Ang paglutas ng mga equation sa mga integer ay isa sa mga pinakalumang problema sa matematika. Nasa simula na ng ika-2 milenyo BC. e. Alam ng mga Babylonia kung paano lutasin ang mga sistema ng gayong mga equation na may dalawang variable. Ang larangang ito ng matematika ay umabot sa pinakamalaking pag-unlad nito sa Sinaunang Greece. Ang aming pangunahing mapagkukunan ay Diophantus' Arithmetic, na naglalaman ng iba't ibang uri ng mga equation. Sa loob nito, si Diophantus (pagkatapos ng kanyang pangalan ang pangalan ng mga equation ay Diophantine equation) ay inaasahan ang isang bilang ng mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga equation ng ika-2 at ika-3 degree, na binuo lamang noong ika-19 na siglo.

Ang pinakasimpleng Diophantine equation ay ax + y = 1 (equation na may dalawang variable, first degree) x2 + y2 = z2 (equation na may tatlong variable, second degree)

Ang mga algebraic equation ay pinakaganap na pinag-aralan ang kanilang solusyon ay isa sa pinakamahalagang problema sa algebra noong ika-16 at ika-17 siglo.

Sa simula ng ika-19 na siglo, ang mga gawa ni P. Fermat, L. Euler, K. Gauss ay nag-imbestiga ng isang Diophantine equation ng form: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, kung saan a, b, c , d, e, f ay mga numero; x, y hindi kilalang mga variable.

Ito ay isang 2nd degree na equation na may dalawang hindi alam.

Bumuo si K. Gauss ng pangkalahatang teorya ng mga parisukat na anyo, na siyang batayan para sa paglutas ng ilang uri ng mga equation na may dalawang variable (Diophantine equation). Mayroong isang malaking bilang ng mga tiyak na Diophantine equation na maaaring malutas gamit ang mga elementarya na pamamaraan. /p>

Teoretikal na materyal.

Ang bahaging ito ng gawain ay maglalarawan sa pangunahing mga konsepto ng matematika, ang mga kahulugan ng mga termino ay ibinigay, ang isang expansion theorem ay nabuo gamit ang paraan ng mga hindi tiyak na coefficient, na pinag-aralan at isinasaalang-alang kapag nilulutas ang mga equation na may dalawang variable.

Depinisyon 1: Equation ng anyong ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, kung saan ang a, b, c, d, e, f ay mga numero; x, y hindi kilalang mga variable ay tinatawag na pangalawang degree equation na may dalawang variable.

Sa isang kurso sa matematika ng paaralan, pinag-aaralan ang quadratic equation na ax2+inx+c=0, kung saan a, b, c numero x variable, na may isang variable. Mayroong maraming mga paraan upang malutas ang equation na ito:

1. Paghahanap ng mga ugat gamit ang isang discriminant;

2. Paghahanap ng mga ugat para sa kahit na koepisyent sa (ayon sa D1=);

3. Paghahanap ng mga ugat gamit ang teorama ni Vieta;

4. Paghahanap ng mga ugat sa pamamagitan ng paghihiwalay ng perpektong parisukat ng isang binomial.

Ang paglutas ng isang equation ay nangangahulugan ng paghahanap ng lahat ng mga ugat nito o pagpapatunay na hindi sila umiiral.

Depinisyon 2: Ang ugat ng isang equation ay isang numero na, kapag pinalitan sa isang equation, ay bumubuo ng isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Depinisyon 3: Ang solusyon sa isang equation na may dalawang variable ay tinatawag na isang pares ng mga numero (x, y) kapag ipinalit sa equation, ito ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Ang proseso ng paghahanap ng mga solusyon sa isang equation ay kadalasang karaniwang binubuo ng pagpapalit ng equation ng isang katumbas na equation, ngunit isa na mas simpleng lutasin. Ang ganitong mga equation ay tinatawag na katumbas.

Depinisyon 4: Ang dalawang equation ay sinasabing katumbas kung ang bawat solusyon ng isang equation ay isang solusyon ng iba pang equation, at vice versa, at ang parehong mga equation ay isinasaalang-alang sa parehong domain.

Upang malutas ang mga equation na may dalawang variable, gamitin ang theorem sa decomposition ng equation sa kabuuan ng kumpletong mga parisukat (sa pamamagitan ng paraan ng hindi tiyak na coefficients).

Para sa second order equation ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), nagaganap ang expansion a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

Bumuo tayo ng mga kondisyon kung saan nagaganap ang pagpapalawak (2) para sa equation (1) ng dalawang variable.

Theorem: Kung ang coefficients a,b,c equation(1) matugunan ang mga kondisyon a0 at 4ab – c20, pagkatapos ay ang pagpapalawak (2) ay tinutukoy sa isang natatanging paraan.

Sa madaling salita, ang equation (1) na may dalawang variable ay maaaring gawing (2) gamit ang paraan ng mga indefinite coefficients kung ang mga kondisyon ng theorem ay natutugunan.

Tingnan natin ang isang halimbawa kung paano ipinatupad ang pamamaraan ng mga hindi tiyak na koepisyent.

PARAAN Blg. 1. Lutasin ang equation gamit ang paraan ng hindi tiyak na coefficient

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

1. Suriin natin ang katuparan ng mga kondisyon ng theorem, a=2, b=1, c=2, na nangangahulugang a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Ang mga kondisyon ng theorem ay natutugunan;

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, batay sa mga kondisyon ng theorem, ang parehong bahagi ng pagkakakilanlan ay katumbas. Pasimplehin natin ang kanang bahagi ng pagkakakilanlan.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Itinutumbas namin ang mga coefficient para sa magkaparehong mga variable sa kanilang mga kapangyarihan.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Kumuha tayo ng isang sistema ng mga equation, lutasin ito at hanapin ang mga halaga ng mga coefficient.

7. Palitan ang mga coefficient sa (2), pagkatapos ay ang equation ay kukuha ng anyo

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 +0

Kaya, ang orihinal na equation ay katumbas ng equation

2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3), ang equation na ito ay katumbas ng isang sistema ng dalawa mga linear na equation.

