Стаття розбирає поняття поділу цілих чисел із залишком. Доведемо теорему про ділимість цілих чисел із залишком та переглянемо зв'язки між ділими та дільниками, неповними приватними та залишками. Розглянемо правила, коли проводиться розподіл цілих чисел із залишками, докладно розглянувши на прикладах. Наприкінці рішення виконаємо перевірку.
Загальне уявлення про поділ цілих чисел із залишками
Розподіл цілих чисел із залишком розглядається як узагальнений поділ із залишком натуральних чисел. Це виконується оскільки натуральні числа – це складова частина цілих.
Поділ із залишком довільного числа свідчить, що ціле число a ділиться число b , відмінне від нуля. Якщо b = 0 тоді не роблять поділ із залишком.
Також як і розподіл натуральних чисел із залишком, проводиться розподіл цілих чисел a і b при b відмінному від нуля, на c і d . У цьому випадку a і b називають ділимим і дільником, а d – залишком розподілу, с – ціле число або неповне приватне.
Якщо вважати, що залишок – це ціле не від'ємне число, Тоді його величина не більше модуля числа b. Запишемо так: 0 ≤ d ≤ b . Цей ланцюжок нерівностей використовується при порівнянні 3 і більше кількості чисел.
Якщо с – неповне приватне, тоді d – залишок від поділу цілого числа a на b коротко можна зафіксувати: a: b = c (зуп. d).
Залишок при розподілі чисел a на b можливий нульовий, тоді кажуть, що a ділиться на націло, тобто без залишку. Поділ без залишку вважається окремим випадком поділу.
Якщо ділимо нуль на деяке число, отримуємо нуль. Залишок поділу також дорівнюватиме нулю. Це можна простежити з теорії про розподіл нуля на ціле число.
Тепер розглянемо сенс поділу цілих чисел із залишком.
Відомо, що цілі позитивні числа – натуральні, тоді при розподілі із залишком вийде такий самий сенс, як і при розподілі натуральних чисел із залишком.
При розподілі цілого негативного числа на ціле позитивне b є сенс. Розглянемо з прикладу. Представивши ситуацію, коли маємо обов'язок предметів у кількості a, яку необхідно погасити b людина. Для цього необхідно кожному зробити однаковий внесок. Щоб визначити величину боргу кожного, необхідно звернути увагу до величину приватного с. Залишок d свідчить, відомо кількість предметів після розплати з боргами.
Розглянемо з прикладу з яблуками. Якщо 2 особи мають 7 яблук. Якщо порахувати, що кожен повинен повернути по 4 яблука, після повного розрахунку у них залишиться 1 яблуко. Запишемо як рівності це: (− 7) : 2 = − 4 (о т. 1) .
Розподіл будь-якого числа але ціле немає сенсу, але можливо як варіант.
Теорема про подільність цілих чисел із залишком
Ми виявили, що а – це подільне, тоді b – це дільник, з – неповне приватне, а d – залишок. Вони між собою пов'язані. Цей зв'язок покажемо за допомогою рівності a = b · c + d. Зв'язок між ними характеризується теоремою ділимості із залишком.
Теорема
Будь-яке ціле число може бути представлене тільки через ціле і відмінне від нуля число b таким чином: a = b · q + r , де q і r – деякі цілі числа. Тут маємо 0 ≤ r ≤ b.
Доведемо можливість існування a = b · q + r.
Доведення
Якщо існують два числа a і b , причому a ділиться на b без залишку, тоді з визначення випливає, що є число q , Що буде правильна рівність a = b · q . Тоді рівність вважатимуться правильною: a = b · q + r при r = 0 .
Тоді необхідно взяти q таке, щоб це нерівністю b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Маємо, що значення виразу a − b · q більше за нуль і не більше значення числа b, звідси випливає, що r = a − b · q . Отримаємо, що число а можемо подати у вигляді a = b · q + r.
Тепер необхідно розглянути можливість подання a = b · q + r для негативних значень b.
Модуль числа виходить позитивним, тоді отримаємо a = b · q 1 + r де значення q 1 - деяке ціле число, r - ціле число, яке підходить умові 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Доказ єдиності
Припустимо, що a = b · q + r , q і r є цілими числами з правильною умовою 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1і r 1є деякими числами, де q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .
Коли з лівої та правих частин віднімається нерівність, тоді отримуємо 0 = b · (q - q 1) + r - r 1, яка рівносильна r - r 1 = b · q 1 - q. Так як використовується модуль, отримаємо рівність r - r 1 = b · q 1 - q.
Задана умова говорить про те, що 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qі q 1- Цілі, причому q ≠ q 1тоді q 1 - q ≥ 1 . Звідси маємо, що b · q 1 - q b . Отримані нерівності r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
Звідси випливає, що по-іншому число a бути представлене не може, окрім такого запису a = b · q + r .
Зв'язок між ділим, дільником, неповним приватним та залишком
За допомогою рівності a = b · c + d можна знаходити невідоме ділене a коли відомий дільник b з неповним приватним c і залишком d .
Приклад 1
Визначити ділене, якщо при ділення отримаємо - 21 неповне приватне 5 і залишок 12 .
Рішення
Необхідно обчислити ділене a при відомому дільнику b = − 21 , неповним приватним с = 5 та залишком d = 12 . Потрібно звернутися до рівності a = b · c + d, звідси отримаємо a = (−21) · 5+12. За дотримання порядку виконання дій помножимо - 21 на 5, після цього отримуємо (−21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93 .
