Сьогодні розбираємося з методом Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри. Про те, що це за системи, можна почитати у попередній статті, присвяченій рішенню тих самих СЛАУ методом Крамера. Метод Гауса не вимагає якихось специфічних знань, потрібна лише уважність та послідовність. Незважаючи на те, що з точки зору математики для його застосування вистачить і шкільної підготовки, у студентів освоєння цього методу часто викликає труднощі. У цій статті спробуємо звести їх нанівець!
Метод Гауса
М етод Гауса- Найбільш універсальний метод рішення СЛАУ (за винятком дуже великих систем). На відміну від розглянутого раніше методу КрамераВін підходить не тільки для систем, що мають єдине рішення, але і для систем, у яких рішень безліч. Тут можливі три варіанти.
- Система має єдине рішення (визначник головної матриці системи не дорівнює нулю);
- Система має безліч рішень;
- Рішень немає, система несумісна.
Отже, ми маємо систему (нехай у неї буде одне рішення), і ми збираємося вирішувати її методом Гауса. Як це працює?
Метод Гауса складається з двох етапів – прямого та зворотного.
Прямий хід методу Гауса
Спочатку запишемо розширену матрицю системи. Для цього до головної матриці додаємо стовпець вільних членів.
Вся суть методу Гауса полягає в тому, щоб шляхом елементарних перетворень привести цю матрицю до ступінчастого (або як ще кажуть трикутного) вигляду. У такому вигляді під (або над) головною діагоналлю матриці мають бути одні нулі.
Що можна робити:
- Можна переставляти рядки матриці місцями;
- Якщо у матриці є однакові (або пропорційні) рядки, можна видалити їх усі, крім одного;
- Можна множити чи ділити рядок на будь-яке число (крім нуля);
- Нульові рядки видаляються;
- Можна додавати до рядка рядок, помножений на число, відмінне від нуля.
Зворотний хід методу Гауса
Після того як ми перетворимо систему таким чином, одна невідома Xn стає відома, і можна в зворотному порядку знайти всі невідомі, підставляючи вже відомі ікси в рівняння системи, аж до першого.
Коли інтернет завжди під рукою, можна вирішити систему рівнянь методом Гаусса онлайн.Достатньо лише вбити в онлайн-калькулятор коефіцієнти. Але погодьтеся, набагато приємніше усвідомлювати, що приклад вирішено не комп'ютерною програмою, а вашим власним мозком.
Приклад розв'язання системи рівнянь методом Гаусс
А тепер – приклад, щоб усе стало наочно та зрозуміло. Нехай дана система лінійних рівнянь, і потрібно вирішити її методом Гауса:
Спочатку запишемо розширену матрицю:
Тепер займемося перетвореннями. Пам'ятаємо, що нам потрібно досягти трикутного вигляду матриці. Помножимо 1-ий рядок на (3). Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-й рядок до 1-го і отримаємо:
Потім помножимо 3-й рядок на (-1). Додамо 3-й рядок до 2-го:
Помножимо 1-ий рядок на (6). Помножимо 2-й рядок на (13). Додамо 2-й рядок до 1-го:
Вуаля – система приведена до відповідного виду. Залишилось знайти невідомі:
Система в даному прикладімає єдине рішення. Вирішення систем з безліччю рішень ми розглянемо в окремій статті. Можливо, спочатку Ви не знатимете, з чого почати перетворення матриці, але після відповідної практики наб'єте руку і клацатимете СЛАУ методом Гауса як горішки. А якщо Ви раптом зіткнетеся зі СЛАУ, яка виявиться надто міцним горішком, звертайтеся до наших авторів! Замовити недорого ви можете, залишивши заявку в Заочнику. Разом ми вирішимо будь-яке завдання!
Пояснювальна записка
Дана методична розробкапризначена щодо заняття з дисципліни “Математика” на тему “Рішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса” за програмою навчальної дисципліни, розробленої з урахуванням Федерального державного освітнього стандарту для спеціальностей середньої професійної освіти.
В результаті вивчення теми студент повинен:
знати:
- елементарні перетворення над матрицями;
- етапи розв'язання систем лінійних рівнянь методом Гаусса
вміти:
- розв'язувати системи лінійних рівнянь методом Гаусса.