Sagot: (-1; 1).

Kung bibigyan mo ng pansin ang uri ng pagpapalawak (3), mapapansin mo na ito ay magkapareho sa anyo sa paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat mula sa isang quadratic equation na may isang variable: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Ilapat natin ang pamamaraang ito kapag nilulutas ang isang equation na may dalawang variable. Ating lutasin, gamit ang pagpili ng isang kumpletong parisukat, isang parisukat na equation na may dalawang variable na nalutas na gamit ang theorem.

PARAAN Blg. 2: Lutasin ang equation na 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Solusyon: 1. Isipin natin ang 2x2 bilang kabuuan ng dalawang terminong x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

2. Pangkatin natin ang mga termino sa paraang maaari nating tiklop ang mga ito gamit ang formula ng kumpletong parisukat.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. Pumili ng kumpletong mga parisukat mula sa mga expression sa mga bracket.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Ang equation na ito ay katumbas ng isang sistema ng mga linear equation.

Sagot: (-1;1).

Kung ihahambing mo ang mga resulta, makikita mo na ang equation na nalutas sa pamamaraan No. 1 gamit ang theorem at ang paraan ng hindi natukoy na mga coefficient at ang equation na nalutas sa pamamagitan ng paraan No. 2 gamit ang pagkuha ng isang kumpletong parisukat ay may parehong mga ugat.

Konklusyon: Ang isang quadratic equation na may dalawang variable ay maaaring palawakin sa kabuuan ng mga parisukat sa dalawang paraan:

➢ Ang unang paraan ay ang paraan ng hindi tiyak na koepisyent, na nakabatay sa theorem at expansion (2).

➢ Ang pangalawang paraan ay ang paggamit ng mga pagbabago sa pagkakakilanlan, na nagbibigay-daan sa iyong pumili ng sunod-sunod na kumpletong mga parisukat.

Siyempre, kapag nilutas ang mga problema, ang pangalawang paraan ay mas kanais-nais, dahil hindi ito nangangailangan ng pagsasaulo ng pagpapalawak (2) at mga kondisyon.

Ang pamamaraang ito ay maaari ding gamitin para sa mga quadratic equation na may tatlong variable. Ang pagbubukod ng isang perpektong parisukat sa mga naturang equation ay mas labor-intensive. Gagawin ko ang ganitong uri ng pagbabago sa susunod na taon.

Kagiliw-giliw na tandaan na ang isang function na may anyong: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f ay tinatawag na quadratic function ng dalawang variable. Ang mga quadratic function ay may mahalagang papel sa iba't ibang sangay ng matematika:

Sa mathematical programming (quadratic programming)

Sa linear algebra at geometry (quadratic forms)

Sa teorya differential equation(pagbabawas ng second-order linear equation sa canonical form).

Kapag nilulutas ang iba't ibang problemang ito, kailangan mong ilapat ang pamamaraan ng paghihiwalay ng kumpletong parisukat mula sa isang parisukat na equation (isa, dalawa o higit pang mga variable).

Ang mga linya na ang mga equation ay inilalarawan ng isang quadratic equation ng dalawang variable ay tinatawag na second-order curves.

Ito ay isang bilog, ellipse, hyperbola.

Kapag gumagawa ng mga graph ng mga curve na ito, ang paraan ng sunud-sunod na paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat ay ginagamit din.

Tingnan natin kung paano gumagana ang paraan ng sunud-sunod na pagpili ng isang kumpletong parisukat gamit ang mga partikular na halimbawa.

Praktikal na bahagi.

Lutasin ang mga equation gamit ang paraan ng sunud-sunod na paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x +1)2 + (x + y)2 = 0;

Sagot: (-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Sagot:(0.5; - 0.5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Sagot: (-1;1).

Lutasin ang mga equation:

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(bawas sa anyo: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Sagot: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(bawasan sa anyo: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

Sagot: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(bawas sa anyo: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

Sagot: (7; -7)

Konklusyon.

Dito gawaing siyentipiko Ang mga equation na may dalawang variable ng ikalawang antas ay pinag-aralan, at ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito ay isinasaalang-alang. Nakumpleto na ang gawain, ang isang mas maikling paraan ng solusyon ay nabuo at inilarawan, batay sa paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat at pagpapalit ng equation ng isang katumbas na sistema ng mga equation, bilang isang resulta ang pamamaraan para sa paghahanap ng mga ugat ng isang equation na may dalawang mga variable ay may ay pinasimple.

Ang isang mahalagang punto ng trabaho ay ang pamamaraan na pinag-uusapan ay ginagamit kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema sa matematika na nauugnay sa isang quadratic function, pagbuo ng second-order curves, at paghahanap ng pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng mga expression.

Kaya, ang pamamaraan ng pag-decompose ng pangalawang-order na equation na may dalawang variable sa kabuuan ng mga parisukat ay may pinakamaraming aplikasyon sa matematika.

Nonlinear equation na may dalawang hindi alam

Kahulugan 1. Hayaan si A hanay ng mga pares ng mga numero (x; y). Sinasabi nila na ang set A ay ibinigay numeric function z mula sa dalawang variable

x at y , kung ang isang panuntunan ay tinukoy sa tulong kung saan ang bawat pares ng mga numero mula sa set A ay nauugnay sa isang tiyak na numero. Ang pagtukoy ng numerical function na z ng dalawang variable na x at y ay madalas magpakilala

Kaya: saan (x , y) f

saan (x , y) = – anumang function maliban sa isang function ,

palakol+ni+c

kung saan ang a, b, c ay binibigyan ng mga numero. Kahulugan 3. Paglutas ng equation (2) x; y tumawag sa isang pares ng mga numero (

), kung saan ang formula (2) ay isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Dahil ang parisukat ng anumang numero ay di-negatibo, sumusunod ito mula sa formula (4) na ang hindi alam na x at y ay nakakatugon sa sistema ng mga equation.

ang solusyon kung saan ay isang pares ng mga numero (6; 3).

