Hanapin ang batayan ng sistema ng mga vector at mga vector na hindi kasama sa batayan, palawakin ang mga ito ayon sa batayan:

A 1 = {5, 2, -3, 1}, A 2 = {4, 1, -2, 3}, A 3 = {1, 1, -1, -2}, A 4 = {3, 4, -1, 2}, A 5 = {13, 8, -7, 4}.

Solusyon. Isaalang-alang ang isang homogenous na sistema ng mga linear na equation

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 + A 4 X 4 + A 5 X 5 = 0

o sa pinalawak na anyo .

Malulutas namin ang sistemang ito sa pamamagitan ng pamamaraang Gaussian, nang walang pagpapalit ng mga hilera at haligi, at, bilang karagdagan, ang pagpili ng pangunahing elemento hindi sa itaas na kaliwang sulok, ngunit kasama ang buong hilera. Ang hamon ay upang piliin ang dayagonal na bahagi ng binagong sistema ng mga vector.

~ ~

~ ~ ~ .

Ang pinapayagang sistema ng mga vector, katumbas ng orihinal, ay may anyo

A 1 1 X 1 + A 2 1 X 2 + A 3 1 X 3 + A 4 1 X 4 + A 5 1 X 5 = 0 ,

saan A 1 1 = , A 2 1 = , A 3 1 = , A 4 1 = , A 5 1 = . (1)

Mga vector A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 bumuo ng isang dayagonal na sistema. Samakatuwid, ang mga vectors A 1 , A 3 , A 4 ay bumubuo ng batayan ng sistema ng vector A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 .

Palawakin natin ngayon ang mga vector A 2 At A 5 sa batayan A 1 , A 3 , A 4. Upang gawin ito, palawakin muna namin ang kaukulang mga vector A 2 1 At A 5 1 dayagonal na sistema A 1 1 , A 3 1 , A 4 1, na isinasaisip na ang mga coefficient ng pagpapalawak ng isang vector sa kahabaan ng diagonal system ay ang mga coordinate nito x i.

Mula sa (1) mayroon kaming:

A 2 1 = A 3 1 · (-1) + A 4 1 0 + A 1 1 ·1 => A 2 1 = A 1 1 – A 3 1 .

A 5 1 = A 3 1 0 + A 4 1 1 + A 1 1 ·2 => A 5 1 = 2A 1 1 + A 4 1 .

Mga vector A 2 At A 5 ay pinalawak sa batayan A 1 , A 3 , A 4 na may parehong mga coefficient bilang mga vector A 2 1 At A 5 1 dayagonal na sistema A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 (ang mga coefficient x i). Kaya naman,

A 2 = A 1 – A 3 , A 5 = 2A 1 + A 4 .

Mga takdang-aralin. 1.Hanapin ang batayan ng sistema ng mga vector at mga vector na hindi kasama sa batayan, palawakin ang mga ito ayon sa batayan:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Hanapin ang lahat ng mga base ng vector system:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.

Sa artikulo sa n-dimensional vectors, dumating kami sa konsepto ng isang linear space na nabuo ng isang set ng n-dimensional vectors. Ngayon kailangan nating isaalang-alang ang pantay na mahahalagang konsepto, tulad ng dimensyon at batayan ng isang vector space. Direktang nauugnay ang mga ito sa konsepto ng isang linearly independiyenteng sistema ng mga vectors, kaya inirerekomenda din na paalalahanan ang iyong sarili ng mga pangunahing kaalaman sa paksang ito.

Ipakilala natin ang ilang mga kahulugan.

Kahulugan 1

Dimensyon ng vector space– isang numero na tumutugma sa maximum na bilang ng mga linearly independent vector sa espasyong ito.

Kahulugan 2

Batayan sa espasyo ng vector– isang set ng mga linearly independent vectors, inayos at katumbas ng bilang sa dimensyon ng espasyo.

Isaalang-alang natin ang isang tiyak na espasyo ng n -vectors. Ang sukat nito ay katumbas ng n. Kunin natin ang isang sistema ng n-unit vectors:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Ginagamit namin ang mga vector na ito bilang mga bahagi ng matrix A: ito ay magiging unit na may dimensyon n sa pamamagitan ng n. Ang ranggo ng matrix na ito ay n. Samakatuwid, ang sistema ng vector e (1) , e (2) , . . . , ang e(n) ay linearly independent. Sa kasong ito, imposibleng magdagdag ng isang vector sa system nang hindi nilalabag ang linear na kalayaan nito.

Dahil ang bilang ng mga vector sa system ay n, kung gayon ang dimensyon ng espasyo ng mga n-dimensional na vector ay n, at ang mga unit vector ay e (1), e (2), . . . , e (n) ang batayan ng tinukoy na espasyo.

Mula sa nagresultang kahulugan maaari nating tapusin: anumang sistema ng mga n-dimensional na vector kung saan ang bilang ng mga vector ay mas mababa sa n ay hindi isang batayan ng espasyo.

Kung palitan natin ang una at pangalawang vector, makakakuha tayo ng sistema ng mga vector e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Ito rin ang magiging batayan ng isang n-dimensional na vector space. Gumawa tayo ng isang matrix sa pamamagitan ng pagkuha ng mga vectors ng resultang sistema bilang mga hilera nito. Ang matrix ay maaaring makuha mula sa identity matrix sa pamamagitan ng pagpapalit ng unang dalawang hanay, ang ranggo nito ay n. System e (2) , e (1) , . . . , ang e(n) ay linearly independent at ang batayan ng isang n-dimensional na vector space.

Sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng iba pang mga vector sa orihinal na sistema, nakakakuha kami ng isa pang batayan.

Maaari tayong kumuha ng linearly independent system ng mga non-unit vectors, at ito rin ay kumakatawan sa batayan ng isang n-dimensional na vector space.

Kahulugan 3

Ang isang vector space na may dimensyon n ay may kasing daming base gaya ng may mga linearly independent system ng n-dimensional vectors ng number n.

Ang eroplano ay isang dalawang-dimensional na espasyo - ang magiging batayan nito ay anumang dalawang di-collinear na vector. Ang batayan ng three-dimensional na espasyo ay anumang tatlong non-coplanar vectors.

Isaalang-alang natin ang aplikasyon ng teoryang ito gamit ang mga tiyak na halimbawa.

Halimbawa 1

Paunang data: mga vector

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Ito ay kinakailangan upang matukoy kung ang tinukoy na mga vector ay ang batayan ng isang three-dimensional na espasyo ng vector.

Solusyon

Upang malutas ang problema, pinag-aaralan namin ang ibinigay na sistema ng mga vectors para sa linear dependence. Gumawa tayo ng isang matrix, kung saan ang mga hilera ay ang mga coordinate ng mga vector. Tukuyin natin ang ranggo ng matrix.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Dahil dito, ang mga vectors na tinukoy ng kondisyon ng problema ay linearly independent, at ang kanilang numero ay katumbas ng sukat ng vector space - sila ang batayan ng vector space.

Sagot: ang mga ipinahiwatig na mga vector ay ang batayan ng espasyo ng vector.

Halimbawa 2

Paunang data: mga vector

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Ito ay kinakailangan upang matukoy kung ang tinukoy na sistema ng mga vector ay maaaring maging batayan ng tatlong-dimensional na espasyo.

Solusyon

Ang sistema ng mga vector na tinukoy sa pahayag ng problema ay linearly dependent, dahil ang maximum na bilang ng mga linearly independent vectors ay 3. Kaya, ang ipinahiwatig na sistema ng mga vector ay hindi maaaring magsilbing batayan para sa isang three-dimensional na vector space. Ngunit ito ay nagkakahalaga ng noting na ang subsystem ng orihinal na sistema a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) ay isang batayan.

Sagot: ang ipinahiwatig na sistema ng mga vector ay hindi batayan.

Halimbawa 3

Paunang data: mga vector

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Maaari ba silang maging batayan ng four-dimensional na espasyo?

Solusyon

Gumawa tayo ng isang matrix gamit ang mga coordinate ng ibinigay na mga vector bilang mga hilera

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Gamit ang pamamaraang Gaussian, tinutukoy namin ang ranggo ng matrix:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Dahil dito, ang sistema ng mga ibinigay na vectors ay linearly independent at ang kanilang numero ay katumbas ng sukat ng vector space - sila ang batayan ng isang four-dimensional na vector space.

Sagot: ibinigay na mga vector ay ang batayan ng apat na dimensyon na espasyo.

