Які багатокутники називають. Правильний багатокутник

Частина площини, обмежена замкненою ламаною лінією, називається багатокутником.

Відрізки цієї ламаної лінії називаються сторонамибагатокутник. АВ, НД, CD, DE, ЕА (рис. 1) - сторони багатокутника ABCDE. Сума всіх сторін багатокутника називається його периметром.

Багатокутник називається опуклимякщо він розташований по одну сторону від будь-якої своєї сторони, необмежено продовженої за обидві вершини.

p align="justify"> Багатокутник MNPKO (рис. 1) не буде опуклим, так як він розташований не по одну сторону прямої КР.

Ми розглядатимемо лише опуклі багатокутники.

Кути, складені двома сусідніми сторонами багатокутника, називаються його внутрішнімикутами, а вершини їх - вершинами багатокутника.

Відрізок прямий, що з'єднує дві несусідні вершини багатокутника, називається діагоналлю багатокутника.

АС, AD – діагоналі багатокутника (рис. 2).

Кути, суміжні із внутрішніми кутами багатокутника, називаються зовнішніми кутами багатокутника (рис. 3).

Залежно від числа кутів (сторін) багатокутник називається трикутником, чотирикутником, п'ятикутником і т.д.

Два багатокутники називаються рівними, якщо їх можна поєднати накладенням.

Вписані та описані багатокутники

Якщо всі вершини багатокутника лежать на колі, то багатокутник називається вписанимв коло, а коло - описаноюбіля багатокутника (рис).

Якщо всі сторони багатокутника є дотичні до кола, то багатокутник називається описанимбіля кола, а коло називається вписаноюбагатокутник (рис).

Подібність багатокутників

Два однойменних багатокутники називаються подібними, якщо кути одного з них відповідно дорівнюють кутам іншого, а подібні сторони багатокутників пропорційні.

Однойменними називаються багатокутники, що мають однакову кількість сторін (кутів).

Подібними називаються сторони подібних багатокутників, що з'єднують вершини відповідно до рівних кутів (рис).

Так, наприклад, щоб багатокутник ABCDE був подібний до багатокутника A'B'C'D'E', необхідно, щоб: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠С = ∠С' ∠D = ∠D' ∠ Е = ∠Е' і, крім того, AB/A'B' = BC/B'C' = CD/C'D' = DE/D'E' = EA/E'A'.

Відношення периметрів подібних багатокутників

Спочатку розглянемо властивість низки рівних відносин. Нехай маємо, наприклад, відносини: 2/1=4/2=6/3=8/4=2.

Знайдемо суму попередніх членів цих відносин, потім - суму їх наступних членів та знайдемо відношення отриманих сум, отримаємо:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Те саме ми отримаємо, якщо візьмемо ряд якихось інших відносин, наприклад: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Знайдемо суму попередніх членів цих відносин і суму наступних, а потім знайдемо відношення цих сум, отримаємо:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

У тому й іншому випадку сума попередніх членів низки рівних відносин відноситься до суми наступних членів цього ж ряду, як попередній член будь-якого з цих відносин відноситься до свого наступного.

Ми вивели цю властивість, розглянувши ряд числових прикладів. Воно може бути виведено строго та у загальному вигляді.

Тепер розглянемо ставлення периметрів таких багатокутників.

Нехай багатокутник ABCDE подібний до багатокутника A'B'C'D'E' (рис).

З подоби цих багатокутників випливає, що

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

На підставі виведеної нами властивості ряду рівних відносин можемо написати:

Сума попередніх членів взятих нами відносин є периметром першого багатокутника (Р), а сума наступних членів цих відносин є периметром другого багатокутника (Р'), значить, P / P' = AB / A'B' .

Отже, периметри подібних багатокутників відносяться як їхні подібні сторони.

Відношення площ подібних багатокутників

Нехай ABCDE та A'B'C'D'E' - подібні багатокутники (рис).

Відомо, що ΔAВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' і ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Крім того,

;

Оскільки другі відносини цих пропорцій рівні, що випливає з подоби багатокутників, то

Використовуючи властивість ряду рівних відносин отримаємо:

Або

де S і S - площі даних подібних багатокутників.

Отже, площі таких багатокутників відносяться як квадрати подібних сторін.

Отриману формулу можна перетворити на такий вид: S / S' = (AВ / A'В') 2

Площа довільного багатокутника

Нехай потрібно обчислити площу довільного чотирикутника АВСС (рис).

