"To znamená, že rovnice prvního stupně. V této lekci budeme analyzovat co se nazývá čtvercová rovnice A jak to vyřešit.
Co se nazývá čtvercová rovnice
Důležité!
Stupeň rovnice je určena největším rozsahem, ve kterém je neznámý.
Pokud je maximální stupeň, ve kterém je neznámo "2", znamená to, že jste čtvercová rovnice.
Příklady čtvercových rovnic
- 5x 2 - 14x + 17 \u003d 0
- -X 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x \u003d 0
- x 2 - 8 \u003d 0
Důležité! Obecný pohled na čtvercovou rovnici vypadá takto:
A x 2 + b x + c \u003d 0
"A", "b" a "c" - zadaná čísla.- "A" je první nebo vyšší koeficient;
- "B" - druhý koeficient;
- "C" je volný člen.
Chcete-li najít "A", "B" a "C", musíte porovnat vaši rovnici s běžným pohledem na čtvercovou rovnici "AX 2 + BX + C \u003d 0".
Pojďme se postarat o určování koeficientů "A", "B" a "C" v čtvercových rovnicích.
| Rovnice | Faktory | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a \u003d -1
- b \u003d 1.
- c \u003d.
1 3
- a \u003d 1.
- b \u003d 0,25.
- c \u003d 0.
- a \u003d 1.
- b \u003d 0.
- c \u003d -8.
Jak řešit náměstí rovnice
Na rozdíl od lineární rovnice Pro řešení čtvercových rovnic, speciální vzorec pro nalezení kořenů.
Pamatovat si!
Chcete-li vyřešit čtvercovou rovnici, kterou potřebujete:
- vytvořte čtvercovou rovnici k obecnému typu "AX 2 + BX + C \u003d 0". To znamená, že v pravé části by mělo zůstat pouze "0";
- použijte kořenový vzorec:
Pojďme analyzovat na příklad, jak aplikovat vzorec pro nalezení kořenů čtvercové rovnice. Nechte čtvercovou rovnici.
X 2 - 3x - 4 \u003d 0
Rovnice "X 2 - 3x - 4 \u003d 0" je již dána celkovým vzhledem "AX 2 + BX + C \u003d 0" a nevyžaduje další zjednodušení. Chcete-li to vyřešit, máme dost vzorec hledání kořenů čtvercové rovnice.
Definujeme koeficienty "A", "B" a "C" pro tuto rovnici.
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
S ním je vyřešena jakákoliv čtvercová rovnice.
Ve vzorci "X 1; 2 \u003d" často vyměňují vedený výraz
"B 2 - 4AC" na písmeno "D" a nazývá se diskriminační. Koncepce diskriminace je podrobněji považován za lekci "Co je diskriminační".
Zvažte další příklad čtvercové rovnice.
x 2 + 9 + x \u003d 7x
V tomto formuláři určete koeficienty "A", "B" a "C" je poměrně obtížné. Nejprve uveďte rovnici do obecného typu "AX 2 + BX + C \u003d 0".
X 2 + 9 + x \u003d 7x
X 2 + 9 + X - 7x \u003d 0
x 2 + 9 - 6x \u003d 0
x 2 - 6x + 9 \u003d 0
Nyní můžete použít kořenový vzorec.
X 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x \u003d.
| 6 |
| 2 |
x \u003d 3.
Odpověď: X \u003d 3
Existují případy, kdy nejsou žádné kořeny v čtvercových rovnicích. Tato situace nastane, když je záporné číslo pod kořenem.
Kvadratické rovnice. Diskriminační. Řešení, příklady.
Pozornost!
Toto téma má další
Materiály ve speciální části 555.
Pro ty, kteří jsou silně "ne příliš ..."
A pro ty, kteří jsou "velmi ...")
Druhy čtvercových rovnic
Co je čtvercová rovnice? Jak to vypadá? V termínech kvadratická rovnice Klíčové slovo je "Náměstí". To znamená, že v rovnici před Musí být na náměstí na náměstí. Kromě něj může být v rovnici (a nemusí být!) Jednoduše X (v prvním stupni) a jen číslo (volný člen). A neměly by být žádné ICS do stupně, více dvou.
Mluvení matematickým jazykem je čtvercová rovnice rovnice formy:
Tady a, B as - Některá čísla. b a c. - všechny všechny, a ale- Každý, kdo je nula. Například:
Tady ale =1; b. = 3; c. = -4
Tady ale =2; b. = -0,5; c. = 2,2
Tady ale =-3; b. = 6; c. = -18
No, pochopil jsi ...
V těchto čtvercových rovnicích je vlevo přítomna plný set členové. X Square s koeficientem ale,x v prvním stupni s koeficientem b. a volný péro s.
