ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Функция синус
— множество R
всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная .
Функция нечетная:
sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R
.
Функция периодическая
sin(x+2π· k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R .
sin x = 0 при x = π·k , k ∈ Z .
sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z .
sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z .
Функция косинус
Область определения функции
— множество R
всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная .
Функция четная:
cos(−x)=cos x для всех х ∈ R
.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π :
cos(x+2π· k ) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R .
| cos x = 0 при |  |
| cos x > 0 для всех |  |
| cos x < 0 для всех |  |
| Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: | |
| Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: | |
| Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: |  |
| Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках: |
Функция тангенс
Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная .
Функция нечетная:
tg(−x)=−tg x
График функции симметричен относительно оси OY.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π , т.е. tg(x+π· k ) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения.
Функция котангенс
Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная .
Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения.График функции симметричен относительно оси OY.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π , т.е. ctg(x+π· k )=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения.
Функция арксинус
Область определения функции
— отрезок [-1; 1]
Множество значений функции — отрезок -π /2 arcsin x π /2, т.е. арксинус — функция ограниченная .
Функция нечетная:
arcsin(−x)=−arcsin x для всех х ∈ R
.
График функции симметричен относительно начала координат.
На всей области определения.
Функция арккосинус
Область определения функции
— отрезок [-1; 1]
Множество значений функции — отрезок 0 arccos x π , т.е. арккосинус — функция ограниченная .
Функция является возрастающей на всей области определения.
Функция арктангенс
Область определения функции
— множество R
всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок 0 π, т.е. арктангенс — функция ограниченная .
Функция нечетная:
arctg(−x)=−arctg x для всех х ∈ R
.
График функции симметричен относительно начала координат.
Функция является возрастающей на всей области определения.
Функция арккотангенс
Область определения функции
— множество R
всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок 0 π, т.е. арккотангенс — функция ограниченная .
Функция не является ни четной, ни нечетной.
График функции несимметричен ни относительно начала координат, ни относительно оси Оy.
Функция является убывающей на всей области определения.
На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = sin х, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Функция y=sinx, её основные свойства и график
При рассмотрении функции важно каждому значению аргумента поставить в соответствие единственное значение функции. Этот закон соответствия и называется функцией.
Определим закон соответствия для .
Любому действительному числу соответствует единственная точка на единичной окружности У точки есть единственная ордината, которая и называется синусом числа (рис. 1).
Каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.
Из определения синуса вытекают очевидные свойства.
На рисунке видно, что 
т.к. это ордината точки единичной окружности.
Рассмотрим график функции . Вспомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргумент - это центральный угол, измеряемый в радианах. По оси мы будем откладывать действительные числа или углы в радианах, по оси соответствующие значения функции.
Например, угол на единичной окружности соответствует точке на графике (рис. 2)
Мы получили график функции на участке Но зная период синуса мы можем изобразить график функции на всей области определения (рис. 3).
Основным периодом функции является Это значит, что график можно получить на отрезке а затем продолжить на всю область определения.
Рассмотрим свойства функции :
1) Область определения:
2) Область значений: 
3) Функция нечетная:
4) Наименьший положительный период:
5) Координаты точек пересечения графика с осью абсцисс: 
6) Координаты точки пересечения графика с осью ординат:
7) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения:
8) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:
9) Промежутки возрастания:
10) Промежутки убывания:
11) Точки минимума: 
12) Минимум функции:
13) Точки максимума: 
14) Максимум функции:
Мы рассмотрели свойства функции и её график. Свойства неоднократно будут использоваться при решении задач.
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред.