Halimbawa 4

Paunang data: mga vector

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Binubuo ba nila ang batayan ng isang espasyo ng dimensyon 4?

Solusyon

Ang orihinal na sistema ng mga vector ay linearly independent, ngunit ang bilang ng mga vectors sa loob nito ay hindi sapat upang maging batayan ng isang four-dimensional na espasyo.

Sagot: hindi, hindi nila ginagawa.

Decomposition ng isang vector sa isang batayan

Ipagpalagay natin na arbitrary vectors e (1) , e (2) , . . . , e (n) ang batayan ng isang n-dimensional na vector space. Idagdag natin sa kanila ang isang tiyak na n-dimensional na vector x →: ang resultang sistema ng mga vector ay magiging linearly dependent. Ang mga katangian ng linear dependence ay nagsasaad na kahit isa sa mga vector ng naturang sistema ay maaaring linearly na ipahayag sa pamamagitan ng iba. Reformulating ang pahayag na ito, maaari naming sabihin na hindi bababa sa isa sa mga vectors ng isang linearly umaasa sistema ay maaaring mapalawak sa natitirang mga vectors.

Kaya, dumating kami sa pagbabalangkas ng pinakamahalagang teorama:

Kahulugan 4

Anumang vector ng isang n-dimensional na vector space ay maaaring natatanging decomposed sa isang batayan.

Katibayan 1

Patunayan natin ang theorem na ito:

tukuyin natin ang batayan ng n-dimensional vector space - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Gawin nating linearly dependent ang system sa pamamagitan ng pagdaragdag ng n-dimensional vector x → dito. Ang vector na ito ay maaaring linearly na ipahayag sa mga tuntunin ng orihinal na mga vectors e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , kung saan x 1 , x 2 , . . . , x n - ilang numero.

Ngayon ay pinatutunayan namin na ang naturang agnas ay natatangi. Ipagpalagay natin na hindi ito ang kaso at mayroong isa pang katulad na agnas:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , kung saan x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - ilang numero.

Ibawas natin sa kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito, ayon sa pagkakabanggit, ang kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Nakukuha namin:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Sistema ng mga batayang vector e (1) , e (2) , . . . , e(n) ay linearly independent; sa pamamagitan ng kahulugan ng linear na kalayaan ng isang sistema ng mga vector, ang pagkakapantay-pantay sa itaas ay posible lamang kapag ang lahat ng mga coefficient ay (x ~ 1 - x 1), (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) ay magiging katumbas ng zero. Mula sa kung saan ito ay magiging patas: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . At ito ay nagpapatunay na ang tanging pagpipilian para sa decomposing isang vector sa isang batayan.

Sa kasong ito, ang mga coefficients x 1, x 2, . . . , x n ay tinatawag na mga coordinate ng vector x → sa batayan e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Nilinaw ng napatunayang teorya ang ekspresyong "ibinigay ang n-dimensional na vector x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)": ang isang vector x → n-dimensional na vector space ay isinasaalang-alang, at ang mga coordinate nito ay tinukoy sa isang tiyak na batayan. Malinaw din na ang parehong vector sa isa pang batayan ng n-dimensional na espasyo ay magkakaroon ng magkakaibang mga coordinate.

Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa: ipagpalagay na sa ilang batayan ng n-dimensional vector space isang sistema ng n linearly independent vectors ay ibinigay

at din ang vector x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) ay ibinigay.

Vectors e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) sa kasong ito ay ang batayan din ng puwang ng vector na ito.

Ipagpalagay na ito ay kinakailangan upang matukoy ang mga coordinate ng vector x → sa batayan e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , denoted bilang x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Ang Vector x → ay kakatawanin bilang mga sumusunod:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Isulat natin ang expression na ito sa coordinate form:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . + x ~ n 2 (n), .

Ang resultang pagkakapantay-pantay ay katumbas ng isang sistema ng n linear algebraic expression na may n hindi kilalang linear variables x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Ang matrix ng sistemang ito ay magkakaroon ng sumusunod na anyo:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Hayaan itong maging isang matrix A, at ang mga column nito ay mga vector ng isang linearly independent system ng mga vectors e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Ang ranggo ng matrix ay n, at ang determinant nito ay nonzero. Ipinapahiwatig nito na ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon, na tinutukoy ng anumang maginhawang pamamaraan: halimbawa, ang paraan ng Cramer o ang pamamaraan ng matrix. Sa ganitong paraan matutukoy natin ang mga coordinate x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vector x → sa batayan e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Ilapat natin ang tinalakay na teorya sa isang tiyak na halimbawa.

Halimbawa 6

Paunang data: ang mga vector ay tinukoy sa batayan ng tatlong-dimensional na espasyo

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Kinakailangang kumpirmahin ang katotohanan na ang sistema ng mga vectors e (1), e (2), e (3) ay nagsisilbi rin bilang batayan ng isang naibigay na espasyo, at upang matukoy din ang mga coordinate ng vector x sa isang naibigay na batayan.

Solusyon

Ang sistema ng mga vector e (1), e (2), e (3) ang magiging batayan ng three-dimensional na espasyo kung ito ay linearly independent. Alamin natin ang posibilidad na ito sa pamamagitan ng pagtukoy sa ranggo ng matrix A, ang mga hilera kung saan ay ang mga ibinigay na vectors e (1), e (2), e (3).

Ginagamit namin ang pamamaraang Gaussian:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Kaya, ang sistema ng mga vectors e (1), e (2), e (3) ay linearly independent at isang batayan.

Hayaang ang vector x → ay may mga coordinate x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 sa batayan. Ang relasyon sa pagitan ng mga coordinate na ito ay tinutukoy ng equation:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Ilapat natin ang mga halaga ayon sa mga kondisyon ng problema:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Lutasin natin ang sistema ng mga equation gamit ang paraan ng Cramer:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Kaya, ang vector x → sa batayan e (1), e (2), e (3) ay may mga coordinate x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Sagot: x = (1 , 1 , 1)

Relasyon sa pagitan ng mga base

Ipagpalagay natin na sa ilang batayan ng n-dimensional na vector space ay binibigyan ng dalawang linearly independent system ng mga vectors:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Ang mga sistemang ito ay mga base din ng isang ibinigay na espasyo.

Hayaan c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - mga coordinate ng vector c (1) sa batayan e (1) , e (2) , . . . , e (3) , pagkatapos ay ibibigay ang coordinate na relasyon ng isang sistema ng mga linear na equation:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Ang sistema ay maaaring katawanin bilang isang matrix tulad ng sumusunod:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Gawin natin ang parehong entry para sa vector c (2) sa pamamagitan ng pagkakatulad:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n), c 2 (n), . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Pagsamahin natin ang matrix equalities sa isang expression:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Matutukoy nito ang koneksyon sa pagitan ng mga vector ng dalawang magkaibang base.

Gamit ang parehong prinsipyo, posibleng ipahayag ang lahat ng batayang vectors e(1), e(2), . . . , e (3) sa pamamagitan ng batayan c (1), c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Ibigay natin ang mga sumusunod na kahulugan:

Kahulugan 5

Matrix c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) ay ang transition matrix mula sa batayan e (1) , e (2) , . . . , e (3)

sa batayan c (1), c (2), . . . , c (n) .

Kahulugan 6

Matrix e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) ay ang transition matrix mula sa batayan c (1) , c (2) , . . . , c(n)

sa batayan e (1), e (2), . . . , e (3) .

Mula sa mga pagkakapantay-pantay na ito ay malinaw na

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

mga. ang mga transition matrice ay reciprocal.

Tingnan natin ang teorya gamit ang isang tiyak na halimbawa.

Halimbawa 7

Paunang data: ito ay kinakailangan upang mahanap ang transition matrix mula sa batayan

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​​​c (3) = (3 , 7, 1)

e (1) = (3 , 1, 4) e (2) = (5 , 2, 1) e (3) = (1, 1, - 6)

Kailangan mo ring ipahiwatig ang kaugnayan sa pagitan ng mga coordinate ng isang di-makatwirang vector x → sa mga ibinigay na base.