Цілі заняття:
навчальні:
- розглянути елементарні перетворення над матрицями;
- розглянути метод Гаусса на вирішення систем лінійних рівнянь.
розвиваючі:
- розвивати вміння аналізувати отриману інформацію, робити висновки;
виховні:
- виховувати у студентів інтерес до дисципліни, що вивчається, показувати значимість знань з даної теми для їх подальшої професійної діяльності;
- виховувати готовність та здатність до освіти, у тому числі самоосвіти, протягом усього життя.
Хід заняття
| Діяльність викладача | Діяльність студентів | Загальний час |
| 1. Організаційна частина | ||
| Відзначає студентів у журналі | 1 хв | |
| 2. Перевірка самостійної роботи | Здають виконану позааудиторну самостійну роботу | 5 хв |
| 3. Виклад теоретичного матеріалу | ||
| Повідомляє тему та цілі заняття | Аналізують мету заняття Фіксують тему у зошит |
1 хв |
| Пояснює хід заняття | Фіксують план лекції у зошит | 3 хв |
| Знайомить із методом Гауса | Фіксують етапи розв'язання системи лінійних рівнянь методом Гауса | 15 хв |
| Знайомить із елементарними перетвореннями матриці | Фіксують елементарні перетворення матриці | 15 хв |
| Розглядає метод Гауса на конкретному прикладі | Фіксують хід рішення у зошит | 12 хв |
| 4. Практична частина | ||
| Виконують завдання | 25 хв | |
| Здійснює консультування студентів за підсумками проведення заняття | Задають питання | 5 хв |
| 5. Підсумки заняття | ||
| Перевіряє результати роботи | Оцінюють результати своєї роботи | 5 хв |
| Фіксує результати перевірки до журналу | ||
| Видає позааудиторну самостійну роботу з поясненнями | Фіксують завдання, озвучують питання щодо виконання | 3 хв |
Оцінка "відмінно":
- робота виконана повністю;
Оцінка "добре":
Оцінка "задовільно":
Оцінка "незадовільно":
Загальний час- 90 хв.
План заняття:
- Організаційний момент;
- Перевірка позааудиторної самостійної роботи;
- Теоретична частина;
- Практична частина;
- Підсумки заняття.
Теоретична частина
Одним із найбільш універсальних та ефективних методів рішень систем лінійних рівнянь є метод Гаусса, який полягає у послідовному виключенні невідомих.
Система n лінійних рівнянь із m невідомими може мати вигляд:
I=1, 2, 3, …, n; j=1, 2, 3,..., m.
Зауважимо, що кількість невідомих m і кількість рівнянь n у випадку між собою ніяк не пов'язані. Можливі три випадки: m=n, m > n, m< n.
Рішенням системи називається будь-яка кінцева послідовність з m чисел ( 
, Що є рішенням кожного з рівнянь системи.
Процес рішення за методом Гауса складається із двох етапів:
1. Система наводиться до ступінчастого (трикутного) виду
2. Послідовне визначення невідомих із ступеневої системи, що вийшла.
Нехай дана система трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими x, y, z
Введемо на розгляд матрицю систему
і розширену матрицю 
.
Елементарні перетворення матриць:
1. Перестановка місцями двох рядів матриці:
;
2. Множення (розподіл) всіх елементів ряду матриці на число, відмінне від нуля:
Розділимо елементи першого рядка на 2, а другий – помножимо на 2
.
3. Додаток до всіх елементів одного ряду матриці відповідних елементів іншого ряду, помножених на те саме число:
Помножимо елементи першого рядка на 2:
.
Додамо до всіх елементів першого рядка відповідні елементи другого рядка, при цьому елементи першого рядка запишемо без змін:
Розділимо елементи першого рядка на 2:
Насправді деякі дії виконують усно:
Якщо в процесі перетворення з'явиться нульовий ряд у матриці, його можна видалити.
Розглянемо суть методу Гауса на конкретній системі лінійних рівнянь (див. додаток):
Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гауса
Запишемо розширену матрицю:
Вихідна система звелася до ступінчастої:
З останнього рівняння з передостаннього рівняння або .
Знайдемо з першого рівняння: або.