Takové čtvercové rovnice se nazývají Úplný.
Co když b. \u003d 0, co děláme? My máme x je první stupeň zmizí. Z násobení na nulu se stane.) Ukazuje se například:
5x 2 -25 \u003d 0,
2x 2 -6x \u003d 0,
- 2 + 4x \u003d 0
Atd. A pokud oba koeficient, b. a c. rovna nule, je stále jednodušší:
2x 2 \u003d 0,
-0,3x 2 \u003d 0
Takové rovnice, kde něco chybí, se nazývá neúplné čtvercové rovnice. Co je docela logické.) Žádám vás, abyste si všimli, že X je přítomno na náměstí ve všech rovnicích.
Mimochodem, proč ale Nemůže být nula? A místo toho nahradíš ale Nolik.) Zmizí na náměstí! Rovnice se stane lineárními. A je již vyřešen zcela jinak ...
To je všechny hlavní typy čtvercových rovnic. Plné a neúplné.
Řešení čtvercových rovnic.
Řešení plných čtvercových rovnic.
Čtvercové rovnice jsou jednoduše vyřešeny. Podle vzorců a jasně jednoduchých pravidel. V první fázi musí být daná rovnice přivedena do standardní formy, tj. Na mysl:
Pokud je k vám již v této formě dána rovnice - první etapa není nutná.) Hlavní věc je správně definovat všechny koeficienty, ale, b. a c..
Vzorec pro nalezení kořenů čtvercové rovnice vypadá takto:
Vyjádření pod náznakem kořene se nazývá diskriminační. Ale o tom - níže. Jak vidíte, najít ICA, používáme pouze a, b as. Ty. Koeficienty čtvercové rovnice. Jen úhledně nahrazují hodnoty a, B as V tomto vzorci zvažujeme. Náhradní s tvými známkami! Například v rovnici:
ale =1; b. = 3; c. \u003d -4. A psát:
Příklad je prakticky vyřešen:
To je odpověď.
Všechno je velmi jednoduché. A co si myslíte, že je nemožné udělat chybu? No, ano, jak ...
Nejčastější chyby - zmatek s příznaky hodnot a, B as. Spíše, ne s jejich známkami (kde je tam zmatená?) A s náhradou negativních hodnot ve vzorci pro výpočet kořenů. Zde je podrobný vstup vzorce se specifickými čísly. Pokud jsou problémy s výpočetní techniky, učiň tak!
Předpokládejme, že potřebujete vyřešit tento:
Tady a. = -6; b. = -5; c. = -1
Předpokládejme, že víte, že zřídka máte odpovědi od poprvé.
No, nebuďte líní. Napište přebytečnou linku bude trvat sekundy 30. a počet chyb ostře řez. Zde píšeme podrobně, se všemi závorkami a značkami:
Zdá se, že je to neuvěřitelně obtížné, tak pečlivě malovat. Ale zdá se to jen. Snaž se. Nebo zvolte. Co je lepší, rychlé, nebo vpravo? Také vás vykopnu. Po chvíli, tam zmizí tak pečlivě malovat všechno. Sám bude správný. Zvláště pokud použijete praktické techniky, které jsou popsány přímo níže. Tento zlý příklad s bandou minusů bude vyřešeno snadno a bez chyb!
Ale často, čtvercové rovnice vypadají mírně odlišné. Například, jako je tento:
Zjistěte?) Ano! to neúplné čtvercové rovnice.
Rozhodnutí neúplných čtvercových rovnic.
Mohou být také řešeny obecným vzorcem. Je nutné správně představit, co se rovná a, B as.
Opraven? V prvním příkladu a \u003d 1; b \u003d 4; ale c.? Nikdo není vůbec! No, ano, vpravo. V matematice to znamená c \u003d 0. Dokázal se! To je vše. Místo toho nahrazujeme v nulovém vzorci c, A všechno se rozskytují. Podobně se druhým příkladem. Pouze nula zde ne z, ale b. !
Neúplné čtvercové rovnice mohou být vyřešeny mnohem jednodušší. Bez vzorců. Zvažte první neúplnou rovnici. Co tam lze udělat v levé straně? Můžete udělat je pro držáky! Uveďme.
A co z toho? A skutečnost, že práce je nulová, a jen když některé z násobitelé se rovná nule! Nevěří? No, pojďte dvěma nenulová čísla, která dá nulu s násobením!
Nefunguje? To je něco ...
V důsledku toho můžete s jistotou psát: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.
