5
8
9
10
11
13

15
18
22
2.4 Особенности формирования математических понятий в 5-6 классах 28

Введение

Глава 1
Основы методики изучения математических понятий

1.1 Математические понятия, их содержание и объём, классификация понятий

Понятие - форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объекта.

Математические понятия имеют свои особенности: они часто возникают из потребности науки и не имеют аналогов в реальном мире; они обладают большой степенью абстракции. В силу этого желательно показать учащимся возникновение изучаемого понятия (либо из потребности практики, либо из потребности науки).

Каждое понятие характеризуется объёмом и содержанием. Содержание - множество существенных признаков понятия. Объём - множество объектов, к которым применимо данное понятие. Рассмотрим связь между объёмом и содержанием понятия. Если содержание соответствует действительности и не включает противоречивых признаков, то объём - это не пустое множество, что важно показать учащимся при введении понятия. Содержание вполне определяет объём и наоборот. Значит, изменение одного влечёт изменение другого: если содержание увеличивается, то объём уменьшается.

Содержание понятия отождествляется с его определением, а объём раскрывается через классификацию. Классификация - деление множества на подмножества, которые удовлетворяют следующим требованиям:

o должно проводится по одному признаку;

o классы должны быть не пересекающимися;

o объединение всех классов должно давать всё множество;

o классификация должна быть непрерывной (классами должны быть ближайшие видовые понятия по отношению к понятию, которое подлежит классификации).

Выделяют следующие виды классификации:

1. По видоизмененному признаку. Объекты, подлежащие классификации, могут обладать несколькими признаками, поэтому можно классифицировать по-разному.

Пример. Понятие «треугольник».

2. Дихотомический. Деление объёма понятия на два видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое нет.

Пример.

Выделим цели обучения классификации:

1) развитие логического мышления;

2) изучая видовые отличия, мы составляем более ясное представление о родовом понятии.

1.2 Определение математических понятий, первичные понятия, поясняющие описание

Определить объект - выбрать из его существенных свойств такие и столько, чтобы каждое из них было необходимым, а все вместе достаточными для отличия этого объекта от других. Результат этого действия фиксируется в определении.

Определением считается такая формулировка, которая сводит новое понятие к уже известным понятиям этой же области. Такое сведение не может продолжаться бесконечно, поэтому наука имеет первичные понятия , которые определяются не явно, а косвенно (через аксиомы). Список первичных понятий неоднозначен, по сравнению с наукой, в школьном курсе первичных понятий намного больше. Основной приём для разъяснения, введения первичных понятий - составление родословных.

В школьном курсе не всегда целесообразно давать понятиям строгое определение. Иногда достаточно сформировать правильное представление. Это достигается с помощью пояс няющих описаний - доступных для учащихся предложений, которые вызывают у них один наглядный образ, и помогают усвоить понятие. Здесь не ставится требование сведения нового понятия к ранее изученным. Усвоение должно быть доведено до такого уровня, чтобы в дальнейшем, не вспоминая описания, ученик мог узнать объект, относящийся к данному понятию.

1.3 Способы определения понятий

По логической структуре определения делятся на конъюнктивные (существенные признаки соединяются союзом "и") и дизъюнктивные (существенные признаки соединяются союзом "или").

Выделение существенных признаков, зафиксированных в определении, и зафиксированных связей между ними называется логико-математическим анализом определения .

Существует подразделение определений на дескриптивные и конструктивные.

Дескриптивные - описательные или косвенные определения, имеющие, как правило, вид: «объект называется…, если он обладает…». Из таких определений не следует факт существования данного объекта, поэтому все подобные понятия требуют доказательства существования. Среди них выделяют следующие способы определений понятий:

· Через ближайший род и видовое отличие. (Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны. Родовым выступает понятие параллелограмма, из которого определяемое понятие выделяется посредством одного видового отличия).

· Определения-соглашения - определения, в которых свойства понятий выражаются с помощью равенств или неравенств.

