Hanapin ang kabuuan ng mga projection ng vector sa mga coordinate axes. Vector projection

Hayaan ang dalawang vector at ibigay sa espasyo. Ipagpaliban natin mula sa isang arbitrary na punto O mga vector at . anggulo sa pagitan ng mga vector ay tinatawag na pinakamaliit sa mga anggulo. Itinalaga .

Isaalang-alang ang axis l at mag-plot ng unit vector dito (i.e., isang vector na ang haba ay katumbas ng isa).

Sa isang anggulo sa pagitan ng vector at ng axis l maunawaan ang anggulo sa pagitan ng mga vector at .

Kaya hayaan l ay ilang axis at isang vector.

Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng A 1 At B 1 projection papunta sa axis l ayon sa pagkakabanggit ng mga puntos A At B. Ipagpalagay natin na A 1 may coordinate x 1, A B 1– coordinate x 2 sa axis l.

Pagkatapos projection vector bawat axis l tinatawag na pagkakaiba x 1 – x 2 sa pagitan ng mga coordinate ng mga projection ng dulo at simula ng vector papunta sa axis na ito.

Projection ng vector papunta sa axis l magsasaad tayo ng .

Ito ay malinaw na kung ang anggulo sa pagitan ng vector at ang axis l maanghang noon x 2> x 1, at projection x 2 – x 1> 0; kung ang anggulong ito ay malabo, kung gayon x 2< x 1 at projection x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, Iyon x 2= x 1 At x 2– x 1=0.

Kaya, ang projection ng vector papunta sa axis l ay ang haba ng segment A 1 B 1, kinuha gamit ang isang tiyak na tanda. Samakatuwid, ang projection ng vector sa axis ay isang numero o isang scalar.

Parehong tinutukoy ang projection ng isang vector papunta sa isa pa. Sa kasong ito, ang mga projection ng mga dulo ng vector na ito sa linya kung saan matatagpuan ang 2nd vector.

Tingnan natin ang ilang basic katangian ng mga projection.

LINEARLY DEPENDENT AT LINEARLY INDEPENDENT VECTOR SYSTEMS

Isaalang-alang natin ang ilang mga vectors.

Linear na kumbinasyon ng mga vector na ito ay anumang vector ng anyo , kung saan ang ilang mga numero. Ang mga numero ay tinatawag na linear combination coefficients. Sinasabi rin nila na sa kasong ito ito ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng mga vectors na ito, i.e. ay nakuha mula sa kanila gamit ang mga linear na aksyon.

Halimbawa, kung tatlong vector ang ibinigay, ang mga sumusunod na vector ay maaaring ituring bilang kanilang linear na kumbinasyon:

Kung ang isang vector ay kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng ilang mga vector, kung gayon ito ay sinasabing inilatag kasama ang mga vectors na ito.

Ang mga vector ay tinatawag nakadepende sa linear, kung may mga numero, hindi lahat ay katumbas ng zero, ganoon . Malinaw na ibinigay na mga vector magiging linearly dependent kung ang alinman sa mga vectors na ito ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng iba.

Kung hindi, i.e. kapag ang ratio ginanap lamang kapag , ang mga vector na ito ay tinatawag linearly independent.

Teorama 1. Anumang dalawang vectors ay linearly dependent kung at kung sila ay collinear.

Patunay:

Ang sumusunod na teorama ay maaaring mapatunayang katulad.

Teorama 2. Tatlong vector ang linearly na umaasa kung at kung sila ay coplanar.

Patunay.

BATAYAN

Batayan ay isang koleksyon ng mga non-zero linearly independent vectors. Ipatukoy natin ang mga elemento ng batayan sa pamamagitan ng .

Sa nakaraang talata, nakita namin na ang dalawang non-collinear vectors sa isang eroplano ay linearly independent. Samakatuwid, ayon sa Theorem 1 mula sa nakaraang talata, ang batayan sa isang eroplano ay anumang dalawang di-collinear na vector sa eroplanong ito.