Všechno. To bude kořeny naší rovnice. Oba jsou vhodné. Při nahrazení některého z nich do původní rovnice získáváme věrnou identitu 0 \u003d 0. Jak vidíte, řešení je mnohem jednodušší než obecný vzorec. Mimochodem, mimochodem, který X bude první, a který druhý je naprosto lhostejný. Vhodný pro záznam v několika málo, x 1. - Co je menší a x 2. - Co je víc.
Druhá rovnice může být také vyřešena jednoduše. Nosíme 9 na pravou stranu. Dostaneme:
Zůstává kořen extrahovat z 9, a to je to. Ukazuje se:
Také dva kořeny . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.
Takže všechny neúplné čtvercové rovnice jsou vyřešeny. Buď pomocí držáku, nebo jednoduše přenášejícím číslo vpravo, následovaný extrakcí kořene.
Je velmi obtížné tyto techniky zaměňovat. Jednoduše proto, že v prvním případě budete muset extrahovat kořen z XCA, což je nějakým způsobem není jasné, a ve druhém případě není nic pro závorky ...
Diskriminační. Diskriminační vzorec.
Magické slovo diskriminační Dokázal se! Vzácný student střední školy neslyšel slovo! Fráze "rozhodnout prostřednictvím diskriminačního", bude iniciovat důvěru a podporuje. Protože není nutné čekat na triky od diskriminačního! Je to jednoduché a bezproblémové v oběhu.) Připomínám vám nejobecnější vzorec pro řešení Žádný Čtvercové rovnice:
Výraz pod označením kořene se nazývá diskriminační. Obvykle diskriminační je označen dopisem D.. Diskriminační vzorec:
D \u003d B 2 - 4AC
A co je pozoruhodný výraz? Proč si zaslouží zvláštní jméno? V jaké význam diskriminačního? Po všem -b, nebo 2a. V tomto vzorci nejsou konkrétně volat ... písmena a písmena.
To je co. Při řešení čtvercové rovnice pro tento vzorec je to možné celkem tři případy.
1. Diskriminační pozitivní. To znamená, že je možné extrahovat kořen. Dobrý kořen je extrahován nebo špatný - otázka je jiná. Je důležité, aby se v zásadě extrahoval. Pak má vaše náměstí rovnice dva kořeny. Dvě různá řešení.
2. Diskriminační je nula. Pak dostanete jedno řešení. Protože nula odečítá v čitateli nic nemění. Přísně řečeno, to není jeden kořen, ale dva identické. Ale v zjednodušené verzi je obvyklé mluvit o jedno řešení.
3. Diskriminační je negativní. Záporného čísla, druhá odmocnina není odstraněna. Dobře. To znamená, že neexistují řešení.
Aby byl upřímný, s jednoduchým řešením čtvercových rovnic, koncept diskriminačního není zvláště nutný. Nahradíme hodnoty koeficientů ve vzorci, ano, věříme. Všechno to děje všechno, oba dva kořeny, a jeden, a ne jeden. Při řešení složitějších úkolů bez vědomí význam a vzorec diskriminační nedostatek. Zvláště - v rovnicích s parametry. Takové rovnice jsou nejvyšší pilot na GIA a EGE!)
Tak, jak řešit náměstí rovnice Prostřednictvím diskriminačního si pamatoval. Nebo se dozvěděl, že to také není špatné.) Vím, jak správně určit a, B as. Znalost opatrně nahraďte je v kořenovém vzorci a opatrně spočítat výsledek. Rozuměli jste, že klíčové slovo je zde - opatrně?
A nyní bere na vědomí praktické techniky, které dramaticky sníží počet chyb. Nejvíce to kvůli nepozornosti. ... pro které se pak stává zranění a zranění ...
Příjem první
. Nebuďte líní před řešením čtvercové rovnice, abyste ji přivedli do standardní formy. Co to znamená?
Předpokládejme, že po všech transformacích jste obdrželi takovou rovnici:
Nespěchejte psát kořenový vzorec! Téměř pravděpodobně plášte koeficienty A, B a S. Sestavte příklad správně. Nejprve, X je na náměstí, pak bez náměstí, pak volný péro. Takhle:
A nespěchejte znovu! Mínus před IX na náměstí může být zdravý, aby vás rozrušil. Zapomeňte na to snadné ... zbavte se mínusu. Jak? Ano, jak učil v předchozím tématu! Je nutné vynásobit celou rovnici na -1. Dostaneme:
Ale nyní můžete bezpečně zaznamenat vzorec pro kořeny, zvážit diskriminaci a příklad. Drore sami. Musíte mít kořeny 2 a -1.