Solusyon

1. Hayaan ang T ang transition matrix, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

I-multiply ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

at makuha namin:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Tukuyin ang transition matrix:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Tukuyin natin ang kaugnayan sa pagitan ng mga coordinate ng vector x →:

Ipagpalagay natin na sa batayan c (1) , c (2) , . . . , c (n) vector x → ay may mga coordinate x 1 , x 2 , x 3 , pagkatapos ay:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

at sa batayan e (1), e (2), . . . , ang e (3) ay may mga coordinate x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, pagkatapos ay:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

kasi Kung ang kaliwang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay na ito ay pantay-pantay, maaari din nating itumbas ang kanang bahagi:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

I-multiply ang magkabilang panig sa kanan ng

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

at makuha namin:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Sa kabilang side

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Ang huling pagkakapantay-pantay ay nagpapakita ng kaugnayan sa pagitan ng mga coordinate ng vector x → sa parehong mga base.

Sagot: transition matrix

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Ang mga coordinate ng vector x → sa mga ibinigay na base ay nauugnay sa kaugnayan:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Pagpapahayag ng anyo tinawag linear na kumbinasyon ng mga vector A 1 , A 2 ,...,A n may posibilidad λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Pagpapasiya ng linear dependence ng isang sistema ng mga vectors

Sistema ng vector A 1 , A 2 ,...,A n tinawag nakadepende sa linear, kung mayroong isang non-zero set ng mga numero λ 1, λ 2 ,...,λ n, kung saan ang linear na kumbinasyon ng mga vectors λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n katumbas ng zero vector, iyon ay, ang sistema ng mga equation: ay may di-zero na solusyon.
Set ng mga numero λ 1, λ 2 ,...,λ n ay nonzero kung hindi bababa sa isa sa mga numero λ 1, λ 2 ,...,λ n iba sa zero.

Pagpapasiya ng linear na kalayaan ng isang sistema ng mga vectors

Sistema ng vector A 1 , A 2 ,...,A n tinawag linearly independent, kung ang linear na kumbinasyon ng mga vector na ito λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n katumbas ng zero vector para lamang sa isang zero set ng mga numero λ 1, λ 2 ,...,λ n , iyon ay, ang sistema ng mga equation: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ ay may natatanging zero na solusyon.

Halimbawa 29.1

Suriin kung ang isang sistema ng mga vector ay linearly na umaasa

Solusyon:

1. Bumubuo kami ng isang sistema ng mga equation:

2. Nire-solve namin ito gamit ang Gauss method. Ang mga pagbabagong Jordanano ng sistema ay ibinibigay sa Talahanayan 29.1. Kapag nagkalkula, ang mga kanang bahagi ng system ay hindi isinulat dahil ang mga ito ay katumbas ng zero at hindi nagbabago sa panahon ng pagbabago ng Jordan.

3. Mula sa huling tatlong hanay ng talahanayan isulat ang isang nalutas na sistema na katumbas ng orihinal sistema:

4. Nakukuha namin ang pangkalahatang solusyon ng system:

5. Ang pagkakaroon ng itakda ang halaga ng libreng variable x 3 =1 sa iyong paghuhusga, nakakakuha kami ng isang partikular na non-zero na solusyon X=(-3,2,1).

Sagot: Kaya, para sa isang di-zero na hanay ng mga numero (-3,2,1), ang linear na kumbinasyon ng mga vector ay katumbas ng zero vector -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Kaya naman, vector system na nakadepende sa linear.

Mga katangian ng mga sistema ng vector

Ari-arian (1)
Kung ang isang sistema ng mga vector ay linearly na umaasa, kung gayon ang hindi bababa sa isa sa mga vector ay pinalawak sa mga tuntunin ng iba at, sa kabaligtaran, kung hindi bababa sa isa sa mga vector ng system ay pinalawak sa mga tuntunin ng iba, kung gayon ang sistema ng mga vector ay linearly dependent.

Ari-arian (2)
Kung ang anumang subsystem ng mga vector ay linearly dependent, ang buong system ay linearly dependent.

Ari-arian (3)
Kung ang isang sistema ng mga vector ay linearly independent, ang alinman sa mga subsystem nito ay linearly independent.

Ari-arian (4)
Anumang sistema ng mga vector na naglalaman ng zero vector ay linearly na umaasa.

Ari-arian (5)
Ang isang sistema ng mga m-dimensional na vector ay palaging linearly dependent kung ang bilang ng mga vectors n ay mas malaki kaysa sa kanilang dimensyon (n>m)

Batayan ng sistema ng vector

Ang batayan ng sistema ng vector A 1 , A 2 ,..., A n tulad ng subsystem B 1 , B 2 ,...,B r ay tinatawag(bawat isa sa mga vectors B 1,B 2,...,B r ay isa sa mga vectors A 1, A 2,..., A n), na nakakatugon sa mga sumusunod na kondisyon:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r linearly independent system ng mga vectors;
2. anumang vector A j sistema A 1 , A 2 ,..., A n ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng mga vectors B 1 , B 2 ,..., B r

r— ang bilang ng mga vector na kasama sa batayan.

Theorem 29.1 Sa batayan ng yunit ng isang sistema ng mga vectors.

Kung ang isang sistema ng m-dimensional vectors ay naglalaman ng m iba't ibang unit vectors E 1 E 2 ,..., E m , kung gayon sila ang bumubuo sa batayan ng system.

Algorithm para sa paghahanap ng batayan ng isang sistema ng mga vectors

Upang mahanap ang batayan ng sistema ng mga vectors A 1 ,A 2 ,...,A n ito ay kinakailangan:

• Lumikha ng isang homogenous na sistema ng mga equation na naaayon sa sistema ng mga vectors A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Dalhin ang sistemang ito

Nang suriin namin ang mga konsepto ng isang n-dimensional na vector at ipinakilala ang mga operasyon sa mga vector, nalaman namin na ang hanay ng lahat ng mga n-dimensional na vector ay bumubuo ng isang linear na espasyo. Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin ang pinakamahalagang nauugnay na konsepto - ang sukat at batayan ng isang vector space. Isasaalang-alang din natin ang theorem sa pagpapalawak ng isang di-makatwirang vector sa isang batayan at ang koneksyon sa pagitan ng iba't ibang mga base ng n-dimensional na espasyo. Suriin natin nang detalyado ang mga solusyon sa karaniwang mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Ang konsepto ng dimensyon ng vector space at batayan.

Ang mga konsepto ng dimensyon at batayan ng isang vector space ay direktang nauugnay sa konsepto ng isang linearly independent system ng mga vectors, kaya kung kinakailangan, inirerekumenda namin na sumangguni ka sa artikulong linear dependence ng isang sistema ng mga vectors, mga katangian ng linear dependence at independence. .

Kahulugan.

Dimensyon ng espasyo ng vector ay isang numerong katumbas ng maximum na bilang ng mga linearly independent vector sa espasyong ito.

Kahulugan.

Batayan sa espasyo ng vector ay isang ordered set ng linearly independent vectors ng space na ito, ang bilang nito ay katumbas ng dimensyon ng space.

Magbigay tayo ng ilang pangangatwiran batay sa mga kahulugang ito.

Isaalang-alang ang espasyo ng mga n-dimensional na vector.

Ipakita natin na ang dimensyon ng espasyong ito ay n.

Kumuha tayo ng isang sistema ng n unit vectors ng form

Kunin natin ang mga vector na ito bilang mga hilera ng matrix A. Sa kasong ito, ang matrix A ay magiging isang identity matrix ng dimensyon n sa pamamagitan ng n. Ang ranggo ng matrix na ito ay n (tingnan ang artikulo kung kinakailangan). Samakatuwid, ang sistema ng mga vectors ay linearly independent, at walang isang vector ang maaaring idagdag sa system na ito nang hindi nilalabag ang linear independence nito. Dahil ang bilang ng mga vectors sa system katumbas n, kung gayon ang dimensyon ng espasyo ng n-dimensional vectors ay n, at ang unit vectors ang batayan ng espasyong ito.

Mula sa huling pahayag at kahulugan ng batayan ay mahihinuha natin iyon anumang sistema ng n-dimensional vectors, ang bilang ng mga vectors kung saan mas mababa sa n, ay hindi batayan.

Ngayon, palitan natin ang una at pangalawang vector ng system . Madaling ipakita na ang resultang sistema ng mga vectors ay isa ring batayan ng isang n-dimensional na vector space. Gumawa tayo ng isang matrix sa pamamagitan ng pagkuha ng mga vector ng system na ito bilang mga hilera nito. Ang matrix na ito ay maaaring makuha mula sa identity matrix sa pamamagitan ng pagpapalit ng una at ikalawang hanay, kaya ang ranggo nito ay magiging n. Kaya, isang sistema ng n vectors ay linearly independent at ang batayan ng isang n-dimensional na vector space.