Katulad nito, ang anumang tatlong non-coplanar vectors ay linearly independent sa espasyo. Dahil dito, tinatawag namin ang tatlong non-coplanar vectors bilang batayan sa espasyo.

Ang sumusunod na pahayag ay totoo.

Teorama. Hayaang magbigay ng batayan sa kalawakan. Kung gayon ang anumang vector ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon , Saan x, y, z- ilang mga numero. Ito ang tanging agnas.

Patunay.

Kaya, ang batayan ay nagbibigay-daan sa bawat vector na natatanging nauugnay sa isang triple ng mga numero - ang mga coefficient ng pagpapalawak ng vector na ito sa mga batayang vectors: . Totoo rin ang kabaligtaran, para sa bawat tatlong numero x, y, z gamit ang batayan, maaari mong ihambing ang vector kung gumawa ka ng isang linear na kumbinasyon .

Kung ang pagbabatayan at , pagkatapos ay ang mga numero x, y, z ay tinatawag mga coordinate vector sa isang ibinigay na batayan. Ang mga coordinate ng vector ay tinutukoy ng .

CARTESIAN COORDINATE SYSTEM

Hayaang magbigay ng punto sa espasyo O at tatlong non-coplanar vectors.

Cartesian coordinate system sa espasyo (sa eroplano) ay ang koleksyon ng isang punto at isang batayan, i.e. isang koleksyon ng isang punto at tatlong non-coplanar vectors (2 non-collinear vectors) na nagmumula sa puntong ito.

Dot O tinatawag na pinagmulan; Ang mga tuwid na linya na dumadaan sa pinagmulan ng mga coordinate sa direksyon ng mga batayang vector ay tinatawag na coordinate axes - ang abscissa, ordinate at applicate axis. Ang mga eroplanong dumadaan sa coordinate axes ay tinatawag na coordinate planes.

Isaalang-alang ang isang arbitrary na punto sa napiling coordinate system M. Ipakilala natin ang konsepto ng mga coordinate ng punto M. Vector na nagkokonekta sa pinanggalingan sa isang punto M. tinawag radius vector puntos M.

Ang isang vector sa napiling batayan ay maaaring iugnay sa isang triple ng mga numero - ang mga coordinate nito: .

Mga coordinate ng radius vector ng punto M. ay tinatawag mga coordinate ng point M. sa coordinate system na isinasaalang-alang. M(x,y,z). Ang unang coordinate ay tinatawag na abscissa, ang pangalawa ay ang ordinate, at ang pangatlo ay ang applicate.

Parehong tinutukoy ang mga coordinate ng Cartesian sa eroplano. Narito ang punto ay mayroon lamang dalawang coordinate - abscissa at ordinate.

Madaling makita na para sa isang ibinigay na sistema ng coordinate, ang bawat punto ay may ilang mga coordinate. Sa kabilang banda, para sa bawat triple ng mga numero mayroong isang natatanging punto na mayroong mga bilang na ito bilang mga coordinate.

Kung ang mga vector na kinuha bilang batayan sa napiling sistema ng coordinate ay may haba ng yunit at pares na patayo, kung gayon ang sistema ng coordinate ay tinatawag na Cartesian na hugis-parihaba.

Madaling ipakita iyon.

Ang mga cosine ng direksyon ng isang vector ay ganap na tumutukoy sa direksyon nito, ngunit walang sinasabi tungkol sa haba nito.

Projection Ang vector sa isang axis ay isang vector na nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng scalar projection ng isang vector sa axis na ito at ang unit vector ng axis na ito. Halimbawa, kung ang isang x - scalar projection vector A sa X axis, pagkatapos ay isang x i- ang vector projection nito sa axis na ito.