Проведемо у ньому діагональ, наприклад АD. Отримаємо два трикутники АВD та АСD, площі яких обчислювати вміємо. Потім знаходимо суму площ цих трикутників. Отримана сума і виражатиме площу даного чотирикутника.

Якщо потрібно обчислити площу п'ятикутника, то чинимо так само: з однієї якої-небудь вершини проводимо діагоналі. Отримаємо три трикутники, площі яких можемо обчислити. Отже, можемо знайти й площу цього п'ятикутника. Також робимо при обчисленні площі будь-якого багатокутника.

Площа проекції багатокутника

Нагадаємо, що кутом між прямою та площиною називається кут між даною прямою та її проекцією на площину (рис.).

Теорема. Площа ортогональної проекції багатокутника на площину дорівнює площі багатокутника, що проектується, помноженої на косинус кута, утвореного площиною багатокутника і площиною проекції.

Кожен багатокутник можна розбити на трикутники, сума площ яких дорівнює площі багатокутника. Тому теорему достатньо довести для трикутника.

Нехай ΔАВС проектується на площину р. Розглянемо два випадки:

а) одна зі сторін ΔАВС паралельна до площини р;

б) жодна із сторін ΔАВС не паралельна р.

Розглянемо перший випадок: Нехай [АВ] || р.

Проведемо через (АВ) площину р 1 || рі спроектуємо ортогонально ΔАВС на р 1 і на р(Мал.); отримаємо ΔАВС 1 і ΔА'В'С'.

За якістю проекції маємо ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С', і тому

S Δ ABC1 = S Δ A'B'C'

Проведемо ⊥ та відрізок D 1 C 1 . Тоді ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ є величина кута між площиною ΔАВС та площиною р 1 . Тому

S Δ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | АВ | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

і, отже, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Перейдемо до розгляду другого випадку. Проведемо площину р 1 || рчерез ту вершину ΔАВС, відстань від якої до площини рнайменше (нехай це буде вершина А).

Спроектуємо ΔАВС на площині р 1 та р(Мал.); нехай його проекціями будуть відповідно ΔАВ 1 С 1 і ΔА'В'С'.

Нехай (ВС) ∩ p 1 = D. Тоді

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Інші матеріали

Володіння термінологією, а також знання властивостей різних геометричних фігур допоможуть у вирішенні багатьох задач з геометрії. Вивчаючи такий розділ як планиметрія, учень нерідко зустрічає термін "багатокутник". Яку фігуру характеризує це поняття?

Багатокутник – визначення геометричної фігури

Замкнена ламана лінія, усі ділянки якої лежать в одній площині і не мають ділянок самоперетину, утворює геометричну фігуру під назвою багатокутник. Число ланок ламаної має бути не менше 3-х. Іншими словами, багатокутник окреслюється частина площини, межею якої виступає замкнута ламана.

У ході вирішення завдань за участю багатокутника нерідко фігурують такі поняття як:

• Сторона багатокутника. Цей термін характеризує відрізок (ланка) ламаного ланцюга шуканої фігури.
• Кут багатокутника (внутрішній) – кут, який формують 2 суміжні ланки ламаної.
• Вершина багатокутника визначається як вершина ламаною.
• Діагональ багатокутника – відрізок, що з'єднує будь-які 2 вершини (крім сусідніх) багатокутної фігури.

При цьому число ланок і вершин ламаної в межах одного багатокутника збігаються. Залежно кількості кутів (чи відрізків ламаної відповідно) визначається вид багатокутника:

• 3 кути – трикутник.
• 4 кути – чотирикутник.
• 5 кутів – п'ятикутник тощо.

Якщо багатокутна фігура має рівні кути і відповідно сторони, то кажуть, що багатокутник правильний.

Типи багатокутників

Всі багатокутні геометричні фігури поділяються на 2 типи – опуклі та увігнуті.

• Якщо будь-яка із сторін багатокутника після продовження до прямої не утворює з власне фігурою точок перетину, перед вами опукла багатокутна фігура.
• Якщо після продовження сторони (будь-якої) отримана пряма перетинає багатокутник, мова йдепро увігнутий багатокутник.

Властивості багатокутника

Незалежно від того, є багатокутна фігура, що вивчається, правильною чи ні, вона має наведені нижче властивості. Так:

• Її внутрішні кути сумарно утворюють (p – 2)*π, де

π – радіальна міра розгорнутого кута, що відповідає 180°,

p - Число кутів (вершин) багатокутної фігури (p-кутника).