Відповідь: - 93 .
Зв'язок між дільником і неповним приватним і залишком можна виразити за допомогою рівностей: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b і d = a − b · c . З їхньою допомогою ми можемо обчислити дільник, неповне приватне та залишок. Це зводиться до постійного знаходження залишку від поділу цілих цілих чисел a на b з відомим дільником, дільником і неповним приватним. Застосовується формула d = a − b · c. Розглянемо рішення докладно.
Приклад 2
Знайти залишок від розподілу цілого числа - 19 на ціле 3 за відомого неповного приватного рівного - 7 .
Рішення
Щоб обчислити залишок від розподілу, застосуємо формулу виду d = a − b · c . За умовою є усі дані a = − 19 , b = 3 , c = − 7 . Звідси отримаємо d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (різниця − 19 − (− 21) . Цей прикладобчислено за правилом віднімання цілого негативного числа.
Відповідь: 2 .
Усі цілі позитивні числа є натуральними. Звідси випливає, що розподіл виконується за всіма правилами розподілу із залишком натуральних чисел. Швидкість виконання поділу із залишком натуральних чисел важлива, тому що на ньому засноване не тільки поділ позитивних, а й правила поділу цілих довільних.
Найзручніший метод поділу – це стовпчик, тому що простіше і швидше отримати неповне або просто приватне із залишком. Розглянемо рішення докладніше.
Приклад 3
Зробити поділ 14671 на 54 .
Рішення
Даний поділ необхідно виконувати стовпчиком:
Тобто неповне приватне виходить рівним 271, а залишок - 37.
Відповідь: 14 671: 54 = 271 . (Зуст. 37)
Правило поділу із залишком цілого позитивного числа на ціле негативне, приклади
Щоб виконати поділ із залишком позитивного числа на ціле негативне, необхідно сформулювати правило.
Визначення 1
Неповне приватне від поділу цілого позитивного a на ціле негативне b отримуємо число, яке протилежне неповному приватному від поділу модулів чисел a на b. Тоді залишок дорівнює залишку при розподілі a на b.
Звідси маємо, що неповне приватне від поділу цілого послідовного числа на негативне число вважають цілим непозитивним числом.
Отримаємо алгоритм:
- ділити модуль діленого на модуль дільника, тоді отримаємо неповне приватне та
- залишок;
- запишемо число протилежне отриманому.
Розглянемо з прикладу алгоритму розподілу цілого позитивного числа на ціле негативне.
Приклад 4
Виконати поділ із залишком 17 на -5.
Рішення
Застосуємо алгоритм поділу із залишком цілого позитивного числа на негативне. Необхідно розділити 17 на - 5 за модулем. Звідси отримаємо, що неповне приватне дорівнює 3 а залишок дорівнює 2 .
Отримаємо, що число, що шукається від розподілу 17 на - 5 = - 3 із залишком рівним 2 .
Відповідь: 17: (−5) = −3 (зуп. 2).
Приклад 5
Необхідно розділити 45 на -15.
Рішення
Необхідно поділити числа по модулю. Число 45 ділимо на 15 отримаємо приватне 3 без залишку. Отже, число 45 ділиться на 15 без залишку. У відповіді отримуємо - 3 так як розподіл проводилося по модулю.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
Відповідь: 45: (− 15) = − 3 .
Формулювання правила поділу із залишком виглядає так.
Визначення 2
Для того, щоб отримати неповне приватне з поділом цілого негативного a на позитивне b , потрібно застосувати протилежне даному числу і відняти з нього 1 тоді залишок d буде обчислюватися за формулою: d = a − b · c .
З правила можна дійти невтішного висновку, що з розподілі отримаємо ціле неотрицательное число. Для точності рішення застосовують алгоритм розподілу а на b із залишком:
- знайти модулі діленого та дільника;
- ділити за модулем;
- записати протилежне даному число і відняти 1;
- використовувати формулу для залишку d = a − b · c.
Розглянемо з прикладу рішення, де застосовується даний алгоритм.
Приклад 6
Знайти неповне приватне та залишок від розподілу - 17 на 5 .
Рішення
Ділимо задані числа за модулем. Отримуємо, що при розподілі частка дорівнює 3 , а залишок 2 . Оскільки отримали 3 , протилежне - 3 . Необхідно відібрати 1 .
− 3 − 1 = − 4 .
Шукане значення маємо рівне - 4 .
Щоб обчислити залишок, необхідно a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , тоді d = a − b · c = − 17 − 5 · (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3.
Отже, неповним приватним від розподілу є число - 4 із залишком рівним 3 .
Відповідь:(− 17) : 5 = − 4 (зуп. 3).
Приклад 7
Розділити ціле негативне число - 1404 на позитивне 26 .
Рішення
Потрібно зробити поділ стовпчиком і по мудулю.
Ми отримали розподіл модулів чисел без решти. Це означає, що розподіл виконується без залишку, а шукане приватне = - 54 .
Відповідь: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Правило поділу із залишком цілих негативних чисел, приклади
Необхідно сформулювати правило поділу із залишком цілих негативних чисел.
Визначення 3
Для отримання неповного приватного з відділення цілого негативного числа a на ціле негативне b необхідно провести обчислення по модулю, після чого додати 1 , тоді зможемо провести обчислення за формулою d = a − b · c .