Tukuyin natin projection ng vector kapareho ng vector mismo, ngunit may index ng axis kung saan ang vector ay inaasahang. Kaya, ang vector projection ng vector A sa X axis na tinutukoy namin A x( mataba isang titik na nagsasaad ng vector at isang subscript ng pangalan ng axis) o (isang mababang-bold na titik na nagsasaad ng vector, ngunit may arrow sa itaas (!) at isang subscript ng pangalan ng axis).

Scalar projection vector per axis ay tinatawag numero, ang absolute value na katumbas ng haba ng axis segment (sa napiling scale) na nakapaloob sa pagitan ng mga projection ng start point at end point ng vector. Kadalasan sa halip na expression scalar projection ang sabi lang nila- projection. Ang projection ay tinutukoy ng parehong titik bilang ang projected vector (sa normal, non-bold writing), na may mas mababang index (bilang panuntunan) ng pangalan ng axis kung saan ang vector na ito ay projected. Halimbawa, kung ang isang vector ay naka-project sa X axis A, pagkatapos ang projection nito ay tinutukoy ng isang x. Kapag ipino-project ang parehong vector sa isa pang axis, kung ang axis ay Y, ang projection nito ay ilalarawan na a y.

Upang kalkulahin ang projection vector sa isang axis (halimbawa, ang X axis), kinakailangang ibawas ang coordinate ng panimulang punto mula sa coordinate ng end point nito, iyon ay
a x = x k − x n.
Ang projection ng isang vector sa isang axis ay isang numero. Bukod dito, ang projection ay maaaring maging positibo kung ang halaga x k ay mas malaki kaysa sa halaga x n,

negatibo kung ang halaga x k ay mas mababa sa halaga x n

at katumbas ng zero kung ang x k ay katumbas ng x n.

Ang projection ng isang vector sa isang axis ay maaari ding matagpuan sa pamamagitan ng pag-alam sa modulus ng vector at ang anggulo na ginagawa nito sa axis na ito.

Mula sa figure ay malinaw na ang isang x = isang Cos α

ibig sabihin, ang projection ng vector papunta sa axis ay katumbas ng produkto ng modulus ng vector at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng direksyon ng axis at direksyon ng vector. Kung ang anggulo ay talamak, kung gayon
Cos α > 0 at a x > 0, at, kung malabo, kung gayon ang cosine ng obtuse angle ay negatibo, at ang projection ng vector sa axis ay magiging negatibo din.

Ang mga anggulo na sinusukat mula sa axis na pakaliwa ay itinuturing na positibo, at ang mga anggulo na sinusukat sa kahabaan ng axis ay negatibo. Gayunpaman, dahil ang cosine ay isang even function, iyon ay, Cos α = Cos (− α), kapag kinakalkula ang mga projection, ang mga anggulo ay maaaring bilangin sa parehong clockwise at counterclockwise.

Upang mahanap ang projection ng isang vector sa isang axis, ang modulus ng vector na ito ay dapat na i-multiply sa cosine ng anggulo sa pagitan ng direksyon ng axis at ng direksyon ng vector.

Mga coordinate ng vector— mga coefficient ng tanging posibleng linear na kumbinasyon ng mga batayang vector sa napiling coordinate system, katumbas ng ibinigay na vector.

nasaan ang mga coordinate ng vector.

Tuldok na produkto ng mga vector

Scalar na produkto ng mga vector[- sa may hangganan-dimensional espasyo ng vector ay tinukoy bilang ang kabuuan ng mga produkto ng magkakahawig na mga sangkap na pinaparami mga vector.

Halimbawa, ang S.p.v. a = (a 1 , ..., isang n) At b = (b 1 , ..., b n):

(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Sa artikulong ito mauunawaan natin ang projection ng isang vector sa isang axis at matutunan kung paano hanapin ang numerical projection ng isang vector. Una, magbibigay kami ng kahulugan ng projection ng isang vector sa isang axis, ipakilala ang notasyon, at magbibigay din ng isang graphic na paglalarawan. Pagkatapos nito, sasabihin namin ang kahulugan ng numerical projection ng isang vector sa isang axis, isaalang-alang ang mga pamamaraan para sa paghahanap nito, at magpapakita ng mga solusyon sa ilang mga halimbawa kung saan ito ay kinakailangan upang mahanap ang numerical projection ng isang vector sa isang axis.