Kung muling ayusin natin ang iba pang mga vector ng system , pagkatapos ay makakakuha tayo ng isa pang batayan.

Kung kukuha tayo ng linearly independent system ng mga non-unit vectors, ito rin ang batayan ng n-dimensional vector space.

kaya, ang isang vector space ng dimensyon n ay may kasing daming base gaya ng may mga linearly independent system ng n n -dimensional vectors.

Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang dalawang-dimensional na espasyo ng vector (iyon ay, tungkol sa isang eroplano), kung gayon ang batayan nito ay anumang dalawang di-collinear na vector. Ang batayan ng three-dimensional na espasyo ay anumang tatlong non-coplanar vectors.

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa.

Ang mga vector ba ang batayan ng three-dimensional na vector space?

Solusyon.

Suriin natin ang sistemang ito ng mga vectors para sa linear dependence. Upang gawin ito, gumawa tayo ng isang matrix na ang mga hilera ay magiging mga coordinate ng mga vector, at hanapin ang ranggo nito:


Kaya, ang mga vectors a, b at c ay linearly independent at ang kanilang numero ay katumbas ng sukat ng vector space, samakatuwid, sila ang batayan ng space na ito.

Sagot:

Oo, sila nga.

Halimbawa.

Maaari bang maging batayan ng isang vector space ang isang sistema ng mga vector?

Solusyon.

Ang sistemang ito ng mga vector ay linearly dependent, dahil ang maximum na bilang ng mga linearly independent na three-dimensional na vector ay tatlo. Dahil dito, ang sistemang ito ng mga vector ay hindi maaaring maging batayan ng isang three-dimensional na vector space (bagaman ang isang subsystem ng orihinal na sistema ng mga vector ay isang batayan).

Sagot:

Hindi, hindi pwede.

Halimbawa.

Siguraduhin ang mga vectors

maaaring maging batayan ng isang four-dimensional na vector space.

Solusyon.

Gumawa tayo ng isang matrix sa pamamagitan ng pagkuha ng mga orihinal na vector bilang mga hilera nito:

Hanapin natin:

Kaya, ang sistema ng mga vectors a, b, c, d ay linearly independent at ang kanilang numero ay katumbas ng sukat ng vector space, samakatuwid, a, b, c, d ang batayan nito.

Sagot:

Ang orihinal na mga vector ay talagang batayan ng apat na dimensyon na espasyo.

Halimbawa.

Ang mga vector ba ay bumubuo ng batayan ng isang vector space ng dimensyon 4?

Solusyon.

Kahit na ang orihinal na sistema ng mga vector ay linearly independent, ang bilang ng mga vectors sa loob nito ay hindi sapat upang maging batayan ng isang four-dimensional na espasyo (ang batayan ng naturang espasyo ay binubuo ng 4 na vectors).

Sagot:

Hindi, hindi.

Decomposition ng isang vector ayon sa batayan ng vector space.

Hayaan ang mga arbitrary na vector ay ang batayan ng isang n-dimensional na vector space. Kung magdagdag tayo ng ilang n-dimensional na vector x sa kanila, ang resultang sistema ng mga vector ay magiging linearly dependent. Mula sa mga katangian ng linear dependence alam natin na hindi bababa sa isang vector ng isang linearly dependent system ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng iba. Sa madaling salita, kahit isa sa mga vector ng isang linearly dependent system ay pinalawak sa natitirang mga vector.

Dinadala tayo nito sa isang napakahalagang teorama.

Teorama.

Anumang vector ng isang n-dimensional na vector space ay maaaring natatanging decomposed sa isang batayan.

Patunay.

Hayaan - batayan ng n-dimensional na vector space. Magdagdag tayo ng n-dimensional na vector x sa mga vector na ito. Pagkatapos ang resultang sistema ng mga vector ay magiging linearly dependent at ang vector x ay maaaring linearly na ipahayag sa mga tuntunin ng mga vectors : , nasaan ang ilang mga numero. Ito ay kung paano namin nakuha ang pagpapalawak ng vector x na may paggalang sa batayan. Ito ay nananatiling upang patunayan na ang agnas na ito ay natatangi.

Ipagpalagay natin na may isa pang agnas, kung saan - ilang mga numero. Ibawas natin mula sa kaliwa at kanang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay ang kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, ayon sa pagkakabanggit:

Dahil ang sistema ng mga batayang vectors ay linearly independent, pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng linear independence ng isang sistema ng mga vectors, ang resultang pagkakapantay-pantay ay posible lamang kapag ang lahat ng coefficient ay katumbas ng zero. Samakatuwid, , na nagpapatunay sa pagiging natatangi ng pagpapalawak ng vector sa mga tuntunin ng batayan.

Kahulugan.

Ang mga coefficient ay tinatawag mga coordinate ng vector x sa batayan .

Matapos maging pamilyar sa teorama tungkol sa pagkabulok ng isang vector sa isang batayan, sinimulan nating maunawaan ang kakanyahan ng expression na "binigyan tayo ng isang n-dimensional na vector " Ang expression na ito ay nangangahulugan na isinasaalang-alang namin ang isang vector ng x n -dimensional vector space, ang mga coordinate na kung saan ay tinukoy sa ilang batayan. Kasabay nito, naiintindihan namin na ang parehong vector x sa isa pang batayan ng n-dimensional na vector space ay magkakaroon ng mga coordinate na naiiba sa .

Isaalang-alang natin ang sumusunod na problema.

Bigyan tayo ng isang sistema ng n linearly independent vectors sa ilang batayan ng n-dimensional vector space

at vector . Tapos yung mga vectors ay din ang batayan ng vector space na ito.

Kailangan nating hanapin ang mga coordinate ng vector x sa batayan . Tukuyin natin ang mga coordinate na ito bilang .

Vector x sa batayan may ideya. Isulat natin ang pagkakapantay-pantay na ito sa anyo ng coordinate:

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng isang sistema ng n linear algebraic equation na may n hindi kilalang mga variable :

Ang pangunahing matrix ng sistemang ito ay may anyo

Tukuyin natin ito sa pamamagitan ng letrang A. Ang mga column ng matrix A ay kumakatawan sa mga vectors ng isang linearly independent system ng mga vectors , kaya ang ranggo ng matrix na ito ay n, kaya ang determinant nito ay hindi zero. Ang katotohanang ito ay nagpapahiwatig na ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon na maaaring matagpuan sa anumang paraan, halimbawa, o.

Sa ganitong paraan makikita ang mga kinakailangang coordinate vector x sa batayan .

Tingnan natin ang teorya gamit ang mga halimbawa.

Halimbawa.

Sa ilang batayan ng three-dimensional na vector space, ang mga vectors

Siguraduhin na ang sistema ng mga vector ay batayan din ng puwang na ito at hanapin ang mga coordinate ng vector x sa batayan na ito.

Solusyon.

Para ang isang sistema ng mga vector ay maging batayan ng isang three-dimensional na vector space, dapat itong linearly independent. Alamin natin ito sa pamamagitan ng pagtukoy sa ranggo ng matrix A, ang mga hilera nito ay mga vector. Hanapin natin ang ranggo gamit ang Gaussian method


samakatuwid, Ranggo(A) = 3, na nagpapakita ng linear na kalayaan ng sistema ng mga vectors.

Kaya, ang mga vector ang batayan. Hayaang may mga coordinate ang vector x sa batayan na ito. Pagkatapos, tulad ng ipinakita namin sa itaas, ang relasyon sa pagitan ng mga coordinate ng vector na ito ay ibinibigay ng sistema ng mga equation

Ang pagpapalit ng mga halaga na kilala mula sa kundisyon patungo dito, nakuha namin

Lutasin natin ito gamit ang paraan ng Cramer:

Kaya, ang vector x sa batayan ay may mga coordinate .

Sagot:

Halimbawa.

Sa ilang batayan ng isang four-dimensional na vector space, isang linearly independent system ng mga vectors ang ibinibigay

Ito ay kilala na . Hanapin ang mga coordinate ng vector x sa batayan .

Solusyon.

Dahil ang sistema ng mga vectors linearly independiyente sa pamamagitan ng kondisyon, pagkatapos ito ay isang batayan ng apat na dimensyon na espasyo. Tapos equality nangangahulugan na ang vector x sa batayan may mga coordinate. Tukuyin natin ang mga coordinate ng vector x sa batayan Paano .