А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Дополнительные веб-ресурсы
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Функции у= sin x и y = cos x и их графики (сопровождающая презентация к уроку) КОРПУСОВА ТАТЬЯНА СЕРГЕЕВНА учитель математики МБОУ ЛСОШ № 2 им. Н.Ф.Струченкова Брянская обл.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Числовые функции, заданные формулами у= sin x и y = cos x , называют соответственно синусом и косинусом. 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Функция y=sin x , график и свойства. 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Синусоида у 1 - π/2 π 2 π 3 π х -3 π/2 - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
у = sin(x+a) ПРИМЕР y 1 -1 π 2 π - π 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
у = sin x + a 1) y = sin x + 1 ; y 1 x - π 0 π 2 π x -1 x 2) y = sin x - 1 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Построение графиков y=sin(x+m)+l y 1 - π 0 π 2 π 3 π x -1 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Функция y = cos x , её свойства и график. 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
y = cos x у 1 - π/2 π 2 π 3 π х - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 График функции у= cos x получен при смещении синусоиды влево на π/2 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Построение графиков y = cos (x+m)+l 1)y =- cos x; y 2 y x 0 x -1 2)y= cos (x- π/4)+2 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Построение графиков y=k · sin x y 2,5 1 x -1 -2,5 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Нахождение периода тригонометрических функций Если y=f(x) периодическая и имеет наименьший положительный период Т₁, то функция y=A· f(kx+b), где А, k и b постоянные, а k ≠ 0 , также периодична с периодом Примеры: 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С. 1) y=sin 6 x +2, Т₁=2 π T₁=2 π
Построение графиков периодических функций 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С. y x 1 1 y x 1 1 1)T= 4 2)T= 4 Дана функция у= f(x) . Построить её график, если известен период. y x 1 1 3)T= 3
Построить график функции: y=2cos(2x- π/3)-0,5 и найти область определения и область значений функции 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С. у х 1 -1 π - π 2 π -2 π T= π
Литература Умк Алгебра и начала анализа 10-11 класс, А. Г. Мордкович – М., МНЕМОЗИНА,2011г. Умк Алгебра и начала анализа 10-11 класс с приложением на CD , А. Н. Колмогоров – М., ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2011г. 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Работа с целью повторения навыков извлечения числа из арифметического квадратного корня и нахождения значений выражений, отработки навыков сравнения корней. Отработка навыков построения графиков функц...
Чтение свойств функции по графику и распознование графиков элементарных функций
Изучение данной темы проводится на спаренном уроке алгебры в 10 лассе, а также все эти ресурсы применяю при подготовке к контрольным работам и подготовке ЕГЭ по математике...
Как построить график функции y=sin x? Для начала рассмотрим график синуса на промежутке .
Единичный отрезок берём длиной 2 клеточки тетради. На оси Oy отмечаем единицу.
Для удобства число π/2 округляем до 1,5 (а не до 1,6, как требуется по правилам округления). В этом случае отрезку длиной π/2 соответствуют 3 клеточки.
На оси Ox отмечаем не единичные отрезки, а отрезки длиной π/2 (через каждые 3 клеточки). Соответственно, отрезку длиной π соответствует 6 клеточек, отрезку длиной π/6 — 1 клеточка.
При таком выборе единичного отрезка график, изображённый на листе тетради в клеточку, максимально соответствует графику функции y=sin x.
Составим таблицу значений синуса на промежутке :
Полученные точки отметим на координатной плоскости:
Так как y=sin x — нечётная функция, график синуса симметричен относительно начала отсчёта — точки O(0;0). С учётом этого факта продолжим построение графика влево, то точки -π:
Функция y=sin x — периодическая с периодом T=2π. Поэтому график функции, взятый на на промежутке [-π;π], повторяется бесконечное число раз вправо и влево.
На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = sin х, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Функция y=sinx, её основные свойства и график
При рассмотрении функции важно каждому значению аргумента поставить в соответствие единственное значение функции. Этот закон соответствия и называется функцией.
Определим закон соответствия для .
Любому действительному числу соответствует единственная точка на единичной окружности У точки есть единственная ордината, которая и называется синусом числа (рис. 1).
Каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.
Из определения синуса вытекают очевидные свойства.
На рисунке видно, что т.к. это ордината точки единичной окружности.
Рассмотрим график функции . Вспомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргумент - это центральный угол, измеряемый в радианах. По оси мы будем откладывать действительные числа или углы в радианах, по оси соответствующие значения функции.
Например, угол на единичной окружности соответствует точке на графике (рис. 2)
Мы получили график функции на участке Но зная период синуса мы можем изобразить график функции на всей области определения (рис. 3).
Основным периодом функции является Это значит, что график можно получить на отрезке а затем продолжить на всю область определения.
Рассмотрим свойства функции :
1) Область определения:
2) Область значений:
3) Функция нечетная:
4) Наименьший положительный период:
5) Координаты точек пересечения графика с осью абсцисс:
6) Координаты точки пересечения графика с осью ординат:
7) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения:
8) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:
9) Промежутки возрастания:
10) Промежутки убывания:
11) Точки минимума:
12) Минимум функции:
13) Точки максимума:
14) Максимум функции:
Мы рассмотрели свойства функции и её график. Свойства неоднократно будут использоваться при решении задач.
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред.
А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Дополнительные веб-ресурсы
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().