A. Ang projection ng point A papunta sa PQ axis (Fig. 4) ay ang base a ng perpendicular na bumaba mula sa isang naibigay na punto patungo sa isang naibigay na axis. Ang axis kung saan namin pinaplano ay tinatawag na projection axis.
b. Hayaang maibigay ang dalawang axes at isang vector A B, na ipinapakita sa Fig. 5.
Ang isang vector na ang simula ay ang projection ng simula at ang dulo ay ang projection ng dulo ng vector na ito ay tinatawag na projection ng vector A B papunta sa PQ axis.
Minsan ang indicator ng PQ ay hindi nakasulat sa ibaba;
Sa. Theorem I. Ang mga magnitude ng mga vector na nakahiga sa isang axis ay nauugnay bilang ang mga magnitude ng kanilang mga projection sa anumang axis.
Hayaang ibigay ang mga axes at vectors na ipinahiwatig sa Fig. 6 Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok ay malinaw na ang mga haba ng mga vector ay nauugnay bilang ang mga haba ng kanilang mga projection, i.e.
Dahil ang mga vector sa pagguhit ay nakadirekta sa iba't ibang direksyon, ang kanilang mga magnitude ay may iba't ibang mga palatandaan, samakatuwid,
Malinaw, ang magnitude ng mga projection ay mayroon ding iba't ibang mga palatandaan:
pagpapalit ng (2) sa (3) sa (1), nakukuha natin
Binabaliktad ang mga palatandaan, nakukuha namin
Kung ang mga vector ay pantay na nakadirekta, kung gayon ang kanilang mga projection ay magkakaroon din ng parehong direksyon; walang magiging minus sign sa mga formula (2) at (3). Ang pagpapalit ng (2) at (3) sa pagkakapantay-pantay (1), agad nating makukuha ang pagkakapantay-pantay (4). Kaya, ang teorama ay napatunayan para sa lahat ng mga kaso.
d. Teorama II. Ang magnitude ng projection ng isang vector sa anumang axis ay katumbas ng magnitude ng vector na pinarami ng cosine ng anggulo sa pagitan ng axis ng mga projection at ang axis ng vector . 7. Bumuo tayo ng isang vector na may parehong direksyon tulad ng axis nito at naka-plot, halimbawa, mula sa punto ng intersection ng mga axes. Hayaan ang haba nito ay katumbas ng isa. Tapos ang laki nito
1. Paghahanap ng mga projection sa geometriko.
Vector
- projection ng vector papunta sa axis OX
- projection ng vector papunta sa axis OY
Kahulugan 1. Vector projection sa anumang coordinate axis ay isang numero na kinuha na may plus o minus sign, na tumutugma sa haba ng segment na matatagpuan sa pagitan ng mga base ng perpendiculars na bumaba mula sa simula at dulo ng vector hanggang sa coordinate axis.
Ang projection sign ay tinukoy bilang mga sumusunod. Kung, kapag gumagalaw kasama ang coordinate axis, mayroong isang paggalaw mula sa projection point ng simula ng vector hanggang sa projection point ng dulo ng vector sa positibong direksyon ng axis, kung gayon ang projection ng vector ay itinuturing na positibo. . Kung ito ay kabaligtaran sa axis, kung gayon ang projection ay itinuturing na negatibo.
Ang figure ay nagpapakita na kung ang vector ay naka-orient kahit papaano sa tapat ng coordinate axis, kung gayon ang projection nito sa axis na ito ay negatibo. Kung ang isang vector ay naka-orient kahit papaano sa positibong direksyon ng coordinate axis, kung gayon ang projection nito sa axis na ito ay positibo.
Kung ang isang vector ay patayo sa coordinate axis, ang projection nito sa axis na ito ay zero.
Kung ang isang vector ay codirectional na may axis, ang projection nito sa axis na ito ay katumbas ng absolute value ng vector.
Kung ang isang vector ay nakadirekta nang tapat sa coordinate axis, ang projection nito sa axis na ito ay katumbas ng absolute value sa absolute value ng vector na kinuha gamit ang minus sign.
2. Ang pinaka-pangkalahatang kahulugan ng projection.
Mula sa isang kanang tatsulok ABD:.
Kahulugan 2. Vector projection sa anumang coordinate axis ay isang numero na katumbas ng produkto ng modulus ng vector at ang cosine ng anggulo na nabuo ng vector na may positibong direksyon ng coordinate axis.
Ang tanda ng projection ay tinutukoy ng tanda ng cosine ng anggulo na nabuo ng vector na may positibong direksyon ng axis.
Kung ang anggulo ay talamak, kung gayon ang cosine ay may positibong tanda at ang mga projection ay positibo. Para sa mga obtuse na anggulo, ang cosine ay may negatibong tanda, kaya sa mga ganitong kaso ang mga projection sa axis ay negatibo. 