Sistema ng mga equation na tumutukoy sa relasyon sa pagitan ng mga coordinate ng vector x sa mga base At parang

Pinapalitan namin ang mga kilalang halaga dito at hanapin ang kinakailangang mga coordinate:

Sagot:

.

Relasyon sa pagitan ng mga base.

Hayaang magbigay ng dalawang linearly independent system ng mga vector sa ilang batayan ng isang n-dimensional na vector space

At

ibig sabihin, sila rin ang mga base ng espasyong ito.

Kung - mga coordinate ng vector sa batayan , pagkatapos ay ang coordinate na koneksyon At ay ibinigay ng isang sistema ng mga linear na equation (napag-usapan namin ito sa nakaraang talata):

, na sa anyo ng matrix ay maaaring isulat bilang

Katulad din para sa isang vector na maaari nating isulat

Ang mga nakaraang matrix equalities ay maaaring pagsamahin sa isa, na mahalagang tumutukoy sa ugnayan sa pagitan ng mga vector ng dalawang magkaibang base.

Katulad nito, maaari nating ipahayag ang lahat ng mga batayan ng vector sa pamamagitan ng batayan :

Kahulugan.

Matrix tinawag transition matrix mula sa batayan sa base , kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay totoo

Pagpaparami ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito mula sa kanan sa

nakukuha namin

Hanapin natin ang transition matrix, ngunit hindi tayo magtatagal nang detalyado sa paghahanap ng inverse matrix at multiplying matrices (tingnan ang mga artikulo at kung kinakailangan):

Ito ay nananatiling alamin ang kaugnayan sa pagitan ng mga coordinate ng vector x sa mga ibinigay na base.

Hayaan ang vector x na magkaroon ng mga coordinate sa batayan, kung gayon

at sa batayan ang vector x ay may mga coordinate , pagkatapos

Dahil ang mga kaliwang bahagi ng huling dalawang pagkakapantay-pantay ay pareho, maaari nating itumbas ang mga kanang panig:

Kung i-multiply natin ang magkabilang panig sa kanan ng

pagkatapos makuha namin


Sa kabilang side

(hanapin ang inverse matrix sa iyong sarili).
Ang huling dalawang equalities ay nagbibigay sa amin ng kinakailangang relasyon sa pagitan ng mga coordinate ng vector x sa mga base at .

Sagot:

Ang transition matrix mula sa batayan hanggang sa batayan ay may anyo
;
mga coordinate ng vector x sa mga base at nauugnay sa mga relasyon

o
.

Sinuri namin ang mga konsepto ng dimensyon at batayan ng isang vector space, natutunan upang mabulok ang isang vector sa isang batayan, at natuklasan ang koneksyon sa pagitan ng iba't ibang mga base ng n-dimensional na vector space sa pamamagitan ng transition matrix.

Linear dependence at linear independence ng mga vectors.
Batayan ng mga vector. Affine coordinate system

Mayroong isang cart na may mga tsokolate sa auditorium, at bawat bisita ngayon ay makakakuha ng isang matamis na mag-asawa - analytical geometry na may linear algebra. Tatalakayin ng artikulong ito ang dalawang seksyon ng mas mataas na matematika nang sabay-sabay, at makikita natin kung paano sila magkakasamang nabubuhay sa isang wrapper. Magpahinga, kumain ng Twix! ...damn, ang daming kalokohan. Although, okay, I won’t score, in the end, you should have a positive attitude towards studying.

Linear dependence ng mga vectors, linear vector pagsasarili, batayan ng mga vector at iba pang mga termino ay hindi lamang isang geometriko na interpretasyon, ngunit, higit sa lahat, isang algebraic na kahulugan. Ang mismong konsepto ng "vector" mula sa punto ng view ng linear algebra ay hindi palaging ang "ordinaryong" vector na maaari nating ilarawan sa isang eroplano o sa kalawakan. Hindi mo kailangang maghanap ng malayo para sa patunay, subukang gumuhit ng vector ng limang-dimensional na espasyo . O ang weather vector, na pinuntahan ko lang sa Gismeteo para sa: – temperatura at presyon ng atmospera ayon sa pagkakabanggit. Ang halimbawa, siyempre, ay hindi tama mula sa punto ng view ng mga katangian ng vector space, ngunit, gayunpaman, walang sinuman ang nagbabawal na gawing pormal ang mga parameter na ito bilang isang vector. Hininga ng taglagas...

Hindi, hindi ako magsasawa sa iyo ng teorya, mga linear vector space, ang gawain ay maintindihan mga kahulugan at teorema. Ang mga bagong termino (linear dependence, independence, linear combination, basis, atbp.) ay nalalapat sa lahat ng vectors mula sa algebraic point of view, ngunit ang mga geometric na halimbawa ay ibibigay. Kaya, ang lahat ay simple, naa-access at malinaw. Bilang karagdagan sa mga problema ng analytical geometry, isasaalang-alang din namin ang ilang karaniwang mga problema sa algebra. Upang makabisado ang materyal, ipinapayong maging pamilyar sa mga aralin Mga vector para sa mga dummies At Paano makalkula ang determinant?

Linear na pag-asa at pagsasarili ng mga vector ng eroplano.
Plane basis at affine coordinate system

Isaalang-alang natin ang eroplano ng iyong computer desk (isang mesa, bedside table, sahig, kisame, kahit anong gusto mo). Ang gawain ay binubuo ng mga sumusunod na aksyon:

1) Piliin ang batayan ng eroplano. Sa halos pagsasalita, ang isang tabletop ay may haba at lapad, kaya intuitive na kakailanganin ng dalawang vector upang mabuo ang batayan. Ang isang vector ay malinaw na hindi sapat, tatlong mga vector ay masyadong marami.

2) Batay sa napiling batayan itakda ang coordinate system(coordinate grid) upang magtalaga ng mga coordinate sa lahat ng mga bagay sa talahanayan.

Huwag magtaka, sa una ang mga paliwanag ay nasa daliri. Bukod dito, sa iyo. Mangyaring ilagay kaliwang hintuturo sa gilid ng tabletop para tumingin siya sa monitor. Ito ay magiging isang vector. Ngayon lugar kanang kalingkingan sa gilid ng talahanayan sa parehong paraan - upang ito ay nakadirekta sa screen ng monitor. Ito ay magiging isang vector. Ngumiti ka, ang galing mo! Ano ang masasabi natin tungkol sa mga vector? Mga vector ng data collinear, ibig sabihin linear ipinahayag sa bawat isa:
, well, o vice versa: , kung saan ang ilang numero ay naiiba sa zero.

Makakakita ka ng larawan ng pagkilos na ito sa klase. Mga vector para sa mga dummies, kung saan ipinaliwanag ko ang panuntunan para sa pagpaparami ng vector sa isang numero.

Itatakda ba ng iyong mga daliri ang batayan sa eroplano ng computer desk? Halatang hindi. Ang mga collinear vector ay naglalakbay nang pabalik-balik mag-isa direksyon, at ang isang eroplano ay may haba at lapad.

Ang ganitong mga vector ay tinatawag nakadepende sa linear.

Sanggunian: Ang mga salitang "linear", "linearly" ay nagpapahiwatig ng katotohanan na sa mga mathematical equation at expression ay walang mga parisukat, cubes, iba pang kapangyarihan, logarithms, sines, atbp. Mayroon lamang mga linear (1st degree) na expression at dependencies.

Dalawang vector ng eroplano nakadepende sa linear kung at kung sila ay collinear.

I-cross ang iyong mga daliri sa mesa upang mayroong anumang anggulo sa pagitan ng mga ito maliban sa 0 o 180 degrees. Dalawang vector ng eroplanolinear Hindi nakasalalay kung at kung hindi sila collinear. Kaya, nakuha ang batayan. Hindi na kailangang ikahiya na ang batayan ay naging "skewed" na may mga di-perpendicular na vector na may iba't ibang haba. Sa lalong madaling panahon makikita natin na hindi lamang isang anggulo ng 90 degrees ang angkop para sa pagtatayo nito, at hindi lamang mga unit vector na may pantay na haba

Anuman vector ng eroplano ang tanging paraan ay pinalawak ayon sa batayan:
, nasaan ang mga tunay na numero. Tinatawag ang mga numero mga coordinate ng vector sa batayan na ito.

Sinasabi rin na vectoripinakita bilang linear na kumbinasyon mga batayan ng vector. Ibig sabihin, ang expression ay tinatawag pagkabulok ng vectorsa pamamagitan ng batayan o linear na kumbinasyon mga batayan ng vector.