• Кількість діагоналей будь-якої багатокутної фігури визначається із співвідношення p * (p - 3) / 2, де

p - Число сторін p-кутника.

Концепція багатокутника. Що таке багатокутник

Багатокутник- це геометрична фігура, Що являє собою замкнуту ламану лінію

Існують три варіанти визначення багатокутників:

• Багатокутник – це плоска замкнута ламана лінія;
• Багатокутник – це плоска замкнута ламана лінія без самоперетинів;
• Багатокутник – це частина площини, яка обмежена замкненою ламаною.

Вершини ламаної називаються вершинами багатокутника, а відрізки - сторонами багатокутника.

Вершинибагатокутника називаються сусіднімиякщо вони є кінцями однієї з його сторін.

Відрізки, що з'єднують несусідні вершини багатокутника, називаються діагоналями.

Кутом (або внутрішнім кутом) багатокутникапри цій вершині називається кут, утворений його сторонами, що сходяться в цій вершині, і знаходиться у внутрішній ділянці багатокутника.

Зовнішнім кутом опуклого багатокутникапри цій вершині називається кут, суміжний внутрішньому куту багатокутника при цій вершині. У загальному випадку зовнішній кут це різниця між 180° та внутрішнім кутом

Багатокутник називають опуклим, за умови, що одна з таких умов є вірною:

• Випуклий багатокутник лежить по одну сторону від будь-якої прямої, що з'єднує сусідні вершини;
• Випуклий багатокутник є перетином декількох напівплощин;
• Будь-який відрізок з кінцями в точках, що належать опуклому багатокутнику, повністю належить йому.

Опуклий багатокутник називається правильним, якщо у нього всі сторони рівні і всі кути рівні, наприклад, рівносторонній трикутник, квадрат і правильний п'ятикутник.

Випуклий багатокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на одному колі.

Опуклий багатокутник називається описаним біля кола, якщо всі його сторони торкаються деякого кола.

Класифікація (види) багатокутників

Класифікація багатокутників за видами може бути за багатьма властивостями, найголовніші з них:

• кількість вершин
• опуклість
• правильність
• можливість вписати або описати коло

Багатокутник з трьома вершинами називається трикутником (див. трикутник), багатокутник із чотирма вершинами називається чотирикутник (див. чотирикутник) і так далі за кількістю вершин.

Випуклий багатокутник лежить завжди по одну сторону від прямої, яка містить будь-яку його сторону. (див. вище)

У правильного багатокутника рівні всі боки та кути. Завдяки цьому вони мають деякі особливі властивості (див. квадрат).

Самопересічні багатокутники також можуть бути правильними. Наприклад, пентаграма ("п'ятикутна зірка").

Також багатокутники можна розрізняти стосовно можливості вписати в багатокутник або описати коло біля багатокутника. Можуть бути багатокутники, навколо яких не можна описати коло, а також вписати його. Разом про те, навколо будь-якого трикутника завжди можна описати окружність .

Властивості багатокутника

• Сума внутрішніх кутів n-кутника дорівнює (n − 2)π.
• Сума внутрішніх кутів правильного n-кутника дорівнює 180(n − 2).
• Число діагоналей будь-якого багатокутника дорівнює n(n − 3) / 2, де n – число сторін.

Багатокутник- це геометрична фігура, обмежена замкненою ламаною лінією, що не має самоперетинів.

Ланки ламаною називаються сторонами багатокутника, а її вершини - вершинами багатокутника.

Кутамибагатокутника називаються внутрішні кути, утворені сусідніми сторонами. Число кутів багатокутника дорівнює числу його вершин і сторін.

Багатокутникам надаються назви за кількістю сторін. Багатокутник із найменшою кількістю сторін називається трикутником, він має лише три сторони. Багатокутник із чотирма сторонами називається чотирикутником, із п'ятьма - п'ятикутником тощо.

Позначення багатокутника становлять із букв, що стоять при його вершинах, називаючи їх по порядку (за годинниковою або проти годинникової стрілки). Наприклад, кажуть чи пишуть: п'ятикутник ABCDE :

У п'ятикутнику ABCDEкрапки A, B, C, Dі E- це вершини п'ятикутника, а відрізки AB, BC, CD, DEі EA- Сторони п'ятикутника.

Випуклі та увігнуті

Багатокутник називається опуклимякщо жодна з його сторін, продовжена до прямої лінії, його не перетинає. У протилежному випадку багатокутник називається увігнутим:

Периметр

Сума довжин усіх сторін багатокутника називається його периметром.