г) 
Критерії оцінки виконання самостійної роботи:
Оцінка "відмінно":
- робота виконана повністю;
- у логічних міркуваннях та обґрунтуванні рішення немає прогалин та помилок;
- у рішенні немає математичних помилок (можлива одна неточність, описка, яка не є наслідком незнання чи нерозуміння навчального матеріалу).
Оцінка "добре":
- робота виконана повністю, але обґрунтування кроків рішення недостатні (якщо вміння обґрунтовувати міркування не було спеціальним об'єктом перевірки);
- допущено одну помилку або є два-три недоліки у викладках, малюнках, кресленнях або графіках (якщо ці види робіт не були спеціальним об'єктом перевірки).
Оцінка "задовільно":
- допущено більше однієї помилки або більше двох-трьох недоліків у викладках, кресленнях або графіках, але той, хто навчається, має обов'язкові вміння по темі, що перевіряється.
Оцінка "незадовільно":
- допущені суттєві помилки, які показали, що той, хто навчається, не має обов'язкових вмінь на цю тему повною мірою.
У нашому калькуляторі ви безкоштовно знайдете вирішення системи лінійних рівнянь методом Гауса онлайнз докладним рішенням і навіть із комплексними числами. У нас ви можете вирішити як звичайну певну, так і невизначену систему рівнянь, яка має безліч рішень. І тут у відповіді ви отримаєте залежність одних змінних через інші - вільні. Також можна перевірити систему на спільність, використовуючи той самий метод Гаусса.
Докладніше про те, як користуватися нашим онлайн калькулятором, ви можете прочитати в інструкції.
Про метод
При вирішенні системи лінійних рівнянь методом Гауса виконуються такі кроки.
- Записуємо розширену матрицю.
- Фактично алгоритм поділяють на прямий та зворотний хід. Прямим ходом називається приведення матриці до ступінчастого вигляду. Зворотним ходом називається приведення матриці до спеціального ступінчастого вигляду. Але на практиці зручніше відразу занулювати те, що знаходиться і зверху і знизу елемента, що розглядається. Наш калькулятор використовує цей підхід.
- Важливо відзначити, що при вирішенні методом Гауса, наявність у матриці хоча б одного нульового рядка з ненульовою правою частиною (стовпець вільних членів) говорить про несумісність системи. Рішення у такому разі не існує.
Щоб краще зрозуміти принцип роботи алгоритму, введіть будь-який приклад, виберіть "дуже докладне рішення" і вивчіть отриману відповідь.
Нехай дана система , ∆≠0. (1)Метод Гауса- Це метод послідовного виключення невідомих.
Суть методу Гауса полягає у перетворенні (1) до системи з трикутною матрицею , з якої потім послідовно (зворотним ходом) виходять значення всіх невідомих. Розглянемо одну з обчислювальних схем. Ця схема називається схемою єдиного поділу. Отже, розглянемо цю схему. Нехай a11 ≠0 (провідний елемент) розділимо на a11 перше рівняння. Отримаємо
x 1 +a (1) 12 ·x 2 +...+a (1) 1n ·x n =b (1) 1 (2)
Користуючись рівнянням (2), легко виключити невідомі x 1 з інших рівнянь системи (для цього достатньо від кожного рівняння відняти рівняння (2) попередньо помножене на відповідний коефіцієнт при x 1), тобто на першому кроці отримаємо
.
Іншими словами, на 1 кроці кожен елемент наступних рядків, починаючи з другого, дорівнює різниці між вихідним елементом і добутком його «проекції» на перший стовпець і перший (перетворений) рядок.
Після цього залишивши перше рівняння у спокої, над іншими рівняннями системи, отриманої першому кроці, зробимо аналогічне перетворення: виберемо з їхньої рівняння з провідним елементом і виключимо з його допомогою з інших рівнянь x 2 (крок 2).
Після n кроків замість (1) отримаємо рівносильну систему 
(3)
Отже, першому етапі ми отримаємо трикутну систему (3). Цей етап називається прямим ходом.
На другому етапі (зворотний хід) ми знаходимо послідовно (3) значення x n , x n -1 , …, x 1 .
Позначимо отримане рішення за x0. Тоді різниця ε=b-A·x 0 називається нев'язкою.