- samakatuwid, para sa mga vector na patayo sa axis, ang projection ay zero.
Sagot:
Mga katangian ng projection:
Mga Katangian ng Vector Projection
Ari-arian 1.
Ang projection ng kabuuan ng dalawang vector sa isang axis ay katumbas ng kabuuan ng mga projection ng mga vector sa parehong axis: 
Binibigyang-daan ka ng property na ito na palitan ang projection ng isang kabuuan ng mga vector sa kabuuan ng kanilang mga projection at vice versa.
Ari-arian 2. Kung ang isang vector ay pinarami ng bilang na λ, kung gayon ang projection nito sa axis ay pinarami din ng numerong ito:
Ari-arian 3.
Ang projection ng vector sa l axis ay katumbas ng produkto ng vector modulus at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng vector at ng axis:
Orth axis. Decomposition ng isang vector sa coordinate unit vectors. Mga coordinate ng vector. Mga katangian ng coordinate
Sagot:
Unit vectors ng mga palakol.
Ang isang rectangular coordinate system (ng anumang dimensyon) ay inilalarawan din ng isang set ng mga unit vector na nakahanay sa mga coordinate axes. Ang bilang ng mga unit vector ay katumbas ng dimensyon ng coordinate system at lahat sila ay patayo sa isa't isa.
Sa tatlong-dimensional na kaso, ang mga vector ng yunit ay karaniwang tinutukoy
At mga simbolo ng Arrow at maaari ding gamitin.
Sa kasong ito, sa kaso ng tamang coordinate system, ang mga sumusunod na formula na may mga produkto ng vector ng mga unit vector ay may bisa:
Decomposition ng isang vector sa coordinate unit vectors.
Ang unit vector ng coordinate axis ay tinutukoy ng , axes ng , axes ng (Fig. 1)
Para sa anumang vector na nasa eroplano, nagaganap ang sumusunod na pagpapalawak:
Kung ang vector 
na matatagpuan sa espasyo, pagkatapos ay ang pagpapalawak sa mga vector ng yunit ng mga coordinate axes ay may anyo:
Vector coordinate:
Upang makalkula ang mga coordinate ng isang vector, alam ang mga coordinate (x1; y1) ng simula nito A at ang mga coordinate (x2; y2) ng dulo nito B, kailangan mong ibawas ang mga coordinate ng simula mula sa mga coordinate ng dulo: ( x2 – x1; y2 – y1).
Mga katangian ng mga coordinate.
Isaalang-alang ang isang coordinate line na may pinanggalingan sa punto O at ang unit vector i. Pagkatapos para sa anumang vector a sa linyang ito: a = axi.
Ang numerong palakol ay tinatawag na coordinate ng vector a sa coordinate axis.
Ari-arian 1. Kapag nagdaragdag ng mga vector sa isang axis, idinaragdag ang kanilang mga coordinate.
Ari-arian 2. Kapag ang isang vector ay pinarami ng isang numero, ang coordinate nito ay pinarami ng numerong iyon.
Tuldok na produkto ng mga vector. Mga Katangian.
Sagot:
Ang scalar product ng dalawang non-zero vectors ay ang numero
katumbas ng produkto ng mga vector na ito at ang cosine ng anggulo sa pagitan nila.
Mga Katangian:
1. Ang scalar product ay may commutative property: ab=ba
Produktong tuldok coordinate unit vectors. Pagpapasiya ng scalar product ng mga vector na tinukoy ng kanilang mga coordinate.
Sagot:
Dot product (×) ng mga unit vector
| (X) | ako | J | K |
| ako | |||
| J | |||
| K |
Pagpapasiya ng scalar product ng mga vector na tinukoy ng kanilang mga coordinate.
Ang scalar product ng dalawang vectors at ibinigay ng kanilang mga coordinate ay maaaring kalkulahin gamit ang formula
Ang cross product ng dalawang vectors. Mga katangian ng isang produkto ng vector.
Sagot:
Tatlong non-coplanar vector ang bumubuo ng right-handed triple kung, mula sa dulo ng pangatlo, ang pag-ikot mula sa unang vector hanggang sa pangalawa ay ginawang counterclockwise. Kung clockwise, pagkatapos ay umalis Kung hindi, pagkatapos ay sa kabaligtaran (. ipakita kung paano siya nagpakita gamit ang "mga hawakan")
Cross product ng isang vector A sa vector b tinatawag na vector mula saan:
1. Patayo sa mga vector A At b
2. May haba ayon sa bilang na katumbas ng lugar ng paralelogram na nabuo sa a At b mga vector
3. Mga Vector, a ,b, At c bumuo ng kanang-kamay na triplet ng mga vector
Mga Katangian:
1. 
3. 
4. 
