10x - 5 = 0

se zmanjša in enačba:

3x 2 + 9x - 12 = 0

lahko nadomestimo z zgornjo enačbo tako, da vse njene izraze delimo s -3:

x 2 - 3x + 4 = 0

Reševanje kvadratnih enačb

Če želite rešiti kvadratno enačbo, jo morate spraviti v eno od naslednjih vrst:

sekira 2 + bx + c = 0

sekira 2 + 2kx + c = 0

x 2 + px + q = 0

Vsaka vrsta enačbe ima svojo formulo za iskanje korenin:

Bodite pozorni na enačbo:

sekira 2 + 2kx + c = 0

to je preoblikovana enačba sekira 2 + bx + c \u003d 0, pri katerem je koeficient b - enakomerno, kar omogoča nadomestitev s tipom 2 k... Zato lahko formulo za iskanje korenov te enačbe poenostavimo z zamenjavo 2 k namesto tega b:

Primer 1. Reši enačbo:

3x 2 + 7x + 2 = 0

Ker drugi koeficient v enačbi ni sodo število in prvi koeficient ni enak enoti, bomo korenine iskali že po prvi formuli, imenovani splošna formula za iskanje korenin kvadratne enačbe. Najprej

a = 3, b = 7, c = 2

Zdaj, da bi našli korenine enačbe, preprosto nadomestimo vrednosti koeficientov v formulo:

x 1 =	-2	= -	1	, x 2 =	-12	= -2
	6		3		6

Odgovor: -	1	, -2.
	3

2. primer:

x 2 - 4x - 60 = 0

Določimo, čemu so enaki koeficienti:

a = 1, b = -4, c = -60

Ker je drugi koeficient v enačbi sodo število, bomo uporabili formulo za kvadratne enačbe z enakomernim drugim koeficientom:

x 1 = 2 + 8 = 10, x 2 = 2 - 8 = -6

Odgovor: 10, -6.

3. primer

y 2 + 11y = y - 25

Pripeljimo enačbo v splošno obliko:

y 2 + 11y = y - 25

y 2 + 11y - y + 25 = 0

y 2 + 10y + 25 = 0

Določimo, čemu so enaki koeficienti:

a = 1, str = 10, q = 25

Ker je prvi koeficient 1, bomo korenine iskali po formuli za reducirane enačbe s sodo drugi koeficient:

Odgovor: -5.

4. primer

x 2 - 7x + 6 = 0

Določimo, čemu so enaki koeficienti:

a = 1, str = -7, q = 6

Ker je prvi koeficient 1, bomo korenine iskali po formuli za reducirane enačbe z neparnim drugim koeficientom:

x 1 = (7 + 5) : 2 = 6, x 2 = (7 - 5) : 2 = 1