Pag-navigate sa pahina.

Projection ng isang vector sa isang axis - kahulugan, pagtatalaga, mga guhit, halimbawa.

Magsimula tayo sa ilang pangkalahatang impormasyon.

Ang axis ay isang tuwid na linya kung saan ipinapahiwatig ang isang direksyon. Kaya, ang projection ng isang vector sa isang axis at ang projection ng isang vector sa isang nakadirekta na linya ay iisa at pareho.

Ang projection ng isang vector sa isang axis ay maaaring isaalang-alang sa dalawang kahulugan: geometric at algebraic. Sa isang geometric na kahulugan, ang projection ng isang vector sa isang axis ay isang vector, at sa isang algebraic na kahulugan ito ay isang numero. Kadalasan ang pagkakaibang ito ay hindi ipinahayag nang tahasan ngunit nauunawaan mula sa konteksto. Hindi namin babalewalain ang pagkakaibang ito: gagamitin namin ang terminong "" kapag pinag-uusapan natin tungkol sa projection ng isang vector sa isang geometric na kahulugan, at ang terminong "" kapag pinag-uusapan ang projection ng isang vector sa isang algebraic na kahulugan (ang susunod na talata ng artikulong ito ay nakatuon sa numerical projection ng isang vector sa isang axis).

Ngayon lumipat kami sa pagtukoy ng projection ng vector papunta sa axis. Upang gawin ito, hindi masakit na ulitin.

Bigyan tayo ng L axis at nonzero vector sa isang eroplano o sa three-dimensional na espasyo. Tukuyin natin ang mga projection ng mga puntos A at B sa linya L, ayon sa pagkakabanggit, bilang A 1 at B 1 at bumuo ng isang vector. Sa hinaharap, sabihin natin na ang isang vector ay isang projection ng isang vector papunta sa L axis.

Kahulugan.

Projection ng isang vector papunta sa isang axis ay isang vector na ang simula at wakas ay, ayon sa pagkakabanggit, ang mga projection ng simula at pagtatapos ng isang naibigay na vector.

Ang projection ng vector papunta sa L axis ay tinutukoy bilang .

Upang makabuo ng projection ng isang vector papunta sa L axis, kailangan mong ibaba ang mga perpendicular mula sa mga punto A at B papunta sa direktang tuwid na linya L - ang mga base ng mga perpendicular na ito ay magbibigay ng simula at dulo ng nais na projection.

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng isang vector projection sa isang axis.

Hayaang ipakilala ang isang parihabang coordinate system na Oxy sa eroplano at tukuyin ang isang tiyak na punto. Ilarawan natin ang radius vector ng point M 1 at buuin ang mga projection nito sa coordinate axes na Ox at Oy. Malinaw, ang mga ito ay mga vector na may mga coordinate at, ayon sa pagkakabanggit.

Madalas mong marinig ang tungkol sa projection ng isang vector papunta sa isa pang non-zero vector, o ang projection ng isang vector sa direksyon ng isang vector. Sa kasong ito, ang ibig sabihin namin ay isang projection ng vector sa isang tiyak na axis, ang direksyon kung saan tumutugma sa direksyon ng vector (sa pangkalahatan, mayroong maraming mga axes na walang hanggan na ang mga direksyon ay nag-tutugma sa direksyon ng vector). Ang projection ng isang vector sa isang tuwid na linya, na ang direksyon ay tinutukoy ng vector, ay tinutukoy bilang .