Vector na produkto ng coordinate unit vectors. Pagpapasiya ng produkto ng vector ng mga vector na tinukoy ng kanilang mga coordinate.
Sagot:
Vector na produkto ng coordinate unit vectors.
Pagpapasiya ng produkto ng vector ng mga vector na tinukoy ng kanilang mga coordinate.
Hayaang ang mga vectors a = (x1; y1; z1) at b = (x2; y2; z2) ay ibigay ng kanilang mga coordinate sa rectangular Cartesian coordinate system O, i, j, k, at ang triple i, j, k ay kanang kamay.
Palawakin natin ang a at b sa mga batayang vector:
a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.
Gamit ang mga katangian ng produkto ng vector, nakukuha namin
[A; b] = =
= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +
+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +
+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)
Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang produkto ng vector nahanap namin
= 0, = k, = - j,
= - k, = 0, = i,
= j, = - i.
= 0.
Isinasaalang-alang ang mga pagkakapantay-pantay na ito, ang pormula (1) ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i
[A; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)
Ang Formula (2) ay nagbibigay ng expression para sa vector product ng dalawang vectors na tinukoy ng kanilang mga coordinate.
Ang resultang formula ay masalimuot Gamit ang notasyon ng mga determinant, maaari mo itong isulat sa ibang anyo na mas maginhawa para sa pagsasaulo:
Karaniwan ang formula (3) ay isinusulat nang mas maikli:
Kahulugan 1. Sa isang eroplano, ang isang parallel na projection ng point A papunta sa l axis ay isang punto - ang punto ng intersection ng l axis na may tuwid na linya na iginuhit sa punto A na kahanay ng vector na tumutukoy sa direksyon ng disenyo. Kahulugan 2. Ang parallel projection ng isang vector papunta sa l axis (sa vector) ay ang coordinate ng vector na may kaugnayan sa batayan
axis l, kung saan ang mga point at ay parallel projection ng mga puntos A at B papunta sa l axis, ayon sa pagkakabanggit (Fig. 1).
Ayon sa kahulugan na mayroon tayo Kahulugan 3. kung at l axis na batayan Cartesian, iyon ay, ang projection ng vector papunta sa l axis
tinatawag na orthogonal (Larawan 2).
Sa espasyo, ang kahulugan 2 ng vector projection papunta sa axis ay nananatiling may bisa, tanging ang projection na direksyon ay tinukoy ng dalawang non-collinear vectors (Fig. 3).
Mula sa kahulugan ng projection ng isang vector papunta sa isang axis, sumusunod na ang bawat coordinate ng isang vector ay isang projection ng vector na ito papunta sa axis na tinukoy ng kaukulang batayang vector. Sa kasong ito, ang direksyon ng disenyo ay tinukoy ng dalawang iba pang mga batayang vector kung ang disenyo ay isinasagawa (isinasaalang-alang) sa kalawakan, o ng isa pang batayang vector kung ang disenyo ay isinasaalang-alang sa isang eroplano (Larawan 4).
Theorem 1. Ang orthogonal projection ng isang vector papunta sa l axis ay katumbas ng produkto ng modulus ng vector at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng positibong direksyon ng l axis at, i.e.
Sa kabilang side
Mula sa nahanap namin
Ang pagpapalit ng AC sa pagkakapantay-pantay (2), nakukuha namin Dahil ang mga numero x
at ang parehong tanda sa parehong mga kaso na isinasaalang-alang ((Fig. 5, a); (Fig. 5, b), pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay (4) ito ay sumusunod
Magkomento. Sa mga sumusunod, isasaalang-alang lamang natin ang orthogonal projection ng vector papunta sa axis at samakatuwid ang salitang "ort" (orthogonal) ay aalisin sa notasyon.
Ipakita natin ang ilang mga formula na gagamitin sa paglutas ng mga problema.
Kung, kung gayon ang orthogonal projection sa vector ayon sa formula (5) ay may anyo
c) Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang eroplano.
Hayaan ang b ay isang ibinigay na eroplano na may isang normal na vector, ang M ay isang ibinigay na punto,
d ay ang distansya mula sa punto M hanggang sa eroplano b (Larawan 6).
Kung ang N ay isang di-makatwirang punto ng eroplano b, at at ay mga projection ng mga puntos na M at N papunta sa axis, kung gayon
- G) Ang distansya sa pagitan ng mga intersecting na linya.
Hayaang bigyan ang a at b ng mga intersecting na linya, maging isang vector na patayo sa kanila, ang A at B ay mga arbitrary na punto ng mga linyang a at b, ayon sa pagkakabanggit (Larawan 7), at at maging mga projection ng mga puntos na A at B papunta, pagkatapos
e) Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.
Hayaan l- isang ibinigay na tuwid na linya na may vector ng direksyon, M - isang ibinigay na punto,
N - projection nito papunta sa linya l, pagkatapos - ang kinakailangang distansya (Larawan 8).