Dva. Zkontrolujte kořeny! Na větu Vieta. Nespokojujte, vysvětlím všechno! Šek poslední věc rovnice. Ty. Že jsme nahráli kořeny vzorec. Pokud (jako v tomto příkladu) koeficient a \u003d 1., Snadno zkontrolujte kořeny. Dost na to, aby je vynásobil. Mělo by být volný člen, tj V našem případě -2. Poznámka, ne 2, a -2! Dick. s vaší značkou . Pokud to nefungovalo, znamená to někde, kde se nahromadili. Hledat chybu.
Pokud se to stalo - je nutné složit kořeny. Poslední a poslední kontrola. Musí se stát koeficientem b. z naproti
podepsat. V našem případě -1 + 2 \u003d +1. A koeficient b.který je před IX, rovný -1. Takže vše je správné!
Je škoda, že je tak jednoduché pro příklady, kde X je čistý, s koeficientem a \u003d 1. Ale alespoň šek v takových rovnicích! Budou existovat méně chyb.
Užívání třetího . Pokud jsou ve vaší rovnici zlomkové koeficienty, - zbavte se frakcí! Nakreslete rovnici pro společný jmenovatel, jak je popsáno v lekci "Jak řešit rovnice? Identické konverze". Při práci s frakcemi chyby, z nějakého důvodu a stoupání ...
Mimochodem, slíbil jsem zlý příklad s bandou minusů pro zjednodušení. Nemáš zač! Tady to je.
Aby se nemělo být zaměňováno v minusech, rovnice na -1 je dominantní. Dostaneme:
To je vše! Rozhodněte se - jedno potěšení!
Takže shrnujte téma.
Praktické tipy:
1. Před řešením dáváme čtvercovou rovnici do standardního formuláře, vybudujte ji že jo.
2. Pokud negativní koeficient stojí za negativní koeficient před X, eliminovat jeho násobení celé rovnice na -1.
3. Jsou-li zlomkové koeficienty eliminují frakci vynásobením celé rovnice k odpovídajícímu násobiteli.
4. Pokud X je na čtverci - čistý, koeficient se rovná jedné, roztok lze snadno zkontrolovat větu Vieta. Udělej to!
Nyní je možné vypočítat.)
Řešit rovnice:
8x 2 - 6x + 1 \u003d 0
x 2 + 3x + 8 \u003d 0
x 2 - 4x + 4 \u003d 0
(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)
Odpovědi (v nepořádku):
x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5
x 1.2 \u003d2
x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0.5
x - libovolné číslo
x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3
Žádná řešení
x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5
Všechno konverguje? Vynikající! Čtvercové rovnice nejsou vaše bolesti hlavy. První tři se ukázali a zbytek - ne? Pak problém není v čtvercových rovnicích. Problém je v identických transformacích rovnic. Projděte se odkazem, je užitečné.
Není to opravdu? Nebo nefunguje vůbec? Pak potřebujete pomoci oddílu 555. Všechny tyto příklady rozeberou kolem kostí. Ukazující hlavní Chyby při řešení. Je to samozřejmě popsáno použití identických transformací při řešení různých rovnic. Pomáhá hodně!
Pokud se vám líbí tato stránka ...
Mimochodem, mám pro vás další pár zajímavých míst.)
To lze přistupovat k řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitou kontrolou. Naučte se - se zájmem!)
Můžete se seznámit s vlastnostmi a deriváty.
Copsevskaya venkově uprostřed všeobecná střední škola
10 způsobů, jak řešit náměstí rovnice
Vedoucí práce: Patrikeva Galina Anatolyevna,
matematický učitel
s.Kopievo, 2007.
1. Historie vývoje čtvercových rovnic
1,1 čtverečních rovnic ve starověkém babylonu
1.2 Účtované a vyřešené diofantní čtvercové rovnice
1.3 Čtvercové rovnice v Indii
1.4 Čtvercové rovnice v Alcohise
1.5 Čtvercové rovnice v Evropě XIII - XVII Centuries
1.6 O Vietské věce
2. Metody pro řešení čtvercových rovnic
Závěr
Literatura
1. Historie vývoje čtvercových rovnic
1,1 čtverečních rovnic ve starověkém babylonu
Potřeba řešit rovnice nejen první, ale také druhý stupeň ve starověku byla způsobena potřebou řešit úkoly související s umístěním pozemních oblastí as Earthworks vojenské povahy, stejně jako s rozvojem astronomie a samotná matematika. Čtvercové rovnice byly schopny předtím vyřešit asi 2000 let. E. Babylonian.