Halimbawa, maaari nating sabihin na ang vector ay nabubulok sa isang orthonormal na batayan ng eroplano, o maaari nating sabihin na ito ay kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga vector.

Bumalangkas tayo kahulugan ng batayan pormal: Ang batayan ng eroplano ay tinatawag na isang pares ng linearly independent (non-collinear) vectors, , habang anuman ang plane vector ay isang linear na kumbinasyon ng mga batayang vector.

Ang isang mahalagang punto ng kahulugan ay ang katotohanan na ang mga vector ay kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Mga base – ito ay dalawang ganap na magkaibang base! Tulad ng sinasabi nila, hindi mo maaaring palitan ang maliit na daliri ng iyong kaliwang kamay sa halip na ang maliit na daliri ng iyong kanang kamay.

Naisip namin ang batayan, ngunit hindi sapat na magtakda ng coordinate grid at magtalaga ng mga coordinate sa bawat item sa iyong computer desk. Bakit hindi sapat? Ang mga vector ay libre at gumagala sa buong eroplano. Kaya paano ka magtatalaga ng mga coordinate sa mga maliliit na maruruming lugar sa mesa na natitira mula sa isang ligaw na katapusan ng linggo? Kailangan ng panimulang punto. At ang gayong palatandaan ay isang punto na pamilyar sa lahat - ang pinagmulan ng mga coordinate. Unawain natin ang coordinate system:

Magsisimula ako sa sistema ng "paaralan". Nasa panimulang aralin na Mga vector para sa mga dummies Binigyang-diin ko ang ilang pagkakaiba sa pagitan ng rectangular coordinate system at ng orthonormal na batayan. Narito ang karaniwang larawan:

Kapag pinag-uusapan nila rectangular coordinate system, kung gayon kadalasan ang ibig sabihin ng mga ito ay ang pinagmulan ng mga coordinate, coordinate axes at sukat sa kahabaan ng mga palakol. Subukang mag-type ng "rectangular coordinate system" sa isang search engine, at makikita mo na maraming source ang magsasabi sa iyo tungkol sa mga coordinate axes na pamilyar mula sa ika-5-6 na baitang at kung paano mag-plot ng mga puntos sa isang eroplano.

Sa kabilang banda, tila ang isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay maaaring ganap na tukuyin sa mga tuntunin ng isang orthonormal na batayan. At iyon ay halos totoo. Ang mga salita ay ang mga sumusunod:

pinanggalingan, At orthonormal itinakda ang batayan Cartesian rectangular plane coordinate system . Iyon ay, ang rectangular coordinate system tiyak ay tinukoy ng isang solong punto at dalawang unit orthogonal vectors. Iyon ang dahilan kung bakit nakikita mo ang pagguhit na ibinigay ko sa itaas - sa mga problemang geometriko, ang parehong mga vector at coordinate axes ay madalas (ngunit hindi palaging) iginuhit.

Sa palagay ko naiintindihan ng lahat na ang paggamit ng isang punto (pinagmulan) at isang orthonormal na batayan ANUMANG PUNTO sa eroplano at ANUMANG VECTOR sa eroplano maaaring italaga ang mga coordinate. Sa makasagisag na pagsasalita, "lahat ng bagay sa isang eroplano ay maaaring bilangin."

Kailangan bang maging unit ang mga coordinate vectors? Hindi, maaari silang magkaroon ng di-zero na haba. Isaalang-alang ang isang punto at dalawang orthogonal na vector ng di-zero na haba:

Ang ganitong batayan ay tinatawag orthogonal. Ang pinagmulan ng mga coordinate na may mga vector ay tinukoy ng isang coordinate grid, at anumang punto sa eroplano, anumang vector ay may mga coordinate sa isang ibinigay na batayan. Halimbawa, o. Ang halatang abala ay ang coordinate vectors sa pangkalahatang kaso may iba't ibang haba maliban sa pagkakaisa. Kung ang mga haba ay katumbas ng pagkakaisa, kung gayon ang karaniwang orthonormal na batayan ay nakuha.

! Tandaan : sa orthogonal na batayan, pati na rin sa ibaba sa mga base ng affine ng eroplano at espasyo, ang mga yunit sa kahabaan ng mga palakol ay isinasaalang-alang KONDISYONAL. Halimbawa, ang isang yunit sa kahabaan ng x-axis ay naglalaman ng 4 cm, ang isang yunit sa kahabaan ng ordinate axis ay naglalaman ng 2 cm Ang impormasyong ito ay sapat upang, kung kinakailangan, i-convert ang "hindi pamantayan" na mga coordinate sa "aming karaniwang sentimetro".

At ang pangalawang tanong, na talagang nasagot na, ay kung ang anggulo sa pagitan ng mga batayang vector ay dapat na katumbas ng 90 degrees? Hindi! Gaya ng isinasaad ng kahulugan, dapat ang mga batayang vector non-collinear lang. Alinsunod dito, ang anggulo ay maaaring maging anuman maliban sa 0 at 180 degrees.

Isang punto sa eroplano ang tinawag pinanggalingan, At hindi collinear mga vector, , itakda affine plane coordinate system :

Minsan tinatawag ang ganitong coordinate system pahilig sistema. Bilang mga halimbawa, ang pagguhit ay nagpapakita ng mga puntos at vectors:

Tulad ng naiintindihan mo, ang sistema ng affine coordinate ay hindi gaanong maginhawa sa mga pormula para sa mga haba ng mga vector at mga segment, na tinalakay namin sa ikalawang bahagi ng aralin, ay hindi gumagana dito; Mga vector para sa mga dummies, maraming masasarap na formula na may kaugnayan sa scalar na produkto ng mga vector. Ngunit ang mga patakaran para sa pagdaragdag ng mga vector at pagpaparami ng isang vector sa isang numero, mga formula para sa paghahati ng isang segment sa kaugnayang ito, pati na rin ang ilang iba pang mga uri ng mga problema na isasaalang-alang namin sa lalong madaling panahon ay wasto.

At ang konklusyon ay ang pinaka-maginhawang espesyal na kaso ng isang affine coordinate system ay ang Cartesian rectangular system. Iyon ang dahilan kung bakit madalas mo siyang makita, mahal ko. ...Gayunpaman, ang lahat sa buhay na ito ay kamag-anak - maraming mga sitwasyon kung saan ang isang pahilig na anggulo (o iba pa, halimbawa, polar) coordinate system. At maaaring gusto ng mga humanoid ang mga ganitong sistema =)

Lumipat tayo sa praktikal na bahagi. Ang lahat ng mga problema sa araling ito ay may bisa kapwa para sa rectangular coordinate system at para sa pangkalahatang affine case. Walang kumplikado dito; ang lahat ng materyal ay naa-access kahit na sa isang mag-aaral.

Paano matukoy ang collinearity ng mga vector ng eroplano?

Tipikal na bagay. Para sa dalawang plane vectors ay collinear, ito ay kinakailangan at sapat na ang kanilang kaukulang mga coordinate ay proporsyonal Sa pangkalahatan, ito ay isang coordinate-by-coordinate na nagdedetalye ng malinaw na relasyon.

Halimbawa 1

a) Suriin kung ang mga vector ay collinear .
b) Ang mga vectors ba ay bumubuo ng batayan? ?

Solusyon:
a) Alamin natin kung mayroong para sa mga vectors koepisyent ng proporsyonalidad, upang ang mga pagkakapantay-pantay ay nasiyahan:

Talagang sasabihin ko sa iyo ang tungkol sa "foppish" na uri ng aplikasyon ng panuntunang ito, na gumagana nang maayos sa pagsasanay. Ang ideya ay agad na gawin ang proporsyon at tingnan kung ito ay tama:

Gumawa tayo ng isang proporsyon mula sa mga ratio ng kaukulang mga coordinate ng mga vectors:

Paikliin natin:
, kaya ang kaukulang mga coordinate ay proporsyonal, samakatuwid,

Ang relasyon ay maaaring gawing kabaligtaran; ito ay isang katumbas na opsyon:

Para sa self-test, maaari mong gamitin ang katotohanan na ang mga collinear vectors ay linearly na ipinahayag sa bawat isa. Sa kasong ito, nagaganap ang pagkakapantay-pantay . Ang kanilang bisa ay madaling ma-verify sa pamamagitan ng mga elementary operation na may mga vectors:

b) Dalawang plane vector ang bumubuo ng batayan kung hindi sila collinear (linearly independent). Sinusuri namin ang mga vector para sa collinearity . Gumawa tayo ng system:

Mula sa unang equation ito ay sumusunod na , mula sa pangalawang equation ito ay sumusunod na , na nangangahulugan hindi pare-pareho ang sistema(walang solusyon). Kaya, ang kaukulang mga coordinate ng mga vectors ay hindi proporsyonal.