Якщо ε=0, то знайдене рішення x0 є вірним.
Обчислення за методом Гауса виконуються у два етапи:
- Перший етап називається прямим перебігом методу. У першому етапі вихідну систему перетворять до трикутному виду.
- Другий етап називається зворотним ходом. З другого краю етапі вирішують трикутну систему, еквівалентну вихідної.
На кожному кроці передбачалося, що провідний елемент відрізняється від нуля. Якщо це не так, то як ведучий можна використовувати будь-який інший елемент, як би переставивши рівняння системи.
Призначення методу Гаусса
Метод Гаусса призначений на вирішення систем лінійних рівнянь. Належить до прямих методів рішення.Види методу Гауса
- Класичний метод Гаусса;
- Модифікації методу Гауса. Однією з модифікацій методу Гаус є схема з вибором головного елемента. Особливістю методу Гауса з вибором головного елемента є така перестановка рівнянь, щоб на k-му кроці провідним елементом виявлявся найбільший за модулем елемент k-го стовпця.
- Метод Жордано-Гаусса;
Проілюструємо відмінність методу Жордано-Гауссавід методу Гауса на прикладах.
Приклад рішення методом Гаусса
Вирішимо систему: 
Помножимо 2-й рядок на (2). Додамо 3-й рядок до 2-го 
З першого рядка виражаємо x 3:
З другого рядка виражаємо x 2:
З 3-го рядка виражаємо x 1: 
Приклад рішення методом Жордано-Гаусса
Цю ж СЛАУ вирішимо методом Жордано-Гаусса. 
Послідовно вибиратимемо роздільну здатність елемент РЕ, який лежить на головній діагоналі матриці.
Роздільний елемент дорівнює (1).
НЕ = СЕ - (А * В) / РЕ
РЕ - роздільна здатність елемент (1), А і В - елементи матриці, що утворюють прямокутник з елементами СТЕ і РЕ.
Подамо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Роздільний елемент дорівнює (3).
На місці роздільного елемента отримуємо 1, а в самому стовпці записуємо нулі.
Решта елементів матриці, включаючи елементи стовпця B, визначаються за правилом прямокутника.
Для цього вибираємо чотири числа, які розташовані у вершинах прямокутника і завжди включають роздільну здатність елемент РЕ.
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Роздільний елемент дорівнює (-4).
На місці роздільного елемента отримуємо 1, а в самому стовпці записуємо нулі.
Решта елементів матриці, включаючи елементи стовпця B, визначаються за правилом прямокутника.
Для цього вибираємо чотири числа, які розташовані у вершинах прямокутника і завжди включають роздільну здатність елемент РЕ.
Подамо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Відповідь: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
Реалізація методу Гауса
Метод Гауса реалізований багатьма мовами програмування, зокрема: Pascal, C++, php, Delphi , і навіть є реалізація методу Гауса в онлайн режимі .Використання методу Гауса
Застосування методу Гауса в теорії ігор
Теоретично ігор при знайденні максимальної оптимальної стратегії гравця складається система рівнянь, яка вирішується шляхом Гаусса.Застосування методу Гаусса під час вирішення диференціальних рівнянь
Для пошуку приватного рішення диференціального рівняння спочатку знаходять похідні відповідного ступеня для записаного приватного рішення (y=f(A,B,C,D)), які підставляють вихідне рівняння. Далі, щоб знайти змінні A,B,C,D складається система рівнянь, що вирішується методом Гаусса.Застосування методу Жордано-Гаусса у лінійному програмуванні
У лінійному програмуванні, зокрема в симплекс-методі перетворення симплексной таблиці кожної ітерації використовується правило прямокутника, у якому використовується метод Жордано-Гаусса.Приклади
Приклад №1. Вирішити систему методом Гауса:x 1 +2x 2 - 3x 3 + x 4 = -2
x 1 +2x 2 - x 3 + 2x 4 = 1
3x 1 -x 2 + 2x 3 + x 4 = 3
3x1+x2+x3+3x4=2
Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:
Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-ий рядок до 1-го
Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:
З першого рядка висловлюємо x 4
З 2-го рядка виражаємо x 3
З 3-го рядка виражаємо x 2
З 4-го рядка виражаємо x 1
Приклад №3.