Периметр багатокутника ABCDEдорівнює:

AB + BC+ CD + DE + EA

Якщо у багатокутника рівні всі сторони і всі кути, його називають правильним. Правильними багатокутниками можуть бути лише опуклі багатокутники.

Діагональ

Діагональ багатокутника- Це відрізок, що з'єднує вершини двох кутів, які не мають спільної сторони. Наприклад, відрізок ADє діагоналлю:

Єдиним багатокутником, який має жодної діагоналі, є трикутник, оскільки у ньому немає кутів, які мають спільних сторін.

Якщо з якоїсь вершини багатокутника провести всі можливі діагоналі, то вони розділять багатокутник на трикутники:

Трикутників буде рівно на два менше, ніж сторін:

t = n - 2

де t- це кількість трикутників, а n- Кількість сторін.

Поділ багатокутника на трикутники за допомогою діагоналей використовується для знаходження площі багатокутника, оскільки щоб знайти площу якогось багатокутника, потрібно розбити його на трикутники, знайти площу цих трикутників і отримані результати скласти.

§ 1 Поняття трикутника

У цьому уроці Ви ознайомитеся з такими фігурами як трикутник та багатокутник.

Якщо три точки, що не лежать на одній прямій, з'єднати відрізками, то вийде трикутник. Трикутник має три вершини та три сторони.

Перед вами трикутник АВС має три вершини (точку А, точку В і точку С) і три сторони (АВ, АС і СВ).

До речі, ці ж сторони можна називати й інакше:

АВ = ВА, АС = СА, СВ = ВС.

Сторони трикутника утворюють у вершинах трикутника три кути. На малюнку ви бачите кут А, кут, кут С.

Таким чином, трикутник - це геометрична фігура, утворена трьома відрізками, які з'єднують три точки, що не лежать на одній прямій.

§ 2 Поняття багатокутника та його види

Крім трикутників, існують чотирикутники, п'ятикутники, шестикутники тощо. Одним словом, їх можна назвати багатокутники.

На малюнку Ви бачите чотирикутник DMKE.

Точки D, M, K та E є вершинами чотирикутника.

Відрізки DM, MK, KE, ED є сторонами чотирикутника. Так само, як і у випадку з трикутником, сторони чотирикутника утворюють у вершинах чотири кути, як Ви здогадалися, звідси і назва – чотирикутник. У даного чотирикутника ви бачите на малюнку кут D, кут M, кут K та кут E.

А які чотирикутники вам вже відомі?

Квадрат та прямокутник! Кожен з них має по чотири кути та чотири сторони.

Ще один вид багатокутників – п'ятикутник.

Точки O, P, X, Y, Т є вершинами п'ятикутника, а відрізки TO, OP, PX, XY, YT є сторонами п'ятикутника. У п'ятикутника відповідно п'ять кутів та п'ять сторін.

Як Ви вважаєте скільки кутів і скільки сторін у шестикутника? Правильно, шість! Розмірковуючи аналогічним чином, можна сказати, скільки сторін, вершин чи кутів має той чи інший багатокутник. І можна зробити висновок, що трикутник - це теж багатокутник, у якого є рівно три кути, три сторони і три вершини.

Таким чином, на цьому уроці Ви познайомилися з такими поняттями, як трикутник і багатокутник. Дізналися, що трикутник має 3 вершини, 3 сторони та 3 кути, чотирикутник - 4 вершини, 4 сторони та 4 кути, п'ятикутник - відповідно 5 сторін, 5 вершин, 5 кутів і так далі.

Список використаної литературы:

1. Математика 5 клас. Віленкін Н.Я., Жохов В.І. та ін. 31-е вид., Стер. - М: 2013.
2. Дидактичні матеріали з математики 5 клас. Автор – Попов М.А. - 2013 рік
3. Обчислюємо без помилок. Роботи із самоперевіркою з математики 5-6 класи. Автор - Мінаєва С.С. - 2014
4. Дидактичні матеріали з математики 5 клас. Автори: Дорофєєв Г.В., Кузнєцова Л.В. - 2010 рік
5. Контрольні та самостійні роботиз математики 5 клас. Автори – Попов М.А. - 2012 рік
6. Математика. 5 клас: навч. для учнів загальноосвіт. установ / І. І. Зубарєва, А. Г. Мордкович. - 9-е вид., Стер. - М: Мнемозіна, 2009