Sagot: (6; 3)

Halimbawa 2. Lutasin ang equation

Samakatuwid, ang solusyon sa equation (6) ay walang katapusang bilang ng mga pares ng mga numero mabait

(1 + y ; y) ,

kung saan ang y ay anumang numero.

linear

Kahulugan 4. Paglutas ng isang sistema ng mga equation

tumawag sa isang pares ng mga numero ( x; y), kapag pinapalitan ang mga ito sa bawat isa sa mga equation ng sistemang ito, ang tamang pagkakapantay-pantay ay makukuha.

Ang mga sistema ng dalawang equation, ang isa ay linear, ay may anyo

g(x , y)

Halimbawa 4. Lutasin ang sistema ng mga equation

Solusyon . Ipahayag natin ang hindi kilalang y mula sa unang equation ng system (7) hanggang sa hindi kilalang x at palitan ang resultang expression sa pangalawang equation ng system:

Paglutas ng equation

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Kaya naman,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Mga sistema ng dalawang equation, ang isa ay homogenous

Ang mga sistema ng dalawang equation, na ang isa ay homogenous, ay may anyo

kung saan ang a, b, c ay binibigyan ng mga numero, at g(x , y) – function ng dalawang variable na x at y.

Halimbawa 6. Lutasin ang sistema ng mga equation

Solusyon . Lutasin natin ang homogenous equation

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

tinatrato ito bilang isang quadratic equation na may paggalang sa hindi kilalang x:

Kung sakali x = - 5y, mula sa pangalawang equation ng system (11) makuha natin ang equation

5y 2 = - 20 ,

na walang ugat.

Kung sakali

mula sa pangalawang equation ng system (11) makuha natin ang equation

na ang mga ugat ay mga numero y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Sa paghahanap para sa bawat isa sa mga halagang ito y ang katumbas na halaga x, nakakakuha tayo ng dalawang solusyon sa system: (- 2 ; 3), (2 ; - 3) .

Sagot: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

Mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga equation ng iba pang mga uri

Halimbawa 8. Lutasin ang isang sistema ng mga equation (MIPT)

Solusyon . Ipakilala natin ang mga bagong hindi kilalang u at v, na ipinahayag sa pamamagitan ng x at y ayon sa mga formula:

Upang muling isulat ang system (12) sa mga tuntunin ng mga bagong hindi alam, ipinapahayag muna namin ang hindi alam na x at y sa mga tuntunin ng u at v. Mula sa sistema (13) sinusundan iyon

Lutasin natin ang linear system (14) sa pamamagitan ng pag-aalis ng variable x mula sa pangalawang equation ng system na ito.

Para sa layuning ito, ginagawa namin ang mga sumusunod na pagbabago sa system (14):
Iiwan namin ang unang equation ng system na hindi nagbabago;

mula sa pangalawang equation ay ibawas natin ang unang equation at palitan ang pangalawang equation ng system na may resultang pagkakaiba.

Bilang isang resulta, ang sistema (14) ay binago sa isang katumbas na sistema

mula sa kung saan namin mahanap

Gamit ang mga formula (13) at (15), muling isinusulat namin ang orihinal na sistema (12) sa form

Ang unang equation ng system (16) ay linear, kaya maaari nating ipahayag mula dito ang hindi kilalang u sa pamamagitan ng hindi kilalang v at palitan ang expression na ito sa pangalawang equation ng system.

Mga tagubilin
Kailangan mong magsulat ng dalawa nang mahigpit sa ibaba ng bawat isa:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Sa isang arbitraryong pinili (mula sa system) equation, ipasok ang numero 11 sa halip na ang nahanap na "laro" at kalkulahin ang pangalawang hindi alam:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Ang sagot sa sistemang ito ng mga equation ay x=116, y=11.

Paraan ng graphic.
Binubuo ito ng praktikal na paghahanap ng mga coordinate ng punto kung saan ang mga linya ay nakasulat sa matematika sa isang sistema ng mga equation. Ang mga graph ng parehong linya ay dapat na iguhit nang hiwalay sa parehong coordinate system. Pangkalahatang view: – y=khx+b. Upang makabuo ng isang tuwid na linya, sapat na upang mahanap ang mga coordinate ng dalawang puntos, at ang x ay pinili nang arbitraryo.
Hayaang ibigay ang sistema: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Ang isang tuwid na linya ay itinayo gamit ang una, para sa kaginhawahan dapat itong isulat: y=2x-4. Bumuo ng (mas madaling) mga halaga para sa x, pinapalitan ito sa equation, lutasin ito, at paghahanap ng y. Nakakuha kami ng dalawang puntos kung saan ang isang tuwid na linya ay itinayo. (tingnan ang larawan)
x 0 1

y -4 -2
Ang isang tuwid na linya ay binuo gamit ang pangalawang equation: y=-3x+1.
Bumuo din ng isang tuwid na linya. (tingnan ang larawan)

y 1 -5
Hanapin ang mga coordinate ng intersection point ng dalawang itinayong linya sa graph (kung ang mga linya ay hindi nagsalubong, kung gayon ang sistema ng mga equation ay walang - kaya).

Video sa paksa

Kapaki-pakinabang na payo

Kung malulutas mo ang parehong sistema ng mga equation sa tatlong magkakaibang paraan, magiging pareho ang sagot (kung tama ang solusyon).

Mga Pinagmulan:

8th grade algebra
lutasin ang isang equation na may dalawang hindi alam online
Mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation na may dalawa

Sistema mga equation ay isang koleksyon ng mga mathematical record, bawat isa ay naglalaman ng isang bilang ng mga variable. Mayroong ilang mga paraan upang malutas ang mga ito.

Kakailanganin mo

- ruler at lapis;
-calculator.