- Вирішити СЛАУ методом Жордано-Гаусса. Запишемо систему у вигляді: Роздільний елемент дорівнює (2.2). На місці роздільного елемента отримуємо 1, а в самому стовпці записуємо нулі. Решта всіх елементів матриці, включаючи елементи стовпця B, визначаються за правилом прямокутника. x 1 = 1.00, x 2 = 1.00, x 3 = 1.00
- Систему лінійних рівнянь вирішити методом Гаусса
прикладПодивіться, як швидко можна визначити, чи є система спільною.
Відеоінструкція
- Застосовуючи метод Гауса виключення невідомих, вирішити систему лінійних рівнянь. Зробити перевірку знайденого рішення: Рішення
- Розв'язати систему рівнянь методом Гаусса. Рекомендується перетворення, пов'язані з послідовним винятком невідомих, застосовувати до розширеної матриці цієї системи. Зробити перевірку одержаного рішення.
Рішення: xls - Розв'язати систему лінійних рівнянь трьома способами: а) методом Гауса послідовних винятків невідомих; б) за формулою x = A -1 b з обчисленням зворотної матриці A -1; в) за формулами Крамера.
Рішення: xls - Вирішити методом Гауса наступну вироджену систему рівнянь.
Завантажити рішення doc - Розв'яжіть методом Гауса систему лінійних рівнянь, записану в матричній формі:
7 8 -3 x 92
2 2 2 y = 30
-9 -10 5 z -114
Рішення системи рівнянь шляхом складання
Розв'яжіть 6x+5y=3, 3x+3y=4 систему рівнянь методом складання.Рішення.
6x+5y=3
3x+3y=4
Помножимо друге рівняння на (-2).
6x+5y=3
-6x-6y=-8
============ (складаємо)
-y=-5
Звідки y = 5
Знаходимо x:
6x+5*5=3 або 6x=-22
Звідки x = -22/6 = -11/3
Приклад №2. Рішення СЛАУ у матричній формі означає, що вихідний запис системи необхідно призвести до матричної (так звана розширена матриця). Покажемо на прикладі.
Запишемо систему у вигляді розширеної матриці:
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 = -21/(-21) = 1
x 2 = / 15
x 1 = /3
З другого рядка виражаємо x 2:
З 3-го рядка виражаємо x 1:
Приклад №3. Розв'язати систему методом Гауса: x 1 +2x 2 - 3x 3 + x 4 = -2
x 1 +2x 2 - x 3 + 2x 4 = 1
3x 1 -x 2 + 2x 3 + x 4 = 3
3x1+x2+x3+3x4=2
Рішення:
Запишемо систему у вигляді:
Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:
Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-ий рядок до 1-го
Помножимо 2-й рядок на (3). Помножимо 3-й рядок на (-1). Додамо 3-й рядок до 2-го
Помножимо 4-й рядок на (-1). Додамо 4-й рядок до 3-го
Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:
Помножимо 1-ий рядок на (0). Додамо 2-ий рядок до 1-го
Помножимо 2-й рядок на (7). Помножимо 3-й рядок на (2). Додамо 3-й рядок до 2-го
Помножимо 1-ий рядок на (15). Помножимо 2-й рядок на (2). Додамо 2-ий рядок до 1-го
З першого рядка висловлюємо x 4
З другого рядка виражаємо x 3
З 3-го рядка виражаємо x 2
З 4-го рядка виражаємо x 1
Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо безліч їх рішень збігається.
Елементарні перетворення системи рівнянь – це:
- Викреслення із системи очевидних рівнянь, тобто. таких, у яких всі коефіцієнти дорівнюють нулю;
- Розмноження будь-якого рівняння на число, відмінне від нуля;
- Додаток до будь-якого i-го рівняння будь-якого j-то рівняння, помноженого на будь-яке число.
Змінна x i називається вільною, якщо ця змінна не є дозволеною, а вся система рівнянь є дозволеною.
Теорема. Елементарні перетворення переводять систему рівнянь на рівносильну.
Сенс методу Гаусса у тому, щоб перетворити вихідну систему рівнянь і отримати рівносильну дозволену чи рівносильну несовместную систему.