Звідси випливає, що неповне окреме від поділу цілих негативних чисел буде число позитивне.
Сформулюємо це правилоу вигляді алгоритму:
- знайти модулі діленого та дільника;
- розділити модуль діленого на модуль дільника з отриманням неповного приватного
- залишком;
- додаток 1 до неповного приватного;
- обчислення залишку, виходячи з формули d = a − b · c.
Даний алгоритм розглянемо з прикладу.
Приклад 8
Знайти неповне приватне та залишок при розподілі - 17 на - 5 .
Рішення
Для правильності рішення застосуємо алгоритм для поділу із залишком. Для початку розділи числа за модулем. Звідси отримаємо, що неповне приватне = 3 а залишок дорівнює 2 . За правилом необхідно скласти неповне приватне та 1 . Отримаємо, що 3 + 1 = 4 . Звідси отримаємо, що неповне окреме від поділу заданих чисел дорівнює 4 .
Для обчислення залишку ми застосуємо формулу. За умовою маємо, що a = − 17 , b = − 5 , c = 4 , тоді, використовуючи формулу, отримаємо d = a − b · c = − 17 − (− 5) · 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Шукана відповідь, тобто залишок, дорівнює 3 , а неповне приватне дорівнює 4 .
Відповідь:(−17): (−5) = 4 (зуп. 3).
Перевірка результату поділу цілих чисел із залишком
Після виконання поділу чисел із залишком необхідно виконувати перевірку. Ця перевірка передбачає 2 етапи. Спочатку йде перевірка залишку d на невід'ємність, виконання умови 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Розглянемо на прикладах.
Приклад 9
Зроблено поділ - 521 на -12. Частка дорівнює 44 , залишок 7 . Виконати перевірку.
Рішення
Оскільки залишок – це число позитивне, його величина є менше, ніж модуль дільника. Дільник дорівнює - 12 означає його модуль дорівнює 12 . Можна перейти до наступного пункту перевірки.
За умовою маємо, що a = − 521 , b = − 12 , c = 44 , d = 7 . Звідси обчислимо b · c + d , де b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . Звідси випливає, що рівність вірна. Перевірку пройдено.
Приклад 10
Виконати перевірку поділу (−17): 5 = − 3 (зуп. − 2). Чи правильна рівність?
Рішення
Сенс першого етапу у тому, що необхідно перевірити розподіл цілих чисел із залишком. Звідси видно, що дія зроблена неправильно, оскільки дано залишок, що дорівнює - 2 . Залишок не є негативним числом.
Маємо, що друга умова виконана, але недостатня для цього випадку.
Відповідь:ні.
Приклад 11
Число - 19 розділили на -3. Неповне приватне дорівнює 7 , а залишок 1 . Перевірити, чи правильно виконано це обчислення.
Рішення
Даний залишок, що дорівнює 1 . Він позитивний. За величиною менше модуля дільника, отже, перший етап виконується. Перейдемо до другого етапу.
Обчислимо значення виразу b · c + d. За умовою маємо, що b = − 3 , c = 7 , d = 1 , отже, підставивши числові значення, отримаємо b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20 . Слід, що a = b · c + d рівність не виконується, оскільки за умови дано а = - 19 .
Звідси випливає, що поділ зроблено з помилкою.
Відповідь:ні.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
У цій статті ми розберемо розподіл цілих чисел із залишком. Почнемо із загального принципу поділу цілих чисел із залишком, сформулюємо та доведемо теорему про подільність цілих чисел із залишком, простежимо зв'язок між ділим, дільником, неповним приватним та залишком. Далі озвучимо правила, якими проводиться розподіл цілих чисел із залишком, і розглянемо застосування цих правил під час вирішення прикладів. Після цього навчимося виконувати перевірку результату поділу цілих чисел із залишком.
Навігація на сторінці.
Загальне уявлення про поділ цілих чисел із залишком
Розподіл цілих чисел із залишком ми розглядатимемо як узагальнення поділу із залишком натуральних чисел. Це пов'язано з тим, що натуральні числа є складовою цілих чисел .
Почнемо з термінів та позначень, які використовуються при описі.
За аналогією з розподілом натуральних чисел із залишком вважатимемо, що результатом розподілу із залишком двох цілих чисел a і b (b не дорівнює нулю) є два цілих числа c і d . Числа a та b називаються ділимимі дільникомвідповідно, число d – залишкомвід розподілу a на b, а ціле число c називається неповним приватним(або просто приватним, якщо залишок дорівнює нулю).
Умовимося вважати, що залишок є ціле невід'ємне число , та його величина вбирається у b , тобто, (подібні ланцюжка нерівностей ми зустрічали, коли говорили порівняння трьох і більшої кількості цілих чисел).
Якщо число c є неповним приватним, а число d – залишком від поділу цілого числа a на ціле число b , цей факт ми коротко записуватимемо як рівність виду a:b=c (зуп. d) .
Зазначимо, що при розподілі цілого числа a на ціле число b залишок може дорівнювати нулю. У цьому випадку кажуть, що a ділиться на b без залишку(або націло). Таким чином, розподіл цілих чисел без залишку є окремим випадком розподілу цілих чисел із залишком.