Použitím moderního algebraického záznamu, můžeme říci, že v jejich klinox textech existují, s výjimkou neúplného, \u200b\u200ba jako například plné čtvercové rovnice:
X. 2 + X. = ¾; X. 2 - X. = 14,5
Pravidlo řešení těchto rovnic uvedených v Babylonských textech se v podstatě shoduje s moderním, ale není známo, jak Babylonians dosáhl tohoto pravidla. Téměř všechny texty klinic nalezených až do teď, pouze úkoly s rozhodnutími uvedenými ve formě receptů, bez indikace, jak byly nalezeny.
Navzdory vysoké úrovni vývoje Algebry v Babylonu, pojem negativního počtu a obecných metod pro řešení čtvercových rovnic chybí v textech klinosu.
1.2 Účtované a vyřešené diofantní čtvercové rovnice.
V "aritmetiku" Diophanty neexistuje systematická prezentace algebry, ale obsahuje systematický počet úkolů doprovázených vysvětlením a řešeny přípravou rovnic různých stupňů.
Při vypracování rovnic DIOFANTU pro zjednodušení roztoku šikovně zvolí neznámé.
Zde například jeden z jeho úkolů.
Úloha 11. "Najděte dvě čísla, s vědomím, že jejich součet je 20, a práce je 96"
DIOFANT argent argumentuje takto: Ze stavu problému vyplývá, že požadovaná čísla nejsou rovna, protože kdyby byly stejné, pak by jejich práce nebyla 96, a 100. Tak jeden z nich bude více než polovina jejich součet, tzn. 10 + H.Druhý je méně, tj. 10 - H.. Rozdíl mezi nimi 2x..
Proto rovnice:
(10 + x) (10 - x) \u003d 96
100 - x 2 \u003d 96
X 2 - 4 \u003d 0 (1)
Odtud x \u003d 2.. Jedna z požadovaných čísel je 12 , Jiný 8 . Rozhodnutí x \u003d -2. Neexistuje pro DIOPHANTA, protože řecká matematika znali pouze kladná čísla.
Pokud se rozhodneme o tomto úkolu, vyberte jednu z požadovaných čísel jako neznámého, přijdeme na vyřešení rovnice
y (20 - y) \u003d 96,
V 2 - 20U + 96 \u003d 0. (2)
Je jasné, že volba jako neznámá hra požadovaných čísel, DIOFANT zjednodušuje rozhodnutí; Může snížit úkol řešit neúplnou čtvercovou rovnici (1).
1.3 Čtvercové rovnice v Indii
Úkoly na čtvercové rovnice jsou již nalezeny v astronomickém traktu "Ariabhatti", zkompilované v 499. Indický matematik a astronom Ariabhatta. Další indický vědec, Brahmagupta (VII století), nastínil obecné pravidlo řešení čtvercových rovnic, které byly poskytnuty jediné kanonické podobě:
Ah 2 +.b.x \u003d S, A\u003e 0. (1)
V rovnici (1) koeficienty s výjimkou alemůže být negativní. Brahmagupta pravidlo v podstatě se shoduje s naším.
Ve starověké Indii byly veřejné soutěže distribuovány při řešení obtížných úkolů. V jednom ze starých indických knih se o těchto soutěžích říká následující soutěže: "Jak se Slunce třpytí se svými vlastními hvězdami, takže vědec je zastíněna falešnými dopady druhého v národním shromáždění, nabízet a řešení algebraických úkolů." Úkoly jsou často užívány v poetickém tvaru.
Zde je jeden z úkolů slavné indické matematiky XII století. Bhaskara.
Úkol 13.
"Uvedení opic a dvanáct na Lianam ...
Síla obkládání, baví. Začal skočit, zavěsit ...
Jsou v čtvercové části osmé, kolik opic bylo,
V gladi byl pobavený. Řeknete mi, v tomto stohu? "
Rozhodnutí Bhaskara svědčí o tom, že věděl o zdvojení kořenů čtvercových rovnic (obr. 3).
Odpovídající úkol 13 rovnice:
(x./8) 2 + 12 = x.
Bhaskara píše pod rouškou:
x 2 - 64x \u003d -768
a doplnit levou část této rovnice k čtverci přidává obě části 32 2 Pak se dostanete:
x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,
(X - 32) 2 \u003d 256,
x - 32 \u003d ± 16,
x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.
1.4 Čtvercové rovnice v Al - Khorezmi
V algebraickém pojednání al - Khorezmi dává klasifikaci lineárních a čtvercových rovnic. Autor obsahuje 6 druhů rovnic, vyjadřuje je následujícím způsobem:
1) "čtverce jsou kořeny", tj. AH 2 + C \u003db.x.
2) "čtverce jsou rovny číslu", tj. Ah 2 \u003d S.
3) "Kořeny se rovnou číslu", tj. ah \u003d s.