Отже, метод Гауса складається з наступних кроків:
- Розглянемо перше рівняння. Виберемо перший ненульовий коефіцієнт і розділимо все рівняння нею. Отримаємо рівняння, яке деяка змінна x i входить з коефіцієнтом 1;
- Віднімемо це рівняння з решти, множачи його на такі числа, щоб коефіцієнти при змінній x i в інших рівняннях обнулилися. Отримаємо систему, дозволену щодо змінної x i і рівносильну вихідної;
- Якщо виникають тривіальні рівняння (рідко, але буває; наприклад, 0 = 0), викреслюємо їх із системи. Внаслідок рівнянь стає на одне менше;
- Повторюємо попередні кроки трохи більше n разів, де n - число рівнянь у системі. Щоразу вибираємо для «обробки» нову змінну. Якщо виникають суперечливі рівняння (наприклад, 0 = 8) система несумісна.
У результаті за кілька кроків отримаємо або дозволену систему (можливо, з вільними змінними), або несовместную. Дозволені системи розпадаються на два випадки:
- Число змінних дорівнює числу рівнянь. Отже, систему визначено;
- Число змінних більше числа рівнянь. Збираємо всі вільні змінні праворуч – отримуємо формули для дозволених змінних. Ці формули так і записуються у відповідь.
От і все! Система лінійних рівнянь вирішена! Це досить простий алгоритм, і для його освоєння вам не обов'язково звертатися до репетитора з математики. Розглянемо приклад:
Завдання. Розв'язати систему рівнянь:
Опис кроків:
- Віднімаємо перше рівняння з другого та третього - отримаємо дозволену змінну x 1;
- Помножуємо друге рівняння на (−1), а третє рівняння ділимо на (−3) – отримаємо два рівняння, у яких змінна x 2 входить із коефіцієнтом 1;
- Додаємо друге рівняння до першого, а з третього – віднімаємо. Отримаємо дозволену змінну x 2;
- Нарешті, віднімаємо третє рівняння з першого - отримуємо дозволену змінну x 3;
- Отримали дозволену систему, записуємо відповідь.
Загальне рішення спільної системи лінійних рівнянь - це нова система, рівносильна вихідній, у якій всі дозволені змінні виражені через вільні.
Коли може знадобитися рішення? Якщо доводиться робити менше кроків, ніж k (k – це скільки всього рівнянь). Однак причин, через які процес закінчується на деякому кроці l< k , может быть две:
- Після l-го кроку вийшла система, яка містить рівняння з номером (l + 1). Насправді, це добре, т.к. дозволена система все одно отримана – навіть на кілька кроків раніше.
- Після l -го кроку отримали рівняння, у якому всі коефіцієнти при змінних дорівнюють нулю, а вільний коефіцієнт відмінний від нуля. Це суперечливе рівняння, отже, система несовместна.
Важливо розуміти, що виникнення суперечливого рівняння методом Гаусса - це достатня підстава несумісності. При цьому зауважимо, що в результаті l-го кроку не може залишитися тривіальних рівнянь - всі вони викреслюються у процесі.
Опис кроків:
- Віднімаємо перше рівняння, помножене на 4, з другого. А також додаємо перше рівняння до третього - отримаємо дозволену змінну x 1;
- Віднімаємо третє рівняння, помножене на 2, з другого – отримаємо суперечливе рівняння 0 = −5.
Отже, система несумісна, оскільки виявлено суперечливе рівняння.
Завдання. Дослідити спільність та знайти загальне рішення системи:
Опис кроків:
- Віднімаємо перше рівняння з другого (попередньо помноживши на два) і третього - отримаємо дозволену змінну x 1;
- Віднімаємо друге рівняння з третього. Оскільки всі коефіцієнти цих рівняннях збігаються, третє рівняння перетвориться на тривіальне. Заодно помножимо друге рівняння на (-1);
- Віднімаємо з першого рівняння друге - отримаємо дозволену змінну x 2 . Вся система рівнянь тепер також дозволена;
- Оскільки змінні x 3 і x 4 - вільні, переносимо їх праворуч, щоб висловити дозволені змінні. Це є відповідь.
Отже, система спільна і невизначена, оскільки є дві дозволені змінні (x 1 і x 2) і дві вільні (x 3 і x 4).