Isaalang-alang natin ang pagkakasunud-sunod ng paglutas ng sistema, na binubuo ng mga linear na equation na may anyo: a1x + b1y = c1 at a2x + b2y = c2. Kung saan ang x at y ay mga hindi kilalang variable, at ang b,c ay mga libreng termino. Kapag inilalapat ang pamamaraang ito, ang bawat sistema ay kumakatawan sa mga coordinate ng mga puntos na naaayon sa bawat equation. Upang magsimula, sa bawat kaso, ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa. Pagkatapos ay itakda ang variable x sa anumang bilang ng mga halaga. Dalawa ay sapat na. Palitan sa equation at hanapin ang y. Bumuo ng isang sistema ng coordinate, markahan ang mga nagresultang punto dito at gumuhit ng isang linya sa pamamagitan ng mga ito. Ang mga katulad na kalkulasyon ay dapat isagawa para sa iba pang bahagi ng system.

Ang sistema ay may natatanging solusyon kung ang mga itinayong linya ay nagsalubong at may isang karaniwang punto. Ito ay hindi magkatugma kung parallel sa isa't isa. At mayroon itong walang katapusang maraming mga solusyon kapag ang mga linya ay sumanib sa isa't isa.

Ang pamamaraang ito itinuturing na napaka-visual. Ang pangunahing kawalan ay ang mga nakalkulang hindi alam ay may tinatayang mga halaga. Ang mas tumpak na mga resulta ay ibinibigay ng tinatawag na algebraic na pamamaraan.

Ang anumang solusyon sa isang sistema ng mga equation ay nagkakahalaga ng pagsusuri. Upang gawin ito, palitan ang mga resultang halaga sa halip na ang mga variable. Maaari mo ring mahanap ang solusyon nito gamit ang ilang mga pamamaraan. Kung ang solusyon ng system ay tama, kung gayon ang lahat ay dapat na maging pareho.

Kadalasan mayroong mga equation kung saan hindi alam ang isa sa mga termino. Upang malutas ang isang equation, kailangan mong tandaan at magsagawa ng isang tiyak na hanay ng mga aksyon sa mga numerong ito.

Kakailanganin mo

- isang sheet ng papel;
- panulat o lapis.

Isipin na mayroong 8 kuneho sa harap mo, at mayroon ka lamang 5 karot. Isipin mo, kailangan mo pang bumili ng mas maraming karot para makakuha ng isa ang bawat kuneho.

Ilahad natin ang problemang ito sa anyo ng isang equation: 5 + x = 8. Ipalit natin ang numero 3 sa lugar ng x Indeed, 5 + 3 = 8.

Kapag pinalitan mo ang isang numero para sa x, ginawa mo ang parehong bagay tulad ng kapag binawasan mo ang 5 mula sa 8. Kaya, upang mahanap hindi kilala termino, ibawas ang kilalang termino mula sa kabuuan.

Sabihin nating mayroon kang 20 kuneho at 5 karot lamang. Ayusin natin. Ang isang equation ay isang pagkakapantay-pantay na humahawak lamang para sa ilang mga halaga ng mga titik na kasama dito. Ang mga titik na kailangang mahanap ang kahulugan ay tinatawag na . Sumulat ng isang equation na may isang hindi alam, tawagan itong x. Kapag nilulutas ang aming problema sa kuneho, nakukuha namin ang sumusunod na equation: 5 + x = 20.

Hanapin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng 20 at 5. Kapag binabawasan, ang bilang kung saan ito ibinabawas ay ang binabawasan. Ang bilang na ibinawas ay tinatawag na , at ang huling resulta ay tinatawag na pagkakaiba. Kaya, x = 20 – 5; x = 15. Kailangan mong bumili ng 15 carrots para sa mga kuneho.

Suriin: 5 + 15 = 20. Nalutas nang tama ang equation. Syempre, kailan pinag-uusapan natin tungkol sa mga simpleng bagay, hindi na kailangang magsagawa ng tseke. Gayunpaman, kapag mayroon kang mga equation na may tatlong-digit, apat na digit, atbp. na mga numero, tiyak na kailangan mong suriin upang maging ganap na sigurado sa resulta ng iyong trabaho.

Video sa paksa

Kapaki-pakinabang na payo

Upang mahanap ang hindi kilalang minuend, kailangan mong idagdag ang subtrahend sa pagkakaiba.

Upang mahanap ang hindi kilalang subtrahend, kailangan mong ibawas ang pagkakaiba sa minuend.

Tip 4: Paano lutasin ang isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam

Ang isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam ay maaaring walang mga solusyon, sa kabila ng sapat na bilang ng mga equation. Maaari mong subukang lutasin ito gamit ang paraan ng pagpapalit o gamit ang paraan ng Cramer. Ang pamamaraan ng Cramer, bilang karagdagan sa paglutas ng system, ay nagbibigay-daan sa iyo upang suriin kung ang system ay nalulusaw bago mahanap ang mga halaga ng mga hindi alam.

Ang paraan ng pagpapalit ay binubuo ng sunud-sunod na isang hindi alam sa pamamagitan ng dalawang iba pa at pinapalitan ang resultang resulta sa mga equation ng system. Hayaang magbigay ng isang sistema ng tatlong equation pangkalahatang pananaw:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Ipahayag ang x mula sa unang equation: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - at palitan sa pangalawa at pangatlong equation, pagkatapos ay ipahayag ang y mula sa pangalawang equation at palitan sa ikatlo. Makakakuha ka ng isang linear na expression para sa z sa pamamagitan ng mga coefficient ng mga equation ng system. Ngayon pumunta sa "paatras": palitan ang z sa pangalawang equation at lutasin ang y, at pagkatapos ay palitan ang z at y sa una at lutasin ang x. Ang proseso ay karaniwang ipinapakita sa figure bago mahanap ang z. Ang karagdagang pagsulat sa pangkalahatang anyo ay magiging masyadong masalimuot sa pagsasanay, sa pamamagitan ng pagpapalit ng , madali mong mahahanap ang lahat ng tatlong hindi alam.

Ang paraan ng Cramer ay binubuo ng pagbuo ng isang system matrix at pagkalkula ng determinant ng matrix na ito, pati na rin ng tatlong karagdagang auxiliary matrice. Ang system matrix ay binubuo ng mga coefficient para sa mga hindi kilalang termino ng mga equation. Isang column na naglalaman ng mga numero sa kanang bahagi ng mga equation, isang column ng kanang bahagi. Hindi ito ginagamit sa system, ngunit ginagamit kapag nilulutas ang system.