4) "čtverce a čísla jsou rovna kořenům", tj. AH 2 + C \u003db.x.
5) "čtverce a kořeny jsou rovny číslu", tj. Ah 2 +.bx. \u003d s.
6) "kořeny a čísly jsou rovny čtvercům", tj.bx. + C \u003d AH 2.
Pro Al-Khorezmi, vyhýbání se použití negativních čísel, členové každého z těchto rovnic jsou komponenty a neodstraňovány. Zároveň není zohledněno v úvahu rovnice, které nemají pozitivní řešení. Autor stanoví způsoby, jak vyřešit tyto rovnice, s využitím technik Al - Jabr a Al - Mukabala. Jeho rozhodování samozřejmě se shoduje s naším. Už nemluvě o tom, že je to čistě rétorické, je třeba poznamenat, například, že při řešení neúplné čtvercové rovnice prvního typu
al - Khorezmi, stejně jako veškerá matematika, dokud Xvii století, bere v úvahu nulové řešení, pravděpodobně proto, že nezáleží na konkrétních praktických úkolech. Při řešení kompletního čtvercového al-besorského rovnice na soukromých číselných příkladech stanoví pravidla rozhodnutí, a pak geometrické důkazy.
Úkol 14. "Náměstí a číslo 21 jsou rovny 10 kořenům. Najděte kořen » (Rozumí se jako kořen rovnice x 2 + 21 \u003d 10x).
Rozhodnutí autora si přečí něco takového: rozdělíme počet kořenů, dostaneme 5, budete se násobit sami, z práce jednoho 21, zůstane 4. odstranění kořene z 4, obdržíte 2 . Onde 2 OT5, obdržíte 3, bude to požadovaný kořen. Nebo přidejte 2 až 5, což dá 7, má také kořen.
AL-KHOREZMI DOSTAVENÍ JE První, která přišla k nám knihu, ve které je uvedena klasifikace čtvercových rovnic systematicky stanovených a vzorce.
1,5 čtverečních rovnic v EvropěXIII. - Xvii Bb.
Vzorce pro řešení čtvercových rovnic pro Al-Khorezmi v Evropě byly poprvé uvedeny v "Knihu Abaka", napsané v roce 1202 italským matematikem Leonarda Fibonacci. Tato důkladná práce, která odráží vliv matematiky, oba země islámu a starověkého Řecka, se vyznačuje jak úplností a jasnost prezentace. Autor vyvinul nezávisle některé nové algebraické příklady řešení problémů a první v Evropě se přiblížily k zavedení negativních čísel. Jeho kniha podporovala šíření algebraických znalostí nejen v Itálii, ale také v Německu, Francii a dalších evropských zemích. Mnoho výzev z "abaka knihy" prošlo téměř všechny evropské učebnice XVI - XVII století. a částečně XVIII.
Obecné pravidlo řešit čtvercové rovnice uvedené pro stejnou kanonickou formu:
x 2 +.bx. \u003d C,
pro všechny druhy kombinací znamení koeficientu b., zbyl formulován v Evropě pouze v roce 1544 M. Ztuhněte.
Výstup vzorce roztoku čtvercové rovnice obecně je k dispozici ve Vietině, ale Viet uznal pouze pozitivní kořeny. Italské matematici Tartalia, Kardano, bombelly mezi prvními ve století XVI. Navíc kladné a negativní kořeny. Pouze v století XVII. Vzhledem k práci Girard, Descartes, Newton a dalších vědců, způsob řešení čtvercových rovnic má moderní vzhled.
1.6 O Vietské věce
Teorém vyjadřující vztah mezi koeficienty čtvercové rovnice a jeho kořeny, které je jméno Vieta, byl formulován poprvé v roce 1591 takto: "Pokud B. + D.násobeno A. - A. 2 studna Bd.T. A.stejně V A rovný D.».
Chcete-li pochopit Vietu, měli byste si to pamatovat ALEStejně jako každý dopis samohlásky znamenal, že má neznámý (náš h.), samohlásky V,D. - Koeficienty v neznámém. V jazyce moderní algebry výše, znění Vieta znamená: Pokud je
(A +.b.) x - x 2 \u003db.,
x 2 - (A +b.) x + ab. = 0,
x 1 \u003d a, x 2 \u003db..
Vyjádření vztahu mezi kořeny a koeficienty rovnic se společnými vzorci zaznamenanými zaznamenanými pomocí symbolů, Visiet stanovil jednotnost ve způsobech řešení rovnic. Symbolika Viet však je stále daleko od současných druhů. Neoznámil negativní čísla a pro to při řešení rovnic zvažoval pouze případy, kdy jsou všechny kořeny pozitivní.