Tandaan na kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector at ay talamak, kung gayon ang mga vector at ay codirectional. Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vectors at ay mahina, kung gayon ang mga vector at ay magkasalungat na nakadirekta. Kung ang vector ay zero o patayo sa vector, kung gayon ang projection ng vector sa tuwid na linya, na ang direksyon ay tinukoy ng vector, ay ang zero vector.

Numerical projection ng isang vector papunta sa isang axis - kahulugan, pagtatalaga, mga halimbawa ng lokasyon.

Ang numerical na katangian ng projection ng isang vector sa isang axis ay ang numerical na projection ng vector na ito sa isang ibinigay na axis.

Kahulugan.

Numerical projection ng isang vector papunta sa isang axis ay isang numero na katumbas ng produkto ng haba ng isang naibigay na vector at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng vector na ito at ng vector na tumutukoy sa direksyon ng axis.

Ang numerical projection ng vector papunta sa L axis ay tinutukoy bilang (nang walang arrow sa itaas), at ang numerical projection ng vector papunta sa axis na tinukoy ng vector ay tinutukoy bilang .

Sa notasyong ito, ang kahulugan ng numerical projection ng isang vector sa isang linya na nakadirekta bilang isang vector ay kukuha ng form , kung saan ang haba ng vector, ay ang anggulo sa pagitan ng mga vector at .

Kaya tayo ang una formula para sa pagkalkula ng numerical projection ng isang vector: . Ang formula na ito ay inilapat kapag ang haba ng vector at ang anggulo sa pagitan ng mga vector at kilala. Walang alinlangan, ang formula na ito ay maaaring mailapat kapag ang mga coordinate ng mga vector at nauugnay sa isang naibigay na rectangular coordinate system ay kilala, ngunit sa kasong ito ay mas maginhawang gumamit ng isa pang formula, na makukuha natin sa ibaba.

Halimbawa.

Kalkulahin ang numerical projection ng isang vector sa isang linya na nakadirekta bilang isang vector kung ang haba ng vector ay 8 at ang anggulo sa pagitan ng mga vector at ay katumbas ng .

Solusyon.

Mula sa mga kondisyon ng problema na mayroon tayo . Ang natitira na lang ay ilapat ang formula upang matukoy ang kinakailangang numerical projection ng vector:

Sagot:

Alam natin yan , nasaan ang scalar product ng mga vectors at . Tapos yung formula , na nagpapahintulot sa amin na mahanap ang numerical projection ng isang vector sa isang linya na nakadirekta tulad ng isang vector, ay kukuha ng form . Iyon ay, maaari tayong magbalangkas ng isa pang kahulugan ng numerical projection ng isang vector sa isang axis, na katumbas ng kahulugan na ibinigay sa simula ng talatang ito.

Kahulugan.

Numerical projection ng isang vector papunta sa isang axis, ang direksyon kung saan tumutugma sa direksyon ng vector, ay ang ratio ng scalar product ng mga vector at sa haba ng vector.

Maginhawang gamitin ang nagresultang formula ng form upang mahanap ang numerical projection ng isang vector sa isang tuwid na linya, ang direksyon kung saan tumutugma sa direksyon ng vector kapag ang mga coordinate ng mga vector at kilala. Ipapakita namin ito kapag nilulutas ang mga halimbawa.

Halimbawa.

Ito ay kilala na ang vector ay tumutukoy sa direksyon ng L axis. Hanapin ang numerical projection ng vector sa L axis.

Solusyon.

Ang formula sa coordinate form ay , saan at . Ginagamit namin ito upang mahanap ang kinakailangang numerical projection ng vector papunta sa L axis:

Sagot:

Halimbawa.

Kaugnay ng rectangular coordinate system na Oxyz, dalawang vector ang ibinibigay sa three-dimensional na espasyo At . Hanapin ang numerical projection ng vector sa L axis, ang direksyon kung saan tumutugma sa direksyon ng vector.

Solusyon.