Video sa paksa

Mangyaring tandaan

Ang lahat ng mga equation sa system ay dapat magbigay ng karagdagang impormasyon na independyente sa iba pang mga equation. Kung hindi, ang sistema ay hindi matukoy at hindi magiging posible na makahanap ng isang hindi malabo na solusyon.

Kapaki-pakinabang na payo

Matapos malutas ang sistema ng mga equation, palitan ang mga nahanap na halaga sa orihinal na sistema at suriin na nasiyahan ang mga ito sa lahat ng mga equation.

Mag-isa equation kasama ang tatlo hindi kilala ay may maraming solusyon, kaya kadalasan ay dinadagdagan ito ng dalawa pang equation o kundisyon. Depende sa kung ano ang paunang data, ang kurso ng desisyon ay higit na nakasalalay.

Kakailanganin mo

- isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam.

Kung ang dalawa sa tatlong sistema ay may dalawa lamang sa tatlong hindi alam, subukang ipahayag ang ilang mga variable sa mga tuntunin ng iba at palitan ang mga ito sa equation kasama ang tatlo hindi kilala. Ang iyong layunin sa kasong ito ay gawing normal ito equation kasama ang hindi kilalang tao. Kung ito ay , ang karagdagang solusyon ay medyo simple - palitan ang nahanap na halaga sa iba pang mga equation at hanapin ang lahat ng iba pang hindi alam.

Ang ilang mga sistema ng mga equation ay maaaring ibawas mula sa isang equation ng isa pa. Tingnan kung posible na i-multiply ang isa sa o isang variable upang ang dalawang hindi alam ay kanselahin nang sabay-sabay. Kung may ganitong pagkakataon, samantalahin ito, malamang, ang kasunod na solusyon ay hindi magiging mahirap. Tandaan na kapag nagpaparami sa isang numero, dapat mong i-multiply pareho ang kaliwang bahagi at kanang bahagi. Gayundin, kapag binabawasan ang mga equation, dapat mong tandaan na ang kanang bahagi ay dapat ding ibawas.

Kung ang mga nakaraang pamamaraan ay hindi nakatulong, gamitin ang pangkalahatang paraan ng paglutas ng anumang mga equation na may tatlo hindi kilala. Upang gawin ito, muling isulat ang mga equation sa anyong a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Ngayon lumikha ng isang matrix ng mga coefficient para sa x (A), isang matrix ng mga hindi alam (X) at isang matrix ng mga libre (B). Pakitandaan na sa pamamagitan ng pagpaparami ng matrix ng mga coefficient sa matrix ng mga hindi alam, makakakuha ka ng matrix ng mga libreng termino, iyon ay, A*X=B.

Hanapin ang matrix A sa kapangyarihan (-1) sa pamamagitan ng unang paghahanap , tandaan na hindi ito dapat katumbas ng zero. Pagkatapos nito, i-multiply ang nagresultang matrix sa matrix B, bilang isang resulta makakatanggap ka ng nais na matrix X, na nagpapahiwatig ng lahat ng mga halaga.

Makakahanap ka rin ng solusyon sa isang sistema ng tatlong equation gamit ang paraan ng Cramer. Upang gawin ito, hanapin ang third-order determinant ∆ na naaayon sa system matrix. Pagkatapos ay sunud-sunod na maghanap ng tatlo pang determinant ∆1, ∆2 at ∆3, na pinapalitan ang mga halaga ng mga libreng termino sa halip na ang mga halaga ng kaukulang mga hanay. Ngayon hanapin ang x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Mga Pinagmulan:

mga solusyon sa mga equation na may tatlong hindi alam

Kapag nagsisimulang lutasin ang isang sistema ng mga equation, alamin kung anong uri ng mga equation ang mga ito. Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga linear na equation ay napag-aralan nang mabuti. Ang mga nonlinear na equation ay kadalasang hindi nalulutas. Mayroon lamang isang espesyal na kaso, ang bawat isa ay halos indibidwal. Samakatuwid, ang pag-aaral ng mga diskarte sa solusyon ay dapat magsimula sa mga linear equation. Ang mga naturang equation ay maaari pa ngang lutasin ng puro algorithmically.

Simulan ang iyong proseso ng pag-aaral sa pamamagitan ng pag-aaral kung paano lutasin ang isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam na X at Y sa pamamagitan ng pag-aalis. a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Ang mga coefficient ng mga equation ay ipinahiwatig ng mga indeks na nagpapahiwatig ng kanilang mga lokasyon. Kaya, binibigyang-diin ng koepisyent a21 ang katotohanang ito ay nakasulat sa unang lugar sa pangalawang equation. Sa pangkalahatang tinatanggap na notasyon, ang sistema ay isinulat sa pamamagitan ng mga equation na matatagpuan sa ibaba ng isa, magkasamang tinutukoy ng isang kulot na bracket sa kanan o kaliwa (para sa higit pang mga detalye, tingnan ang Fig. 1a).

Ang pag-numero ng mga equation ay arbitrary. Piliin ang pinakasimpleng isa, tulad ng isa kung saan ang isa sa mga variable ay pinangungunahan ng isang koepisyent ng 1 o hindi bababa sa isang integer. Kung ito ay equation (1), pagkatapos ay ang susunod na ipahayag, sabihin, ang hindi kilalang Y sa mga tuntunin ng X (ang kaso ng hindi kasama ang Y). Upang gawin ito, ibahin ang anyo (1) sa form na a12*Y=b1-a11*X (o a11*X=b1-a12*Y kapag hindi kasama ang X)), at pagkatapos ay Y=(b1-a11*X)/a12 . Pagpapalit sa huli sa equation (2) isulat ang a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. Lutasin ang equation na ito para sa X.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) o X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Gamit ang natagpuang koneksyon sa pagitan ng Y at X, sa wakas ay makukuha mo ang pangalawang hindi kilalang Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21).