Kung ang A ay isang arbitrary na punto sa isang linya l, pagkatapos ay sa isang kanang tatsulok na MNA ang hypotenuse MA at mga binti ay matatagpuan. Ibig sabihin,
f) Ang anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano.
Hayaan ang vector ng direksyon ng linyang ito l, - normal na vector ng isang naibigay na eroplano b, - projection ng isang tuwid na linya l sa eroplano b (Larawan 9).
Tulad ng nalalaman, ang anggulo μ sa pagitan ng isang tuwid na linya l at ang projection nito sa eroplano b ay tinatawag na anggulo sa pagitan ng linya at ng eroplano. meron tayo
Magbigay tayo ng mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa sukatan gamit ang paraan ng vector-coordinate.
Projection Ang vector sa isang axis ay isang vector na nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng scalar projection ng isang vector sa axis na ito at ang unit vector ng axis na ito. Halimbawa, kung ang isang x - scalar projection vector A sa X axis, pagkatapos ay isang x i- ang vector projection nito sa axis na ito.
Tukuyin natin projection ng vector kapareho ng vector mismo, ngunit may index ng axis kung saan ang vector ay inaasahang. Kaya, ang vector projection ng vector A sa X axis na tinutukoy namin A x( mataba isang titik na nagsasaad ng vector at isang subscript ng pangalan ng axis) o (isang mababang-bold na titik na nagsasaad ng vector, ngunit may arrow sa itaas (!) at isang subscript ng pangalan ng axis).
Scalar projection vector per axis ay tinatawag numero, ang absolute value na katumbas ng haba ng axis segment (sa napiling scale) na nakapaloob sa pagitan ng mga projection ng start point at end point ng vector. Kadalasan sa halip na expression scalar projection ang sabi lang nila- projection. Ang projection ay tinutukoy ng parehong titik bilang ang projected vector (sa normal, non-bold writing), na may mas mababang index (bilang panuntunan) ng pangalan ng axis kung saan ang vector na ito ay projected. Halimbawa, kung ang isang vector ay naka-project sa X axis A, pagkatapos ang projection nito ay tinutukoy ng isang x. Kapag ipino-project ang parehong vector sa isa pang axis, kung ang axis ay Y, ang projection nito ay ilalarawan na a y.
Upang kalkulahin ang projection vector sa isang axis (halimbawa, ang X axis), kinakailangang ibawas ang coordinate ng panimulang punto mula sa coordinate ng end point nito, iyon ay
a x = x k − x n.
Ang projection ng isang vector sa isang axis ay isang numero. Bukod dito, ang projection ay maaaring maging positibo kung ang halaga x k ay mas malaki kaysa sa halaga x n,
negatibo kung ang halaga x k ay mas mababa sa halaga x n
at katumbas ng zero kung ang x k ay katumbas ng x n.
Ang projection ng isang vector sa isang axis ay maaari ding matagpuan sa pamamagitan ng pag-alam sa modulus ng vector at ang anggulo na ginagawa nito sa axis na ito.
Mula sa figure ay malinaw na ang isang x = isang Cos α
ibig sabihin, ang projection ng vector papunta sa axis ay katumbas ng produkto ng modulus ng vector at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng direksyon ng axis at direksyon ng vector. Kung ang anggulo ay talamak, kung gayon
Cos α > 0 at a x > 0, at, kung malabo, kung gayon ang cosine ng obtuse angle ay negatibo, at ang projection ng vector sa axis ay magiging negatibo din.
Ang mga anggulo na sinusukat mula sa axis na pakaliwa ay itinuturing na positibo, at ang mga anggulo na sinusukat sa kahabaan ng axis ay negatibo. Gayunpaman, dahil ang cosine ay isang even function, iyon ay, Cos α = Cos (− α), kapag kinakalkula ang mga projection, ang mga anggulo ay maaaring bilangin sa parehong clockwise at counterclockwise.
Upang mahanap ang projection ng isang vector sa isang axis, ang modulus ng vector na ito ay dapat na i-multiply sa cosine ng anggulo sa pagitan ng direksyon ng axis at ng direksyon ng vector.
Mga coordinate ng vector— mga coefficient ng tanging posibleng linear na kumbinasyon ng mga batayang vector sa napiling coordinate system, katumbas ng ibinigay na vector.
nasaan ang mga coordinate ng vector.
Tuldok na produkto ng mga vector
Scalar na produkto ng mga vector[- sa may hangganan-dimensional espasyo ng vector ay tinukoy bilang ang kabuuan ng mga produkto ng magkakahawig na mga sangkap na pinaparami mga vector.
Halimbawa, ang S.p.v. a = (a 1 , ..., isang n) At b = (b 1 , ..., b n):
(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n