Sa pamamagitan ng mga coordinate ng vector At maaari mong kalkulahin ang scalar product ng mga vector na ito: . Ang haba ng isang vector mula sa mga coordinate nito ay kinakalkula gamit ang sumusunod na formula . Pagkatapos ang formula para sa pagtukoy ng numerical projection ng vector sa L axis sa mga coordinate ay may form .

Ilapat natin ito:

Sagot:

Ngayon kunin natin ang koneksyon sa pagitan ng numerical projection ng vector sa L axis, ang direksyon kung saan ay tinutukoy ng vector, at ang haba ng projection ng vector sa L axis. Upang gawin ito, inilalarawan namin ang L axis, i-plot ang mga vectors at mula sa isang punto na nakahiga sa L, ibaba ang isang patayo mula sa dulo ng vector hanggang sa tuwid na linya L at bumuo ng isang projection ng vector papunta sa L axis. Depende sa sukat ng anggulo sa pagitan ng mga vector at ang sumusunod na limang opsyon ay posible:

Sa unang kaso ay malinaw na , samakatuwid, pagkatapos .

Sa pangalawang kaso, sa isang minarkahang tamang tatsulok, mula sa kahulugan ng cosine ng isang anggulo na mayroon tayo , samakatuwid, .

Sa ikatlong kaso, malinaw na, at , samakatuwid, at .

Sa ikaapat na kaso, mula sa kahulugan ng cosine ng isang anggulo ay sinusundan nito iyon , saan .

SA ang huling kaso, samakatuwid, pagkatapos
.

Ang sumusunod na kahulugan ng numerical projection ng isang vector sa isang axis ay pinagsasama ang mga resultang nakuha.

Kahulugan.

Numerical projection ng vector papunta sa L axis, nakadirekta bilang isang vector, ito ay

Halimbawa.

Ang haba ng projection ng vector papunta sa L axis, ang direksyon kung saan ay tinukoy ng vector, ay katumbas ng . Ano ang numerical projection ng vector papunta sa L axis kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector at ay katumbas ng radians.

Sa physics para sa grade 9 (I.K.Kikoin, A.K.Kikoin, 1999),
gawain №5
sa kabanata" KABANATA 1. PANGKALAHATANG IMPORMASYON TUNGKOL SA TRAPIKO».

1. Ano ang tinatawag na projection ng isang vector papunta sa coordinate axis?

1. Ang projection ng vector a papunta sa coordinate axis ay ang haba ng segment sa pagitan ng mga projection ng simula at dulo ng vector a (mga perpendicular na bumaba mula sa mga puntong ito papunta sa axis) papunta sa coordinate axis na ito.

2. Paano nauugnay ang displacement vector ng isang katawan sa mga coordinate nito?

2. Ang mga projection ng displacement vector s sa mga coordinate axes ay katumbas ng pagbabago sa kaukulang mga coordinate ng katawan.

3. Kung ang coordinate ng isang punto ay tumaas sa paglipas ng panahon, kung gayon anong senyales ang mayroon ang projection ng displacement vector papunta sa coordinate axis? Paano kung bumaba?

3. Kung ang coordinate ng isang punto ay tumaas sa paglipas ng panahon, ang projection ng displacement vector papunta sa coordinate axis ay magiging positibo, dahil sa kasong ito, pupunta tayo mula sa projection ng simula hanggang sa projection ng dulo ng vector sa direksyon ng axis mismo.

Kung bumababa ang coordinate ng isang punto sa paglipas ng panahon, magiging negatibo ang projection ng displacement vector papunta sa coordinate axis, dahil sa kasong ito, pupunta tayo mula sa projection ng simula hanggang sa projection ng dulo ng vector laban sa gabay ng axis mismo.

4. Kung ang displacement vector ay parallel sa X axis, ano ang modulus ng projection ng vector sa axis na ito? At ano ang tungkol sa modulus ng projection ng parehong vector papunta sa Y axis?