Kung ang sistema ay tinukoy na may mga tiyak na numerical coefficients, kung gayon ang mga kalkulasyon ay hindi gaanong masalimuot. Ngunit ang pangkalahatang solusyon ay ginagawang posible na isaalang-alang ang katotohanan na ang mga hindi alam na natagpuan ay eksaktong pareho. Oo, at ang mga numerator ay nagpapakita ng ilang mga pattern sa kanilang pagbuo. Kung ang sukat ng sistema ng mga equation ay mas malaki kaysa sa dalawa, kung gayon ang paraan ng pag-aalis ay hahantong sa napakahirap na mga kalkulasyon. Upang maiwasan ang mga ito, puro algorithmic na solusyon ang binuo. Ang pinakasimple sa mga ito ay ang algorithm ng Cramer (mga formula ng Cramer). Para sa dapat mong malaman ang pangkalahatang sistema ng mga equation ng n equation.

Ang isang sistema ng n linear algebraic equation na may n hindi alam ay may anyo (tingnan ang Fig. 1a). Sa loob nito, ay ang mga coefficient ng system,
xj – hindi alam, bi – libreng termino (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Ang ganitong sistema ay maaaring maisulat nang compact sa matrix form na AX=B. Narito ang A ay ang matrix ng mga coefficient ng system, ang X ay ang column matrix ng mga hindi alam, ang B ay ang column matrix ng mga libreng termino (tingnan ang Figure 1b). Ayon sa pamamaraan ni Cramer, ang bawat hindi kilalang xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Ang determinant ∆ ng coefficient matrix ay tinatawag na pangunahing, at ∆i ang auxiliary. Para sa bawat hindi alam, ang auxiliary determinant ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpapalit sa i-th column ng pangunahing determinant ng column ng mga libreng termino. Ang paraan ng Cramer para sa kaso ng mga sistema ng pangalawa at pangatlong order ay ipinakita nang detalyado sa Fig. 2.

Ang sistema ay isang kumbinasyon ng dalawa o higit pang pagkakapantay-pantay, bawat isa ay naglalaman ng dalawa o higit pang mga hindi alam. Mayroong dalawang pangunahing paraan upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation na ginagamit sa loob kurikulum ng paaralan. Ang isa sa kanila ay tinatawag na pamamaraan, ang isa pa - ang paraan ng pagdaragdag.

Standard form ng isang sistema ng dalawang equation

Sa karaniwang anyo, ang unang equation ay may anyo na a1*x+b1*y=c1, ang pangalawang equation ay may anyo na a2*x+b2*y=c2, at iba pa. Halimbawa, sa kaso ng dalawang bahagi ng system, ang parehong ibinigay na a1, a2, b1, b2, c1, c2 ay ilang mga numerical coefficient na kinakatawan sa mga partikular na equation. Sa turn, ang x at y ay kumakatawan sa mga hindi alam na ang mga halaga ay kailangang matukoy. Ang mga kinakailangang halaga ay ginagawa ang parehong mga equation nang sabay-sabay sa tunay na pagkakapantay-pantay.

Paglutas ng system gamit ang paraan ng pagdaragdag

Upang malutas ang system, iyon ay, upang mahanap ang mga halaga ng x at y na gagawing tunay na pagkakapantay-pantay, kailangan mong gumawa ng ilang simpleng hakbang. Ang una sa mga ito ay ang pagbabago ng alinman sa mga equation upang ang mga numerical coefficient para sa variable na x o y sa parehong mga equation ay pareho sa magnitude, ngunit magkaiba sa sign.

Halimbawa, ipagpalagay na ang isang sistema na binubuo ng dalawang equation ay ibinigay. Ang una sa kanila ay may anyo na 2x+4y=8, ang pangalawa ay may anyo na 6x+2y=6. Ang isa sa mga pagpipilian para sa pagkumpleto ng gawain ay upang i-multiply ang pangalawang equation sa pamamagitan ng isang koepisyent ng -2, na hahantong ito sa anyo -12x-4y=-12. Ang tamang pagpili ng koepisyent ay isa sa mga pangunahing gawain sa proseso ng paglutas ng isang sistema gamit ang paraan ng pagdaragdag, dahil tinutukoy nito ang buong karagdagang kurso ng pamamaraan para sa paghahanap ng mga hindi alam.

Ngayon ay kinakailangan upang idagdag ang dalawang equation ng system. Malinaw, ang magkaparehong pagkasira ng mga variable na may mga coefficient na katumbas ng halaga ngunit kabaligtaran sa sign ay hahantong sa anyo -10x=-4. Pagkatapos nito, kinakailangan upang malutas ang simpleng equation na ito, kung saan malinaw na sinusunod nito ang x = 0.4.

Ang huling hakbang sa proseso ng solusyon ay ang palitan ang nahanap na halaga ng isa sa mga variable sa alinman sa mga orihinal na pagkakapantay-pantay na magagamit sa system. Halimbawa, ang pagpapalit ng x=0.4 sa unang equation, maaari mong makuha ang expression na 2*0.4+4y=8, kung saan y=1.8. Kaya, ang x=0.4 at y=1.8 ay ang mga ugat ng halimbawang sistema.

Upang matiyak na ang mga ugat ay natagpuan nang tama, ito ay kapaki-pakinabang upang suriin sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga nahanap na halaga sa pangalawang equation ng system. Halimbawa, sa kasong ito nakakakuha tayo ng pagkakapantay-pantay ng form na 0.4*6+1.8*2=6, na tama.

Video sa paksa

Sa kursong matematika sa ika-7 baitang, unang beses kaming nakatagpo mga equation na may dalawang variable, ngunit pinag-aaralan lamang ang mga ito sa konteksto ng mga sistema ng mga equation na may dalawang hindi alam. Iyon ang dahilan kung bakit ang isang buong serye ng mga problema kung saan ang ilang mga kundisyon ay ipinakilala sa mga coefficient ng equation na naglilimita sa mga ito ay hindi nakikita. Bilang karagdagan, ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema tulad ng "Lutasin ang isang equation sa natural o integer na mga numero" ay binabalewala din, bagama't ang mga ganitong uri ay mas madalas na matatagpuan sa mga materyales ng Pinag-isang Estado ng Pagsusuri at sa mga pagsusulit sa pasukan.