Також варто сказати, що при розподілі нуля на деяке ціле число ми завжди маємо справу з розподілом без залишку, тому що в цьому випадку приватна буде дорівнює нулю (дивіться розділ теорії розподіл нуля на ціле число), і залишок також буде дорівнює нулю.
З термінологією та позначеннями визначилися, тепер розберемося зі змістом поділу цілих чисел із залишком.
Поділу цілого негативного числа a на ціле позитивне число b теж можна надати сенсу. Для цього розглянемо ціле негативне число як борг. Уявімо таку ситуацію. Борг, який складає предметів, повинні погасити b людина, зробивши однаковий внесок. Абсолютна величина неповного приватного c у разі визначатиме величину боргу кожного з цих людей, а залишок d покаже, скільки предметів залишиться після сплати боргу. Наведемо приклад. Допустимо 2 особи повинні 7 яблук. Якщо вважати, що кожен із них має по 4 яблука, то після сплати боргу у них залишиться 1 яблуко. Цій ситуації відповідає рівність (−7):2=−4 (зуп. 1).
Поділу із залишком довільного цілого числа a на ціле негативне число ми не надаватимемо жодного сенсу, але залишимо за ним право на існування.
Теорема про подільність цілих чисел із залишком
Коли ми говорили про поділ натуральних чисел із залишком, то з'ясували, що ділене a, дільник b, неповне приватне c і залишок d пов'язані між собою рівністю a = b · c + d. Для цілих чисел a, b, c і d характерний такий самий зв'язок. Цей зв'язок затверджується наступним теореми про ділимість із залишком.
Теорема.
Будь-яке ціле число a можна уявити єдиним чином через ціле і відмінне від нуля число b як a=b·q+r , де q і r – деякі цілі числа, причому .
Доведення.
Спочатку доведемо можливість подання a = b · q + r.
Якщо цілі числа і b такі, що a ділиться на націло, то за визначенням існує таке ціле число q, що a = b · q. І тут має місце рівність a=b·q+r при r=0 .
Тепер вважатимемо, що b – ціле позитивне число. Виберемо ціле число q таким чином, щоб добуток bq не перевищував числа a , а добуток b(q+1) було вже більше, ніж a . Тобто, візьмемо q таким, щоб виконувались нерівності b q Залишилося довести можливість подання a = b · q + r для негативних b . Оскільки модуль числа b у разі є позитивним числом, то має місце уявлення , де q 1 – деяке ціле число, а r – ціле число, задовольняє умовам . Тоді, прийнявши q=−q 1 , отримуємо потрібне уявлення a=b·q+r для негативних b . Переходимо до підтвердження єдиності. Припустимо, що крім уявлення a=b·q+r , q і r – цілі числа і існує ще одне уявлення a=b·q 1 +r 1 , де q 1 і r 1 – деякі цілі числа, причому q 1 ≠ q та . Після віднімання з лівої та правої частини першої рівності відповідно лівої та правої частини другої рівності, отримуємо 0=b·(q−q 1)+r−r 1 , яка рівносильна рівності r−r 1 =b·(q 1 −q) . Тоді має бути справедлива і рівність виду З умов і можна дійти невтішного висновку, что . Оскільки q і q 1 – цілі та q≠q 1 , то , звідки укладаємо, що Рівність a=b·c+d дозволяє знаходити невідоме ділене a якщо відомі дільник b , неповне приватне c і залишок d . Розглянемо приклад. приклад. Чому одно ділене, якщо його розподілі на ціле число −21 вийшло неповне приватне 5 і залишок 12 ? Рішення. Нам потрібно обчислити ділене a коли відомий дільник b = -21 , неповне приватне c = 5 і залишок d = 12 . Звернувшись до рівності a=b·c+d отримуємо a=(−21)·5+12 . Дотримуючись спочатку проводимо множення цілих чисел −21 і 5 за правилом множення цілих чисел з різними знаками , після чого виконуємо складання цілих чисел з різними знаками : (−21)·5+12=−105+12=−93 . Відповідь: −93
.