Konklusyon: ang mga vector ay linearly independent at bumubuo ng isang batayan.

Ang isang pinasimple na bersyon ng solusyon ay ganito ang hitsura:

Gumawa tayo ng isang proporsyon mula sa kaukulang mga coordinate ng mga vectors :
, na nangangahulugan na ang mga vector na ito ay linearly independent at bumubuo ng isang batayan.

Karaniwan, ang opsyong ito ay hindi tinatanggihan ng mga tagasuri, ngunit may problemang lumitaw sa mga kaso kung saan ang ilang mga coordinate ay katumbas ng zero. ganito: . O tulad nito: . O tulad nito: . Paano magtrabaho sa pamamagitan ng proporsyon dito? (sa katunayan, hindi mo maaaring hatiin sa zero). Ito ay para sa kadahilanang ito na tinawag ko ang pinasimple na solusyon na "foppish".

Sagot: a) , b) anyo.

Isang maliit na malikhaing halimbawa para sa iyong sariling solusyon:

Halimbawa 2

Sa anong halaga ng parameter ang mga vectors magiging collinear ba sila?

Sa sample na solusyon, ang parameter ay matatagpuan sa pamamagitan ng proporsyon.

Mayroong isang eleganteng algebraic na paraan upang suriin ang mga vectors para sa collinearity Let's systematize our knowledge and add it as the five point:

Para sa dalawang plane vector ang mga sumusunod na pahayag ay katumbas:

2) ang mga vector ay bumubuo ng isang batayan;
3) ang mga vector ay hindi collinear;

+ 5) ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito ay nonzero.

Kaugnay nito, ang mga sumusunod na kasalungat na pahayag ay katumbas:
1) ang mga vector ay linearly na umaasa;
2) ang mga vector ay hindi bumubuo ng isang batayan;
3) ang mga vector ay collinear;
4) ang mga vector ay maaaring linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng bawat isa;
+ 5) ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito ay katumbas ng zero.

Sana talaga sa ngayon naiintindihan mo na ang lahat ng mga termino at pahayag na iyong nararanasan.

Tingnan natin ang bago, ikalimang punto: dalawang vector ng eroplano ay collinear kung at kung ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng ibinigay na mga vector ay katumbas ng zero:. Upang mailapat ang tampok na ito, siyempre, kailangan mong magawa maghanap ng mga determinant.

Magdesisyon tayo Halimbawa 1 sa pangalawang paraan:

a) Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vectors :
, na nangangahulugan na ang mga vector na ito ay collinear.

b) Dalawang plane vector ang bumubuo ng batayan kung hindi sila collinear (linearly independent). Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng vector :
, na nangangahulugan na ang mga vector ay linearly independent at bumubuo ng isang batayan.

Sagot: a) , b) anyo.

Mukhang mas compact at mas maganda kaysa sa isang solusyon na may mga proporsyon.

Sa tulong ng materyal na isinasaalang-alang, posible na maitatag hindi lamang ang collinearity ng mga vectors, kundi pati na rin upang patunayan ang parallelism ng mga segment at tuwid na linya. Isaalang-alang natin ang ilang problema sa mga partikular na geometric na hugis.

Halimbawa 3

Ang mga vertices ng isang quadrilateral ay ibinibigay. Patunayan na ang quadrilateral ay isang paralelogram.

Patunay: Hindi na kailangang gumawa ng guhit sa problema, dahil ang solusyon ay puro analytical. Tandaan natin ang kahulugan ng paralelogram:
Paralelogram Ang isang may apat na gilid na ang magkabilang panig ay parallel sa mga pares ay tinatawag.

Kaya, ito ay kinakailangan upang patunayan:
1) paralelismo ng magkabilang panig at;
2) paralelismo ng magkabilang panig at.

Patunayan namin:

1) Hanapin ang mga vector:

2) Hanapin ang mga vector:

Ang resulta ay ang parehong vector ("ayon sa paaralan" - pantay na mga vector). Ang collinearity ay medyo halata, ngunit mas mahusay na gawing pormal ang desisyon nang malinaw, na may pag-aayos. Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng vector:
, na nangangahulugan na ang mga vector na ito ay collinear, at .

Konklusyon: Ang magkasalungat na gilid ng isang may apat na gilid ay magkapareho sa mga pares, na nangangahulugang ito ay isang paralelogram sa pamamagitan ng kahulugan. Q.E.D.

Higit pang mahusay at iba't ibang mga figure:

Halimbawa 4

Ang mga vertex ng isang quadrilateral ay ibinibigay. Patunayan na ang quadrilateral ay isang trapezoid.

Para sa isang mas mahigpit na pagbabalangkas ng patunay, ito ay mas mahusay, siyempre, upang makuha ang kahulugan ng isang trapezoid, ngunit ito ay sapat na upang matandaan lamang kung ano ang hitsura nito.

Ito ay isang gawain para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Kumpletong solusyon sa pagtatapos ng aralin.

At ngayon ay oras na upang dahan-dahang lumipat mula sa eroplano patungo sa kalawakan:

Paano matukoy ang collinearity ng space vectors?

Ang panuntunan ay halos magkatulad. Upang ang dalawang space vector ay maging collinear, kinakailangan at sapat na ang kanilang kaukulang mga coordinate ay proporsyonal..

Halimbawa 5

Alamin kung ang mga sumusunod na space vector ay collinear:

A);
b)
V)

Solusyon:
a) Suriin natin kung mayroong isang koepisyent ng proporsyonalidad para sa kaukulang mga coordinate ng mga vectors:

Ang sistema ay walang solusyon, na nangangahulugan na ang mga vector ay hindi collinear.

Ang "Simplified" ay ginawang pormal sa pamamagitan ng pagsuri sa proporsyon. Sa kasong ito:
– ang kaukulang mga coordinate ay hindi proporsyonal, na nangangahulugan na ang mga vector ay hindi collinear.

Sagot: ang mga vector ay hindi collinear.

b-c) Ito ay mga punto para sa malayang desisyon. Subukan ito sa dalawang paraan.

Mayroong isang paraan para sa pagsuri sa mga spatial vectors para sa collinearity sa pamamagitan ng third-order determinant, ang pamamaraang ito sakop sa artikulo Vector na produkto ng mga vector.

Katulad ng kaso ng eroplano, ang mga itinuturing na tool ay maaaring gamitin upang pag-aralan ang paralelismo ng mga spatial na segment at tuwid na linya.

Maligayang pagdating sa pangalawang seksyon:

Linear dependence at independence ng mga vectors sa three-dimensional na espasyo.
Spatial na batayan at affine coordinate system

Marami sa mga pattern na aming napagmasdan sa eroplano ay magiging wasto para sa espasyo. Sinubukan kong i-minimize ang theory notes kasi bahagi ng leon ngumunguya na ang impormasyon. Gayunpaman, inirerekumenda kong basahin mong mabuti ang panimulang bahagi, dahil lalabas ang mga bagong termino at konsepto.

Ngayon, sa halip na ang eroplano ng computer desk, ginalugad namin ang three-dimensional na espasyo. Una, gawin natin ang batayan nito. May nasa loob na ngayon, may nasa labas, ngunit sa anumang kaso, hindi natin matatakasan ang tatlong dimensyon: lapad, haba at taas. Samakatuwid, upang makabuo ng isang batayan, tatlong spatial vectors ang kakailanganin. Ang isa o dalawang vector ay hindi sapat, ang ikaapat ay labis.