4. Kung ang displacement vector ay parallel sa X axis, kung gayon ang modulus ng projection ng vector sa axis na ito ay katumbas ng modulus ng vector mismo, at ang projection nito sa Y axis ay zero.

5. Tukuyin ang mga palatandaan ng mga projection sa X axis ng displacement vectors na ipinapakita sa Figure 22. Paano nagbabago ang mga coordinate ng katawan sa panahon ng mga displacement na ito?

5. Sa lahat ng sumusunod na kaso, ang Y coordinate ng katawan ay hindi nagbabago, at ang X coordinate ng katawan ay magbabago tulad ng sumusunod:

a) s 1;

ang projection ng vector s 1 papunta sa X axis ay negatibo at katumbas ng absolute value sa haba ng vector s 1 . Sa ganoong paggalaw, ang X coordinate ng katawan ay bababa sa haba ng vector s 1.

b) s 2 ;

ang projection ng vector s 2 papunta sa X axis ay positibo at katumbas ng magnitude sa haba ng vector s 1 . Sa ganoong paggalaw, ang X coordinate ng katawan ay tataas ng haba ng vector s 2.

c) s 3 ;

ang projection ng vector s 3 papunta sa X axis ay negatibo at katumbas ng magnitude sa haba ng vector s 3 . Sa ganoong paggalaw, ang X coordinate ng katawan ay bababa sa haba ng vector s 3.

d)s 4;

ang projection ng vector s 4 papunta sa X axis ay positibo at katumbas ng magnitude sa haba ng vector s 4 . Sa ganoong paggalaw, ang X coordinate ng katawan ay tataas ng haba ng vector s 4.

e) s 5;

ang projection ng vector s 5 sa X axis ay negatibo at katumbas ng magnitude sa haba ng vector s 5 . Sa ganoong paggalaw, ang X coordinate ng katawan ay bababa sa haba ng vector s 5.

6. Kung ang halaga ng distansyang nilakbay ay malaki, maaari bang maliit ang displacement module?

6. Siguro. Ito ay dahil sa katotohanan na ang displacement (displacement vector) ay isang vector quantity, i.e. ay isang nakadirekta na tuwid na bahagi ng linya na nagkokonekta sa paunang posisyon ng katawan sa mga kasunod na posisyon nito. At ang pangwakas na posisyon ng katawan (anuman ang distansya na nilakbay) ay maaaring maging kasing lapit ng ninanais sa unang posisyon ng katawan. Kung ang pangwakas at paunang mga posisyon ng katawan ay magkakasabay, ang displacement module ay magiging zero.

7. Bakit mas mahalaga ang vector ng paggalaw ng isang katawan sa mekanika kaysa sa dinaanan nito?

7. Ang pangunahing gawain ng mekanika ay upang matukoy ang posisyon ng katawan sa anumang oras. Alam ang vector ng paggalaw ng katawan, matutukoy natin ang mga coordinate ng katawan, i.e. ang posisyon ng katawan sa anumang sandali sa oras, at alam lamang ang distansya na nilakbay, hindi natin matukoy ang mga coordinate ng katawan, dahil wala kaming impormasyon tungkol sa direksyon ng paggalaw, ngunit maaari lamang husgahan ang haba ng distansyang nilakbay sa ngayon oras.

Una, tandaan natin kung ano ito coordinate axis, projection ng isang punto sa isang axis At mga coordinate ng isang punto sa axis.

Coordinate axis- Ito ay isang tuwid na linya na binibigyan ng ilang direksyon. Maaari mong isipin ito bilang isang vector na may walang katapusang malaking modulus.

Coordinate axis ipinapahiwatig ng ilang titik: X, Y, Z, s, t... Karaniwan ang isang punto ay pinipili (arbitraryo) sa axis, na tinatawag na pinanggalingan at, bilang panuntunan, ay tinutukoy ng titik O. Mula sa puntong ito ang sinusukat ang mga distansya sa iba pang mga punto ng interes sa amin.