Зв'язки між ділимим, дільником, неповним приватним і залишком також виражаються рівностями виду b=(a−d):c , c=(a−d):b та d=a−b·c . Ці рівності дозволяють обчислювати дільник, неповне приватне та залишок відповідно. Нам часто доведеться знаходити залишок від поділу цілого числа a на ціле число b, коли відомі поділення, дільник і неповне приватне, використовуючи формулу d = a-b · c. Щоб надалі не виникало питань, розберемо приклад обчислення решти. приклад. Знайдіть залишок від поділу цілого числа −19 на ціле число 3 якщо відомо, що неповне приватне дорівнює −7 . Рішення. Для обчислення залишку від розподілу скористаємося формулою виду d=a−b·c. З умови маємо всі необхідні дані a = -19, b = 3, c = -7. Отримуємо d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (різниця −19−(−21) ми обчислювали за правилом віднімання цілого негативного числа ). Відповідь: Як ми вже не раз зазначали, цілі позитивні числа є натуральними числами. Тому розподіл із залишком цілих позитивних чисел проводиться за всіма правилами розподілу із залишком натуральних чисел. Дуже важливо вміти з легкістю виконувати розподіл із залишком натуральних чисел, оскільки саме воно лежить в основі поділу не тільки цілих позитивних чисел, але й в основі всіх правил поділу із залишком довільних цілих чисел. На наш погляд найбільш зручно виконувати поділ стовпчиком, цей спосіб дозволяє отримати і неповне приватне (або просто приватне) і залишок. Розглянемо приклад поділу із залишком цілих позитивних чисел. приклад. Виконайте поділ із залишком числа 14 671 на 54 . Рішення. Виконаємо поділ даних цілих позитивних чисел стовпчиком: Неповне приватне вийшло рівним 271 , а залишок дорівнює 37 . Відповідь: 14 671:54 = 271 (зуп. 37) . Сформулюємо правило, що дозволяє виконувати поділ із залишком цілого позитивного числа на негативне число. Неповне приватне від розподілу цілого позитивного числа a на ціле негативне число b являє собою число, протилежне неповному приватному від розподілу a на модуль числа b, а залишок від розподілу a на b дорівнює залишку від розподілу на . З цього правила випливає, що неповне окреме від поділу цілого позитивного числа на ціле негативне число є цілим непозитивним числом. Переробимо озвучене правило алгоритм ділення з залишком цілого позитивного числа на ціле негативне: Наведемо приклад використання алгоритму розподілу цілого позитивного числа на ціле негативне. приклад. Виконайте поділ із залишком цілого позитивного числа 17 на ціле від'ємне число −5 . Рішення. Скористаємося алгоритмом поділу із залишком цілого позитивного числа на ціле негативне. Розділивши Число, протилежне числу 3 - це -3. Таким чином, шукане неповне приватне від розподілу 17 на -5 дорівнює -3, а залишок дорівнює 2 . Відповідь: 17 :(−5)=−3 (зуп. 2). приклад. Розділіть 45 на −15 . Рішення. Модулі діленого та дільника дорівнюють 45 і 15 відповідно. Число 45 ділиться на 15 без залишку, приватна при цьому дорівнює 3 . Отже, ціле позитивне число 45 ділиться на ціле негативне число −15 без залишку, приватне при цьому дорівнює числу, протилежному 3 тобто −3 . Справді, за правилом поділу цілих чисел із різними знаками маємо . Відповідь: 45:(−15)=−3
.
Дамо формулювання правила поділу із залишком цілого негативного числа на ціле позитивне. Щоб отримати неповне приватне c від розподілу цілого негативного числа a на ціле позитивне число b потрібно взяти число, протилежне неповному приватному від розподілу модулів вихідних чисел і відняти з нього одиницю, після чого залишок d обчислити за формулою d=a-b·c. З цього правила поділу із залишком випливає, що неповне приватне від поділу цілого негативного на ціле позитивне число є цілим негативним числом. З озвученого правила випливає алгоритм розподілу із залишком цілого негативного числа a на ціле позитивне b: Розберемо рішення прикладу, у якому скористаємося записаним алгоритмом поділу із залишком. приклад. Знайдіть неповне приватне і залишок від поділу цілого від'ємного числа −17 на ціле позитивне число 5 . Рішення. Модуль діленого −17 дорівнює 17 а модуль дільника 5 дорівнює 5 . Розділивши 17 на 5 , отримуємо неповне приватне 3 та залишок 2 . Число, протилежне 3 є −3 . Віднімаємо з −3 одиницю: −3−1=−4 . Отже, неповне приватне, що шукається, дорівнює −4 . Залишилося обчислити решту. У нашому прикладі a=−17 , b=5 , c=−4 , тоді d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 . Таким чином, неповне приватне від поділу цілого негативного числа -17 на ціле позитивне число 5 дорівнює -4, а залишок дорівнює 3 . Відповідь: (-17): 5 = -4 (зуп. 3) . приклад. Розділіть ціле від'ємне число −1 404 на ціле позитивне число 26 . Рішення. Модуль діленого дорівнює 1404 , модуль дільника дорівнює 26 . Розділимо 1404 на 26 стовпчиком: Так як модуль поділеного розділився на модуль дільника без залишку, то вихідні цілі числа діляться без залишку, причому шукане приватне дорівнює числу, протилежному 54 тобто −54 . Відповідь: (−1 404):26=−54
.