2. Metody pro řešení čtvercových rovnic
Čtvercové rovnice jsou základem, na kterém je majestátní budova algebry odpočívá. Čtvercové rovnice jsou široce používány při řešení trigonometrických, orientačních, logaritmických, iracionálních a transcendentálních rovnic a nerovností. Všichni víme, jak řešit náměstí rovnice ze školní lavice (stupeň 8), před koncem univerzity.
Vzorce kořenů čtvercové rovnice. Jsou zváženy případy platných, více a komplexních kořenů. Rozložení náměstí tříkřídlí násobičů. Geometrická interpretace. Příklady určování kořenů a rozkladu multiplikátorů.
ObsahViz také: Řešení Square Equations Online
Základní vzorce
Zvažte čtvercovou rovnici:
(1)
.
Kořeny náměstí rovnice (1) jsou určeny vzorce:
;
.
Tyto vzorce mohou být kombinovány takto:
.
Když jsou známy kořeny čtvercové rovnice, může být polynomiální druhý stupeň reprezentován jako práce faktorů (rozloží se na násobiteli):
.
Dále tomu věříme - skutečná čísla.
Zvážit diskriminační čtvercová rovnice:
.
Pokud je diskriminační pozitivní, pak čtvercová rovnice (1) má dva různé platné kořen:
;
.
Pak se rozklad čtverce tři snižuje faktory, má formu:
.
Pokud je diskriminační nulová, pak čtvercová rovnice (1) má dva více (stejné) platný kořen:
.
Factorizace:
.
Pokud je diskriminační záporný, pak čtvercová rovnice (1) má dva komplexně konjugované kořen:
;
.
Zde - imaginární jednotka;
A - skutečné a imaginární části kořenů:
;
.
Pak
.
Grafický interpretace
Pokud vytvoříte funkci grafu
,
Což je parabola, pak bod průsečíku grafu s osou bude kořeny rovnice
.
Když se plán překročí osu abscisy (osa) ve dvou bodech ().
Kdy se graf týká osy abscisy na jeden bod ().
Když plán nepřesáhne osu abscisy ().
Užitečné vzorce spojené s čtvercovou rovnicí
(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .
Výstup vzorce pro kořeny čtvercové rovnice
Provádíme transformace a aplikujeme vzorce (F.1) a (F.3):
,
Kde
;
.
Takže máme vzorec pro polynom druhého stupně ve formě:
.
Odtud lze vidět, že rovnice
provedeno
a.
To znamená, že kořeny čtvercové rovnice jsou kořeny
.
Příklady stanovení kořenů čtvercové rovnice
Příklad 1.
(1.1)
.
.
Porovnání s naší rovnicí (1.1) nalezneme hodnoty koeficientů:
.
Najdeme diskriminační:
.
Vzhledem k tomu, že diskriminační je pozitivní, rovnice má dva platný kořen:
;
;
.
Odtud dostaneme rozklad náměstí tři sázky na multicích:
.
Funkce plánu Y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 Překračuje osu abscisy ve dvou bodech.
Stavíme plán funkcí
.
Harmonogram této funkce je parabola. Ona umístí osu abscisy (osa) ve dvou bodech:
a.
Tyto body jsou kořeny počáteční rovnice (1.1).
;
;
.
Příklad 2.
Najděte kořeny čtvercové rovnice:
(2.1)
.
Čtvercová rovnice píšeme obecně:
.
Porovnání s počáteční rovnicí (2.1) nalezneme hodnoty koeficientů:
.
Najdeme diskriminační:
.
Vzhledem k tomu, že diskriminační je nula, rovnice má dva více (stejné) kořen:
;
.
Pak má rozklad tří rozhodnutí o násobiteli formulář:
.
Funkční graf y \u003d x 2 - 4 x + 4 Požádá o osu abscisy na jednom místě.
Stavíme plán funkcí
.
Harmonogram této funkce je parabola. Jedná se o osu abscisy (osa) v jednom bodě:
.
Tento bod je kořenem počáteční rovnice (2.1). Vzhledem k tomu, že tento kořen vstupuje do rozšíření multiplikátorů dvakrát:
,
Že takový kořen se nazývá násobek. To znamená, že je věřil, že existují dvě stejné kořeny:
.
;
.
Příklad 3.
Najděte kořeny čtvercové rovnice:
(3.1)
.
Čtvercová rovnice píšeme obecně:
(1)
.
Počáteční rovnice přepíšeme (3.1):
.
Porovnejte C (1), najdeme hodnoty koeficientů:
.
Najdeme diskriminační:
.
Diskriminační je negativní. Proto neexistují žádné platné kořeny.