Aling equation ang tatawaging equation na may dalawang variable?

Kaya, halimbawa, ang mga equation na 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, o xy = 12 ay mga equation sa dalawang variable.

Isaalang-alang ang equation na 2x – y = 1. Nagiging totoo ito kapag x = 2 at y = 3, kaya ang pares ng variable na halaga ay isang solusyon sa pinag-uusapang equation.

Kaya, ang solusyon sa anumang equation na may dalawang variable ay isang set ng mga nakaayos na pares (x; y), mga halaga ng mga variable na nagpapalit ng equation na ito sa isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero.

Ang isang equation na may dalawang hindi alam ay maaaring:

A) magkaroon ng isang solusyon. Halimbawa, ang equation x 2 + 5y 2 = 0 ay may natatanging solusyon (0; 0);

b) magkaroon ng maraming solusyon. Halimbawa, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ay may 4 na solusyon: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) walang solusyon. Halimbawa, ang equation x 2 + y 2 + 1 = 0 ay walang mga solusyon;

G) may walang katapusang maraming solusyon. Halimbawa, x + y = 3. Ang mga solusyon sa equation na ito ay mga numero na ang kabuuan ay katumbas ng 3. Ang hanay ng mga solusyon sa equation na ito ay maaaring isulat sa anyo (k; 3 – k), kung saan ang k ay anumang real numero.

Ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na may dalawang variable ay ang mga pamamaraan batay sa factoring expression, paghihiwalay ng kumpletong parisukat, gamit ang mga katangian ng isang quadratic equation, limitadong expression, at mga pamamaraan ng pagtatantya. Ang equation ay karaniwang binago sa isang anyo kung saan ang isang sistema para sa paghahanap ng mga hindi alam ay maaaring makuha.

Factorization

Halimbawa 1.

Lutasin ang equation: xy – 2 = 2x – y.

Solusyon.

Pinagpangkat namin ang mga tuntunin para sa layunin ng factorization:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Mula sa bawat bracket ay kumukuha tayo ng karaniwang salik:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Mayroon kaming:

y = 2, x – anumang tunay na numero o x = -1, y – anumang tunay na numero.

kaya, ang sagot ay lahat ng pares ng form (x; 2), x € R at (-1; y), y € R.

Katumbas ng zero ay hindi mga negatibong numero

Halimbawa 2.

Lutasin ang equation: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Solusyon.

Pagpapangkat:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Ngayon ang bawat bracket ay maaaring tiklop gamit ang squared difference formula.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Ang kabuuan ng dalawang di-negatibong expression ay zero lamang kung 3x – 2 = 0 at 2y – 3 = 0.

Nangangahulugan ito ng x = 2/3 at y = 3/2.

Sagot: (2/3; 3/2).

Paraan ng pagtatantya

Halimbawa 3.

Lutasin ang equation: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Solusyon.

Sa bawat bracket pumili kami ng isang kumpletong parisukat:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Tantyahin natin ang kahulugan ng mga ekspresyon sa panaklong.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 at (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, kung gayon ang kaliwang bahagi ng equation ay palaging hindi bababa sa 2. Posible ang pagkakapantay-pantay kung:

(x + 1) 2 + 1 = 1 at (y – 2) 2 + 2 = 2, na nangangahulugang x = -1, y = 2.

Sagot: (-1; 2).

Kilalanin natin ang isa pang paraan para sa paglutas ng mga equation na may dalawang variable ng pangalawang degree. Ang pamamaraang ito ay binubuo ng pagtrato sa equation bilang parisukat na may paggalang sa ilang variable.

Halimbawa 4.

Lutasin ang equation: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Solusyon.

Lutasin natin ang equation bilang isang quadratic equation para sa x. Hanapin natin ang discriminant:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ang equation ay magkakaroon lamang ng solusyon kapag D = 0, ibig sabihin, kung y = 4. Ibinahagi namin ang halaga ng y sa orihinal na equation at nalaman na x = 3.

Sagot: (3; 4).

Kadalasan sa mga equation na may dalawang hindi alam ay ipinapahiwatig nila mga paghihigpit sa mga variable.

Halimbawa 5.

Lutasin ang equation sa buong numero: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Solusyon.

Isulat muli ang equation sa anyong x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Ang kanang bahagi ng resultang equation kapag hinati sa 5 ay nagbibigay ng natitirang 2. Samakatuwid, ang x 2 ay hindi nahahati ng 5. Ngunit ang parisukat ng isang ang bilang na hindi nahahati ng 5 ay nagbibigay ng natitirang 1 o 4. Kaya, imposible ang pagkakapantay-pantay at walang mga solusyon.

Sagot: walang ugat.

Halimbawa 6.

Lutasin ang equation: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Solusyon.

I-highlight natin ang kumpletong mga parisukat sa bawat bracket:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ang kaliwang bahagi ng equation ay palaging mas malaki sa o katumbas ng 3. Ang pagkakapantay-pantay ay posible kung |x| – 2 = 0 at y + 3 = 0. Kaya, x = ± 2, y = -3.

Sagot: (2; -3) at (-2; -3).

Halimbawa 7.

Para sa bawat pares ng mga negatibong integer (x;y) na nagbibigay-kasiyahan sa equation
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, kalkulahin ang kabuuan (x + y). Pakisaad ang pinakamaliit na halaga sa iyong sagot.

Solusyon.

Pumili tayo ng kumpletong mga parisukat:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Dahil ang x at y ay mga integer, ang kanilang mga parisukat ay mga integer din. Nakukuha natin ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawang integer na katumbas ng 37 kung idaragdag natin ang 1 + 36. Samakatuwid:

(x – y) 2 = 36 at (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 at (y + 2) 2 = 36.