Сформулюємо правило поділу із залишком цілих негативних чисел. Щоб отримати неповне приватне c від поділу цілого від'ємного числа a на ціле від'ємне число b потрібно обчислити неповне приватне від поділу модулів вихідних чисел і додати до нього одиницю, після цього залишок d обчислити за формулою d=a-b·c . З цього правила випливає, що неповна частка від поділу цілих негативних чисел є цілим позитивним числом. Перепишемо озвучене правило як алгоритму поділу цілих негативних чисел: Розглянемо застосування алгоритму поділу цілих негативних чисел під час вирішення прикладу. приклад. Знайдіть неповне приватне і залишок від поділу цілого від'ємного числа −17 на ціле від'ємне число −5 . Рішення. Скористаємося відповідним алгоритмом поділу із залишком. Модуль діленого дорівнює 17 модуль дільника дорівнює 5 . Поділ 17 на 5 дає неповне приватне 3 та залишок 2 . До неповного приватного 3 додаємо одиницю: 3+1=4 . Отже, шукане неповне приватне від розподілу −17 на −5 дорівнює 4 . Залишилося обчислити решту. У цьому прикладі a=−17 , b=−5 , c=4 , тоді d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 . Отже, неповне приватне від поділу цілого негативного числа −17 на ціле негативне число −5 дорівнює 4 а залишок дорівнює 3 . Відповідь: (−17):(−5)=4 (зуп. 3) . Після того, як виконано поділ цілих чисел із залишком, корисно виконати перевірку отриманого результату. Перевірка проводиться у два етапи. У першому етапі перевіряється, чи є залишок d неотрицательным числом, і навіть перевіряється виконання умови . Якщо всі умови першого етапу перевірки виконані, то можна приступати до другого етапу перевірки, інакше можна стверджувати, що при розподілі із залишком десь була допущена помилка. З другого краю етапі перевіряється справедливість рівності a=b·c+d . Якщо це рівність справедливо, то розподіл із залишком було проведено правильно, інакше – десь було допущено помилку. Розглянемо рішення прикладів, у яких виконується перевірка результату поділу цілих чисел із залишком. приклад. При розподілі числа −521 на −12 було отримано неповне приватне 44 та залишок 7 , виконайте перевірку результату. Рішення. −2 при b=−3, c=7, d=1. Маємо b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Отже, рівність a=b·c+d – неправильне (у прикладі a=−19 ). Отже, розподіл із залишком було проведено неправильно. Розглянемо простий приклад: Іноді натуральну кількість повністю поділити не можна націло. Наприклад, розглянемо завдання: Рішення: Ми знаємо, що 16 на 5 не ділитися. Найближча менша кількість, яка ділиться на 5 це 15 і 1 в залишку. Число 15 ми можемо розписати як 5⋅3. Через війну (16 – ділене, 5 – дільник, 3 – неповне приватне, 1 – залишок). Отримали формулу поділу із залишком,за якою можна зробити перевірку рішення. a=
b⋅
c+
d Відповідь: кожна дитина візьме по 3 іграшки та одна іграшка залишиться. Залишок завжди повинен бути меншим за дільник. Якщо при розподілі залишок дорівнює нулю, це означає, що ділене ділитися націлоабо без залишку на дільник. Якщо при розподілі залишок більший за дільник, це означає, що знайдене число не найбільше. Існує число більше, яке поділить поділене і залишок буде меншим за дільник. Питання по темі "Поділ із залишком":
Залишок може дорівнювати дільнику? Як знайти ділене по неповному приватному, дільнику та залишку? Приклад №1:
Рішення: 258 – ділене, б) Ділим стовпчиком: 1873 – ділене, Підставимо у формулу і перевіримо, чи правильно ми вирішили приклад: Приклад №2:
Відповідь: Приклад №3:
Відповідь: Приклад №4:
Рішення: б) Вирішимо за допомогою формули: Завдання:
Дріт 4м. потрібно розрізати на шматки по 13см. Скільки таких шматків вийде? Рішення: Відповідь: 30 шматків вийде і 10 см. дроту залишиться. Ознаки ділимості чисел– це правила, що дозволяють не виробляючи поділу порівняно швидко з'ясувати, чи це число ділиться на задане без залишку. Це одна з найпростіших ознак ділимості. Звучить він так: якщо запис натурального числа закінчується парною цифрою, воно парне (ділиться без залишку на 2), і якщо запис числа закінчується непарною цифрою, це число непарно. Ця ознака ділимості зовсім інші правила: якщо сума цифр числа ділиться на 3, те й число ділиться на 3; якщо сума цифр числа не ділиться на 3, то число не ділиться на 3. Ця ознака ділимості буде складнішою. Якщо останні 2 цифри числа утворюють число, що ділиться на 4 або це 00, то число ділиться на 4, в іншому випадку дане число не ділиться на 4 без залишку. І знову перед нами досить проста ознака ділимості: якщо запис натурального числа закінчується цифрою 0 або 5, то це число ділиться без залишку на 5. Якщо ж запис числа закінчується іншою цифрою, то без залишку на 5 не ділиться. Перед нами складове число 6, яке є добутком чисел 2 і 3. Тому ознака ділимості на 6 теж є складовою: для того, щоб число ділилося на 6, воно повинно відповідати двом ознак ділимості одночасно: ознаки ділимості на 2 та ознаки ділимості на 3. При цьому зверніть увагу, що таке складове число, як 4, має індивідуальну ознаку ділимості, адже воно є призведенням числа 2 на само себе. Але повернемося до ознаки поділення на 6. Ця ознака ділимості складніша: число ділиться на 7, якщо результат віднімання подвоєної останньої цифри з числа десятків цього числа ділиться на 7 або дорівнює 0. Ознака ділимості на 8 звучить так: якщо останні 3 цифри утворюють число, що ділиться на 8, або 000, то задане число ділиться на 8. Ця ознака ділимості схожа з ознакою ділимості на 3: якщо сума цифр числа ділиться на 9, то число ділиться на 9; якщо сума цифр числа не ділиться на 9, то число не ділиться на 9. Дані ознаки ділимості я об'єднав тому, що їх можна описати однаково: число ділиться на розрядну одиницю, якщо кількість нулів на кінці числа більша або дорівнює кількості нулів заданої розрядної одиниці. Щоб з'ясувати, чи ділиться число на 11, треба отримати різницю сум парних і непарних цифр цього числа. Якщо ця різниця дорівнює 0 або ділиться на 11 без залишку, то й саме число ділиться на 11 без залишку. Число 12 є складовим. Його ознакою ділимості є відповідність ознак ділимості на 3 і 4 одночасно. Ознакою ділимості на 13 і те, що й число десятків числа, складене з помноженими на 4 одиницями цього числа, буде кратно 13 чи дорівнює 0, те саме число ділиться на 13. Як видно з перерахованого вище, можна припустити, що до будь-якого з натуральних чисел можна підібрати свою індивідуальну ознаку ділимості або ж "складовий" ознака, якщо число кратно кільком різним числам. Але як показує практика, переважно чим більше число, тим складніше його ознака. Можливо, час, витрачений на перевірку ознаки ділимості, може виявитися одно або більше, ніж сам поділ. Тому ми і використовуємо зазвичай найпростіші ознаки ділимості.