At muli kaming nagpainit sa aming mga daliri. Mangyaring itaas ang iyong kamay at ikalat ito sa iba't ibang direksyon hinlalaki, index at gitnang daliri . Ang mga ito ay magiging mga vector, tumingin sila sa iba't ibang direksyon, may iba't ibang haba at may iba't ibang mga anggulo sa pagitan nila. Binabati kita, ang batayan ng tatlong-dimensional na espasyo ay handa na! Oo nga pala, hindi na kailangang ipakita ito sa mga guro, gaano man kahirap ang iyong mga daliri, ngunit walang pagtakas sa mga kahulugan =)

Susunod, tanungin natin ang ating sarili ng isang mahalagang tanong: ang anumang tatlong vector ay bumubuo ng batayan ng tatlong-dimensional na espasyo? Mangyaring pindutin nang mahigpit ang tatlong daliri sa tuktok ng computer desk. anong nangyari? Tatlong mga vector ang matatagpuan sa parehong eroplano, at, halos nagsasalita, nawala namin ang isa sa mga sukat - taas. Ang ganitong mga vector ay coplanar at, ito ay lubos na halata na ang batayan ng tatlong-dimensional na espasyo ay hindi nilikha.

Dapat pansinin na ang mga coplanar vectors ay hindi kailangang magsinungaling sa parehong eroplano, maaari silang magkatulad na mga eroplano (huwag lang gawin ito gamit ang iyong mga daliri, si Salvador Dali lamang ang gumawa nito =)).

Kahulugan: tinatawag na mga vector coplanar, kung mayroong isang eroplano kung saan sila ay parallel. Ito ay lohikal na idagdag dito na kung ang naturang eroplano ay hindi umiiral, kung gayon ang mga vector ay hindi magiging coplanar.

Ang tatlong coplanar vector ay palaging nakadepende sa linear, iyon ay, ang mga ito ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng bawat isa. Para sa pagiging simple, muli nating isipin na nakahiga sila sa parehong eroplano. Una, ang mga vector ay hindi lamang coplanar, maaari rin silang maging collinear, kung gayon ang anumang vector ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng anumang vector. Sa pangalawang kaso, kung, halimbawa, ang mga vector ay hindi collinear, kung gayon ang ikatlong vector ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga ito sa isang natatanging paraan: (at bakit madaling hulaan mula sa mga materyales sa nakaraang seksyon).

Totoo rin ang kabaligtaran: tatlong non-coplanar vectors ay palaging linearly independent, ibig sabihin, hindi sila ipinahayag sa bawat isa. At, malinaw naman, ang gayong mga vector lamang ang maaaring maging batayan ng tatlong-dimensional na espasyo.

Kahulugan: Ang batayan ng tatlong-dimensional na espasyo ay tinatawag na triple ng mga linearly independent (non-coplanar) vectors, kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, at anumang vector ng espasyo ang tanging paraan ay decomposed sa isang naibigay na batayan, kung saan ay ang mga coordinate ng vector sa batayan na ito

Hayaan akong ipaalala sa iyo na maaari din nating sabihin na ang vector ay kinakatawan sa form linear na kumbinasyon mga batayan ng vector.

Ang konsepto ng isang sistema ng coordinate ay ipinakilala sa eksaktong parehong paraan tulad ng para sa kaso ng eroplano at anumang tatlong linearly independent vectors ay sapat na:

pinanggalingan, At hindi koplanar mga vector, kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, itakda affine coordinate system ng three-dimensional na espasyo :

Siyempre, ang coordinate grid ay "pahilig" at hindi maginhawa, ngunit, gayunpaman, ang itinayong sistema ng coordinate ay nagpapahintulot sa amin tiyak tukuyin ang mga coordinate ng anumang vector at ang mga coordinate ng anumang punto sa espasyo. Katulad ng isang eroplano, ang ilang mga formula na nabanggit ko na ay hindi gagana sa affine coordinate system ng espasyo.

Ang pinakapamilyar at maginhawang espesyal na kaso ng isang affine coordinate system, gaya ng hula ng lahat, ay rectangular space coordinate system:

Isang punto sa espasyo na tinatawag pinanggalingan, At orthonormal itinakda ang batayan Cartesian rectangular space coordinate system . Pamilyar na larawan:

Bago lumipat sa mga praktikal na gawain, muli nating i-systematize ang impormasyon:

Para sa tatlong space vector ang mga sumusunod na pahayag ay katumbas:
1) ang mga vector ay linearly independent;
2) ang mga vector ay bumubuo ng isang batayan;
3) ang mga vector ay hindi coplanar;
4) ang mga vector ay hindi maaaring linearly na ipahayag sa pamamagitan ng bawat isa;
5) ang determinant, na binubuo ng mga coordinate ng mga vectors na ito, ay iba sa zero.

Sa tingin ko ang kabaligtaran na mga pahayag ay naiintindihan.

Ang linear dependence/independence ng space vectors ay tradisyunal na sinusuri gamit ang determinant (punto 5). Natitira mga praktikal na gawain magkakaroon ng binibigkas na algebraic character. Oras na para ibaba ang geometry stick at gamitin ang baseball bat ng linear algebra:

Tatlong vector ng espasyo ay coplanar kung at kung ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng ibinigay na mga vector ay katumbas ng zero: .

Nais kong iguhit ang iyong pansin sa isang maliit na teknikal na nuance: ang mga coordinate ng mga vector ay maaaring isulat hindi lamang sa mga haligi, kundi pati na rin sa mga hilera (ang halaga ng determinant ay hindi magbabago dahil dito - tingnan ang mga katangian ng mga determinant). Ngunit ito ay mas mahusay sa mga haligi, dahil ito ay mas kapaki-pakinabang para sa paglutas ng ilang mga praktikal na problema.

Para sa mga mambabasa na medyo nakalimutan ang mga paraan ng pagkalkula ng mga determinant, o marahil ay may kaunting pag-unawa sa mga ito, inirerekomenda ko ang isa sa aking mga pinakalumang aralin: Paano makalkula ang determinant?

Halimbawa 6

Suriin kung ang mga sumusunod na vector ay bumubuo ng batayan ng tatlong-dimensional na espasyo:

Solusyon: Sa katunayan, ang buong solusyon ay bumababa sa pagkalkula ng determinant.

a) Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vectors (ang determinant ay ipinahayag sa unang linya):

, na nangangahulugan na ang mga vector ay linearly independent (hindi coplanar) at bumubuo ng batayan ng three-dimensional na espasyo.

Sagot: ang mga vector na ito ay bumubuo ng isang batayan

b) Ito ay isang punto para sa independiyenteng desisyon. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Mayroon ding mga malikhaing gawain:

Halimbawa 7

Sa anong halaga ng parameter magiging coplanar ang mga vector?

Solusyon: Ang mga vector ay coplanar kung at kung ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito ay katumbas ng zero:

Mahalaga, kailangan mong lutasin ang isang equation na may determinant. Lumilipad kami sa mga zero tulad ng mga saranggola sa jerboas - pinakamahusay na buksan ang determinant sa pangalawang linya at agad na alisin ang mga minus:

Nagsasagawa kami ng mga karagdagang pagpapasimple at binabawasan ang bagay sa pinakasimpleng linear equation:

Sagot: sa

Madaling suriin dito; para magawa ito, kailangan mong palitan ang resultang halaga sa orihinal na determinant at tiyakin iyon , muling binuksan ito.

Sa konklusyon, isasaalang-alang namin ang isa pang tipikal na problema, na mas algebraic sa kalikasan at tradisyonal na kasama sa isang linear na kurso ng algebra. Ito ay karaniwan na nararapat sa sarili nitong paksa:

Patunayan na ang 3 vector ay bumubuo ng batayan ng three-dimensional na espasyo
at hanapin ang mga coordinate ng ika-4 na vector sa batayan na ito

Halimbawa 8

Ibinigay ang mga vector. Ipakita na ang mga vector ay bumubuo ng isang batayan sa tatlong-dimensional na espasyo at hanapin ang mga coordinate ng vector sa batayan na ito.

Solusyon: Una, harapin natin ang kundisyon. Sa pamamagitan ng kundisyon, apat na vector ang ibinibigay, at, tulad ng nakikita mo, mayroon na silang mga coordinate sa ilang batayan. Kung ano ang batayan na ito ay hindi interesado sa amin. At ang sumusunod na bagay ay interesado: tatlong vectors ay maaaring bumuo ng isang bagong batayan. At ang unang yugto ay ganap na nag-tutugma sa solusyon ng Halimbawa 6, kinakailangan upang suriin kung ang mga vector ay tunay na independyente:

Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng vector:

, na nangangahulugan na ang mga vector ay linearly independent at bumubuo ng batayan ng three-dimensional na espasyo.

! Mahalaga : mga coordinate ng vector Kailangan isulat sa mga hanay determinant, hindi sa mga string. Kung hindi, magkakaroon ng kalituhan sa karagdagang algorithm ng solusyon.