Ang paglutas ng mga sistemang ito at isinasaalang-alang na ang x at y ay negatibo, nakakahanap tayo ng mga solusyon: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Sagot: -17.

Huwag mawalan ng pag-asa kung nahihirapan kang lutasin ang mga equation na may dalawang hindi alam. Sa kaunting pagsasanay, maaari mong pangasiwaan ang anumang equation.

May mga tanong pa ba? Hindi alam kung paano lutasin ang mga equation sa dalawang variable?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Gamit ang mathematical program na ito, maaari mong lutasin ang isang sistema ng dalawang linear equation na may dalawang variable gamit ang substitution method at ang addition method.

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit nagbibigay din ng isang detalyadong solusyon na may mga paliwanag ng mga hakbang sa solusyon sa dalawang paraan: ang paraan ng pagpapalit at ang paraan ng pagdaragdag.

Maaaring maging kapaki-pakinabang ang programang ito para sa mga mag-aaral sa high school mga paaralang sekondarya bilang paghahanda sa mga pagsubok at mga pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang Pinag-isang Pagsusulit ng Estado, para makontrol ng mga magulang ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang-aralin

sa matematika o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may mga detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng paglutas ng mga problema.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga equation
Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.

Halimbawa: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$, atbp. Kapag nagpapasok ng mga equation maaari kang gumamit ng panaklong
. Sa kasong ito, ang mga equation ay unang pinasimple.

Ang mga equation pagkatapos ng mga pagpapasimple ay dapat na linear, i.e. ng anyong ax+by+c=0 na may katumpakan ng pagkakasunud-sunod ng mga elemento.

Halimbawa: 6x+1 = 5(x+y)+2
Sa mga equation, maaari mong gamitin hindi lamang ang mga buong numero, kundi pati na rin ang mga fraction sa anyo ng mga decimal at ordinaryong mga fraction.
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.

Ang integer at fractional na bahagi sa mga decimal fraction ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa: 2.1n + 3.5m = 55
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction. /
Ang denominator ay hindi maaaring negatibo. &

Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon:
Ang buong bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng ampersand sign:
Mga halimbawa.

Halimbawa: 3x-4y = 5

Natuklasan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Naka-disable ang JavaScript sa iyong browser.
Para lumitaw ang solusyon, kailangan mong paganahin ang JavaScript.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.

kasi Maraming mga tao na handang lutasin ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Sa ilang segundo ang solusyon ay lilitaw sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...

Kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Isang maliit na teorya.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Pamamaraan ng pagpapalit

Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng pagpapalit:
1) ipahayag ang isang variable mula sa ilang equation ng system sa mga tuntunin ng isa pa;
2) palitan ang resultang expression sa isa pang equation ng system sa halip na ang variable na ito;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Ipahayag natin ang y sa mga tuntunin ng x mula sa unang equation: y = 7-3x. Ang pagpapalit ng expression na 7-3x sa pangalawang equation sa halip na y, nakuha namin ang system:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Madaling ipakita na ang una at pangalawang sistema ay may parehong mga solusyon. Sa pangalawang sistema, ang pangalawang equation ay naglalaman lamang ng isang variable. Lutasin natin ang equation na ito:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Ang pagpapalit ng numero 1 sa halip na x sa pagkakapantay-pantay na y=7-3x, makikita natin ang katumbas na halaga ng y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Pares (1;4) - solusyon ng system

Ang mga sistema ng mga equation sa dalawang variable na may parehong mga solusyon ay tinatawag katumbas. Ang mga system na walang mga solusyon ay itinuturing din na katumbas.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng karagdagan

Isaalang-alang natin ang isa pang paraan upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation - ang paraan ng pagdaragdag. Kapag nilulutas ang mga sistema sa ganitong paraan, pati na rin kapag nilulutas sa pamamagitan ng pagpapalit, lumilipat tayo mula sa sistemang ito patungo sa isa pa, katumbas na sistema, kung saan ang isa sa mga equation ay naglalaman lamang ng isang variable.

Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:
1) paramihin ang mga equation ng term ng system sa pamamagitan ng term, pagpili ng mga salik upang ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay maging kabaligtaran na mga numero;
2) idagdag ang kaliwa at kanang bahagi ng term ng system equation sa pamamagitan ng termino;
3) lutasin ang resultang equation na may isang variable;
4) hanapin ang katumbas na halaga ng pangalawang variable.

Halimbawa. Lutasin natin ang sistema ng mga equation:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Sa mga equation ng sistemang ito, ang mga coefficient ng y ay magkasalungat na numero. Ang pagdaragdag ng kaliwa at kanang bahagi ng equation term sa pamamagitan ng term, makakakuha tayo ng equation na may isang variable na 3x=33. Palitan natin ang isa sa mga equation ng system, halimbawa ang una, ng equation na 3x=33. Kunin natin ang sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Mula sa equation na 3x=33 nakita natin na x=11. Ang pagpapalit ng x value na ito sa equation $x-3y=38$ ay makakakuha tayo ng equation na may variable na y: $11-3y=38$. Lutasin natin ang equation na ito:
$-3y=27 \Rightarrow y=-9 $

Kaya, natagpuan namin ang solusyon sa sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pagdaragdag: $x=11; y=-9$ o $(11;-9)$

Sinasamantala ang katotohanan na sa mga equation ng system ang mga coefficient ng y ay magkasalungat na mga numero, binawasan namin ang solusyon nito sa solusyon ng isang katumbas na sistema (sa pamamagitan ng pagsusuma sa magkabilang panig ng bawat isa sa mga equation ng orihinal na sistema), kung saan ang isa ng mga equation ay naglalaman lamang ng isang variable.

Mga aklat (mga aklat-aralin) Mga Abstract ng Unified State Examination at ang Unified State Examination na pagsusulit online Mga laro, puzzle Pag-plot ng mga graph ng mga function Diksyunaryo ng pagbabaybay ng wikang Russian Dictionary of youth slang Catalog of Russian schools Catalog of secondary educational institutions of Russia Catalog of Russian universities List ng mga gawain