, а з властивостей модуля числа - і рівність 
.
. З отриманих нерівностей та слід, що рівність виду неможливо за нашого припущення. Тому, немає іншого уявлення числа a , крім a=b·q+r .Зв'язки між ділим, дільником, неповним приватним та залишком
Поділ із залишком цілих позитивних чисел, приклади
Правило поділу із залишком цілого позитивного числа на ціле негативне, приклади
Поділ із залишком цілого негативного числа на ціле позитивне, приклади
Правило поділу із залишком цілих негативних чисел, приклади
Перевірка результату поділу цілих чисел із залишком
15:5=3
У цьому прикладі натуральне число 15 ми поділили націлона 3, без залишку.
У шафі лежало 16 іграшок. У групі було п'ятеро дітей. Кожна дитина взяла однакову кількість іграшок. Скільки іграшок у кожної дитини?
Поділимо число 16 на 5 стовпчиком отримаємо:
a - ділене,
b - дільник,
c - Неповне приватне,
d - Залишок.Залишок від ділення
Залишок може бути більшим за дільник?
Відповідь: ні.
Відповідь: ні.
Відповідь: значення неповного приватного, дільника та залишку підставляємо у формулу та знаходимо ділене. Формула:
a=b⋅c+d
Виконайте поділ із залишком і перевірте: а) 258:7 б) 1873:8
а) Ділим стовпчиком: 
7 – дільник,
36 - неповне приватне,
6 – залишок. Залишок менший від дільника 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
8 – дільник,
234 - неповне приватне,
1 – залишок. Залишок менший від дільника 1<8.
8⋅234+1=1872+1=1873
Які залишки виходять при розподілі натуральних чисел: а) 3 б)8?
а) Залишок менше дільника, отже, менше 3. У нашому випадку залишок може дорівнювати 0, 1 або 2.
б) Залишок менше дільника, отже, менше 8. У нашому випадку залишок може дорівнювати 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 або 7.
Який найбільший залишок може вийти при розподілі натуральних чисел: а) 9; б) 15?
а) Залишок менший від дільника, отже, менший за 9. Але нам треба вказати найбільший залишок. Тобто найближче число до дільника. Це число 8.
б) Залишок менший від дільника, отже, менший за 15. Але нам треба вказати найбільший залишок. Тобто найближче число до дільника. Це число є 14.
Знайдіть ділене: а) а: 6 = 3 (зуп.4) б) з: 24 = 4 (зуп.11)
а) Вирішимо за допомогою формули:
a=b⋅c+d
(a – ділене, b – дільник, c – неповне приватне, d – залишок.)
а: 6 = 3 (зуст.4)
(a – ділене, 6 – дільник, 3 – неповне приватне, 4 – залишок.) Підставимо цифри у формулу:
а=6⋅3+4=22
Відповідь: а = 22
a=b⋅c+d
(a – ділене, b – дільник, c – неповне приватне, d – залишок.)
з: 24 = 4 (зуп.11)
(с – ділене, 24 – дільник, 4 – неповне приватне, 11 – залишок.) Підставимо цифри у формулу:
с=24⋅4+11=107
Відповідь: с=107
Спершу треба метри перевести в сантиметри.
4м. = 400см.
Можна поділити стовпчиком або в умі отримаємо:
400: 13 = 30 (зуп.10)
Перевіримо:
13⋅30+10=390+10=400
Деякі з ознак подільностідосить прості, деякі складніші. На цій сторінці Ви можете знайти ознаки ділимості простих чисел, таких як, наприклад, 2, 3, 5, 7, 11, так і ознаки ділимості складених чисел, таких, як 6 або 12.
Сподіваюся, ця інформація буде Вам корисною.
Приємного навчання! Ознака ділимості на 2
Іншими словами, якщо остання цифра числа дорівнює 2
, 4
, 6
, 8
або 0
- Число ділиться на 2, якщо ні, то не ділиться
Наприклад, числа: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
діляться на 2, тому що вони парні.
А числа: 23 5
, 137
, 2303
на 2 не діляться, бо вони непарні. Ознака ділимості на 3
Отже, щоб зрозуміти, чи ділиться число на 3, треба лише скласти між собою цифри, з яких воно складається.
Виглядає так: 3987 і 141 діляться на 3, тому що в першому випадку 3+9+8+7= 27
(27:3=9 - ділиться без залишку на 3), а у другому 1+4+1= 6
(6:3=2 – теж ділиться без залишку на 3).