Projection ng isang punto sa isang axis- ito ang base ng patayo na ibinaba mula sa puntong ito hanggang sa axis na ito (Larawan 8). Iyon ay, ang projection ng isang punto papunta sa axis ay isang punto.

Point coordinate sa axis- ito ay isang numero na ang absolute value ay katumbas ng haba ng axis segment (sa napiling scale) na nasa pagitan ng pinagmulan ng axis at ang projection ng point papunta sa axis na ito. Ang numerong ito ay kinuha na may plus sign kung ang projection ng punto ay matatagpuan sa direksyon ng axis mula sa pinanggalingan nito at may minus sign kung nasa kabaligtaran ng direksyon.

Scalar projection ng isang vector papunta sa isang axis- Ito numero, ang absolute value na katumbas ng haba ng axis segment (sa napiling scale) na nakapaloob sa pagitan ng mga projection ng start point at end point ng vector. Mahalaga! Kadalasan sa halip na expression scalar projection ng isang vector papunta sa isang axis ang sabi lang nila- projection ng vector papunta sa axis, iyon ay, ang salita scalar ibinaba. Vector projection ay tinutukoy ng parehong titik bilang ang inaasahang vector (sa normal, hindi naka-bold na pagsulat), na may mas mababang (bilang panuntunan) na index ng pangalan ng axis kung saan ang vector na ito ay inaasahang. Halimbawa, kung ang isang vector ay naka-project sa X axis A, pagkatapos ang projection nito ay tinutukoy ng isang x. Kapag ipino-project ang parehong vector sa isa pang axis, sabihin nating, ang Y axis, ang projection nito ay ilalarawan ng y (Fig. 9).

Upang makalkula projection ng vector papunta sa axis(halimbawa, ang X axis), kinakailangang ibawas ang coordinate ng panimulang punto mula sa coordinate ng pagtatapos nito, iyon ay

a x = x k − x n.

Dapat nating tandaan: ang scalar projection ng isang vector sa isang axis (o, simple, ang projection ng isang vector sa isang axis) ay isang numero (hindi isang vector)! Bukod dito, ang projection ay maaaring maging positibo kung ang value x k ay mas malaki kaysa sa value x n, negatibo kung ang value x k ay mas mababa sa value x n at katumbas ng zero kung x k ay katumbas ng x n (Fig. 10).

Ang projection ng isang vector sa isang axis ay maaari ding matagpuan sa pamamagitan ng pag-alam sa modulus ng vector at ang anggulo na ginagawa nito sa axis na ito.

Mula sa Figure 11 ay malinaw na ang isang x = isang Cos α

Iyon ay, ang projection ng vector papunta sa axis ay katumbas ng produkto ng modulus ng vector at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng direksyon ng axis at direksyon ng vector. Kung ang anggulo ay talamak, kung gayon ang Cos α > 0 at isang x > 0, at kung ito ay mahina, kung gayon ang cosine ng obtuse na anggulo ay negatibo, at ang projection ng vector sa axis ay magiging negatibo din.

Kapag nilulutas ang mga problema, madalas na gagamitin ang mga sumusunod na katangian ng mga projection: kung

A = b + c +…+ d, pagkatapos ay a x = b x + c x +…+ d x (katulad ng iba pang mga axes),

a= m b, pagkatapos ay isang x = mb x (katulad din para sa iba pang mga axes).

Ang formula a x = a Cos α ay magiging napakadalas mangyari kapag nilulutas ang mga problema, kaya tiyak na kailangan mong malaman ito. Kailangan mong malaman ang panuntunan para sa pagtukoy ng projection sa puso!

Tandaan!

Upang mahanap ang projection ng isang vector sa isang axis, ang modulus ng vector na ito ay dapat na i-multiply sa cosine ng anggulo sa pagitan ng direksyon ng axis at ng direksyon ng vector.

Muli - sa puso!