Můžete najít komplexní kořeny:
;
;
.
Pak
.
Funkční graf nepřesáhne osu abscisy. Neexistují žádné platné kořeny.
Stavíme plán funkcí
.
Harmonogram této funkce je parabola. To neprokázalo osu abscisy (osa). Proto neexistují žádné platné kořeny.
Neexistují žádné platné kořeny. Řoby jsou integrovány:
;
;
.
Kvadratická rovnice Nebo rovnice druhého stupně s jedním neznámým je rovnicová rovnice, která po transformací může být uvedeno do následujícího formuláře:
sEKERA. 2 + bx. + c. = 0 - kvadratická rovnice
kde x. - to není známo, a a., b. a c. - Koeficienty rovnice. V čtvercových rovnicích a. první koeficient ( a. ≠ 0), b. nazývá druhý koeficient a c. Volal slavný nebo volný člen.
Rovnice:
sEKERA. 2 + bx. + c. = 0
volala Úplný čtvercová rovnice. Pokud jeden z koeficientů b. nebo c. Je to nula, nebo nula jsou obě tyto koeficienty, rovnice je reprezentována jako neúplná čtvercová rovnice.
Snížená čtvercová rovnice
Kompletní čtvercová rovnice může být přivedena do pohodlnější mysli, rozdělit všechny své členy a., tj. Při prvním koeficientu:
Rovnice x. 2 + px. + q. \u003d 0 se nazývá daná čtvercová rovnice. Jakákoli čtvercová rovnice, ve které je první koeficient 1, může být uveden prezentován.
Například rovnice:
x. 2 + 10x. - 5 = 0
sníží se a rovnice:
3x. 2 + 9x. - 12 = 0
může být nahrazen rovnicí danou dělením všech svých členů na -3:
x. 2 - 3x. + 4 = 0
Řešení čtvercových rovnic
Chcete-li vyřešit čtvercovou rovnici, musíte ji přivést do jednoho z následujících typů:
sEKERA. 2 + bx. + c. = 0
sEKERA. 2 + 2kx. + c. = 0
x. 2 + px. + q. = 0
Pro každý typ rovnice je jeho vlastní vzorec pro nalezení kořenů:
Věnujte pozornost rovnici:
sEKERA. 2 + 2kx. + c. = 0
jedná se o transformovanou rovnici sEKERA. 2 + bx. + c. \u003d 0, ve kterém koeficient b. - Dokonce i, což mu umožňuje nahradit s pohledem 2 k.. Proto lze zjednodušit vzorec pro nalezení kořenů pro tuto rovnici, nahrazovat 2 v něm k. namísto b.:
Příklad 1. Řešení rovnice:
3x. 2 + 7x. + 2 = 0
Jelikož v rovnici není druhý koeficient ani sudý počet a první koeficient není roven jednomu, pak se podívat na kořeny prvním vzorcem nazvaný obecný vzorec hledání kořenů čtvercové rovnice. První
a. = 3, b. = 7, c. = 2
Nyní najít kořeny rovnice, jednoduše nahradit hodnoty koeficientů ve vzorci:
| x. 1 = | -2 | = - | 1 | , x. 2 = | -12 | = -2 |
| 6 | 3 | 6 |
| Odpovědět: - | 1 | , -2. |
| 3 |
Příklad 2:
x. 2 - 4x. - 60 = 0
Definujeme to, co jsou koeficienty stejné:
a. = 1, b. = -4, c. = -60
Jelikož v rovnici je druhým koeficientem jiným číslem, pak budeme používat vzorec pro čtvercové rovnice s jednosměrným druhým koeficientem:
x. 1 = 2 + 8 = 10, x. 2 = 2 - 8 = -6
Odpovědět: 10, -6.
Příklad 3.
y. 2 + 11y. = y. - 25
Dáváme rovnici generální mysli:
y. 2 + 11y. = y. - 25
y. 2 + 11y. - y. + 25 = 0
y. 2 + 10y. + 25 = 0
Definujeme to, co jsou koeficienty stejné:
a. = 1, p. = 10, q. = 25
Vzhledem k tomu, že první koeficient je 1, budeme hledat kořeny podle vzorce pro rovnice s dokonce druhým koeficientem:
Odpovědět: -5.
Příklad 4.
x. 2 - 7x. + 6 = 0
Definujeme to, co jsou koeficienty stejné:
a. = 1, p. = -7, q. = 6
Vzhledem k tomu, že první koeficient je 1, pak budeme hledat kořeny podle vzorce pro dané rovnice s lichým druhým koeficientem:
x. 1 = (7 + 5) : 2 = 6, x. 2 = (7 - 5) : 2 = 1