А ось числа: 235 та 566 на 3 не діляться, бо 2+3+5= 10
та 5+6+6= 17
(а ми знаємо, що ні 10 ні 17 не діляться на 3 без залишку). Ознака ділимості на 4
Наприклад: 1 00
та 3 64
діляться на 4, тому що в першому випадку число закінчується на 00
, а у другому на 64
, Що у свою чергу ділиться на 4 без залишку (64:4=16)
Числа 3 57
та 8 86
не діляться на 4, тому що ні 57
ні 86
на 4 не діляться, а отже, не відповідають даній ознакі ділимості. Ознака ділимості на 5
Це означає, що будь-які числа, що закінчуються цифрами 0
і 5
наприклад 1235 5
та 43 0
, Підпадають під правило і діляться на 5.
А, наприклад, 1549 3
та 56 4
не закінчуються на цифру 5 чи 0, отже вони можуть ділитися на 5 без залишку. Ознака ділимості на 6
Числа 138 і 474 парні і відповідають ознакам ділимості на 3 (1+3+8=12, 12:3=4 і 4+7+4=15, 15:3=5), отже вони діляться на 6. Зате 123 і 447 хоч і діляться на 3 (1+2+3=6, 6:3=2 і 4+4+7=15, 15:3=5), але вони непарні, а значить не відповідають ознакі ділимості на 2, а отже й не відповідають ознакі подільності на 6. Ознака ділимості на 7
Звучить досить заплутано, але практично просто. Дивіться самі: число 95
9 ділиться на 7, тому що 95
-2 * 9 = 95-18 = 77, 77: 7 = 11 (77 ділиться на 7 без залишку). Причому якщо з отриманим під час перетворень числом виникли складності (через його розмір складно зрозуміти, ділиться воно на 7 чи ні, то цю процедуру можна продовжувати стільки разів, скільки Ви вважаєте за потрібне).
Наприклад, 45
5 та 4580
1 мають ознаки подільності на 7. У першому випадку все досить просто: 45
-2 * 5 = 45-10 = 35, 35: 7 = 5. У другому випадку ми вчинимо так: 4580
-2 * 1 = 4580-2 = 4578. Нам важко зрозуміти, чи ділиться 457
8 на 7, тому повторимо процес: 457
-2 * 8 = 457-16 = 441. І знову скористаємося ознакою подільності, тому що перед нами поки що тризначне число 44
1. Отже, 44
-2 * 1 = 44-2 = 42, 42: 7 = 6, тобто. 42 ділиться на 7 без залишку, а значить і 45 801 ділиться на 7.
А ось числа 11
1 та 34
5 не діляться на 7, тому що 11
-2 * 1 = 11-2 = 9 (9 не ділиться без залишку на 7) і 34
-2 * 5 = 34-10 = 24 (24 не ділиться без залишку на 7). Ознака ділимості на 8
Числа 1 000
або 1 088
діляться на 8: перше закінчується на 000
, у другого 88
:8=11 (ділиться на 8 без залишку).
А ось числа 1 100
або 4 757
не діляться на 8, тому що числа 100
і 757
не діляться без залишку на 8. Ознака ділимості на 9
Наприклад: 3987 та 144 діляться на 9, тому що в першому випадку 3+9+8+7= 27
(27:9=3 – ділиться без залишку на 9), а у другому 1+4+4= 9
(9:9=1 – теж ділиться без залишку на 9).
А ось числа: 235 та 141 на 9 не діляться, бо 2+3+5= 10
та 1+4+1= 6
(а ми знаємо, що ні 10, 6 не діляться на 9 без залишку). Ознаки подільності на 10, 100, 1000 та інші розрядні одиниці
Іншими словами, наприклад, ми маємо такі числа: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. з них усі діляться на 1 0
; 46400
та 867 000
діляться ще й на 1 00
; і лише одне з них – 867 000
ділиться на 1 000
.
Будь-які числа, у яких кількість нулів на кінці менша ніж у розрядної одиниці, не поділяються на цю розрядну одиницю, наприклад 600 30
та 7 93
не діляться 1 00
.Ознака ділимості на 11
Щоб було зрозуміліше, пропоную розглянути приклади: 2
35
4 ділиться на 11, тому що ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 теж ділиться на 11, тому що ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
А ось 1 1
1 або 4
35
4 не діляться на 11, тому що в першому випадку у нас виходить (1+1)- 1
=1, а в другому ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.Ознака ділимості на 12
Наприклад 300 і 636 відповідають і ознаками ділимості на 4 (останні 2 цифри це нулі або діляться на 4) і ознаками ділимості на 3 (сума цифр і першого та втрьох числа діляться на 3), а отже, вони діляться на 12 без залишку.
А ось 200 або 630 не діляться на 12, тому що в першому випадку число відповідає лише ознакою ділимості на 4, а в другому - лише ознакою ділимості на 3. але не обох ознак одночасно. Ознака ділимості на 13
Візьмемо для прикладу 70
2. Отже, 70
+4 * 2 = 78, 78: 13 = 6 (78 ділиться без залишку на 13), значить і 70
2 ділиться на 13 без залишку. Ще приклад - число 114
4. 114
+4 * 4 = 130, 130: 13 = 10. Число 130 ділиться на 13 без залишку, а значить задане число відповідає ознакою ділимості на 13.
Якщо ж узяти числа 12
5 або 21
2, то отримуємо 12
+4 * 5 = 32 і 21
+4*2=29 відповідно, і ні 32 ні 29 не діляться на 13 без залишку, отже, і задані числа не діляться без залишку на 13.Подільність чисел