· Аксиоматические определения. В самой науке математике используются часто, а в школьном курсе редко и для интуитивно ясных понятий. (Площадь фигуры - величина, численное значение которой удовлетворяет условиям: S(F)0; F 1 =F 2 S(F 1)=S(F 2); F=F 1 F 2 , F 1 F 2 = S(F)=S(F 1)+S(F 2); S(E)=1.)

· Определения через абстракцию. Прибегают к такому определению понятия, когда другое трудно или невозможно осуществить (например, натуральное число).

· Определение-отрицание - определение, в котором фиксируется не наличие свойства, а его отсутствие (например, параллельные прямые).

Конструктивные (или генетические) - это определения, в которых указывается способ получения нового объекта (например, сферой называется поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг своего диаметра). Среди таких определений иногда выделяют рекурсивные - определения, указывающие некоторый базисный элемент какого-либо класса и правило, по которому можно получить новые объекты того же класса (например, определение прогрессии).

1.4 Методические требования к определению понятия

· Требование научности.

· Требование доступности.

· Требование соизмеримости (объём определяемого понятия должен быть равен объёму определяющего понятия). Нарушение данного требования ведёт либо к очень широкому, либо к очень узкому определению.

· Определение не должно содержать порочного круга.

· Определения должны быть ясными, точными, не содержать метафорических выражений.

· Требование минимальности.

1.5 Введение понятий в школьном курсе математики

При формировании понятий необходимо организовывать деятельность учащихся по усвоению двух основных логических приёмов: подведение под понятие и выведение следствий из факта принадлежности объекта понятию.

Действие подведения под понятие имеет следующую структуру:

1) Выделение всех свойств, зафиксированных в определении.

2) Установление логических связей между ними.

3) Проверка наличия у объекта выделенных свойств и их связей.

4) Получение вывода о принадлежности объекта объёму понятия.

Выведение следствий - это выделение существенных признаков объекта, принадлежащему данному понятию.

В методике выделяют три пути введения понятий :

1) Конкретно-индуктивный:

o Рассмотрение различных объектов как принадлежащих объёму понятия, так и не принадлежащих.

o Выявление существенных признаков понятия на основе сравнения объектов.

o Введение термина, формулировка определения.

2) Абстрактно-дедуктивный:

o Введение определения учителем.

o Рассмотрение особых и частных случаев.

o Формирование умения подводить объект под понятие и выводить первичные следствия.

При введении понятия первым путём учащиеся лучше понимают мотивы введения, учатся строить определения и понимать важность каждого слова в нём. При введении понятия вторым путём экономится большое количество времени, что тоже не маловажно.

3) Комбинированный. Используется для более сложных понятий математического анализа. На основе небольшого числа конкретных примеров даётся определение понятия. Затем путём решения задач, в которых варьируются несущественные признаки, и путём сопоставления данного понятия с конкретными примерами продолжается формирование понятия.

1.6 Основные этапы изучения понятия в школе

В литературе выделяют три основных этапа изучения понятий в школе:

1. При введении понятия используется один из трёх вышеизложенных способов. Во время данного этапа нужно учесть следующее:

· Прежде всего, необходимо обеспечить мотивацию введения данного понятия.

· При построении системы задач на подведение под понятие обеспечить наиболее полный объём понятия.

· Важно показать, что объём понятия - не пустое множество.

· Раскрыть содержание понятия, работать над существенными признаками, выделяя несущественные.

· Помимо знания определения, желательно, чтобы учащиеся имели зрительное представление о понятии.

· Усвоение терминологии и символики.

Итогом данного этапа является формулировка определения, усвоение которого - содержание следующего этапа. Усвоить определение понятия означает овладеть действиями распознавания объектов, принадлежащих понятию, выведения следствий из принадлежности объекта понятию, конструирования объектов, относящихся к объёму понятия.

2. На этапе усвоения определения продолжается работа над запоминанием определения. Достигаться это может с помощью следующих приёмов:

· Выписывание определений в тетрадь.

· Проговаривание, подчёркивание или какая-нибудь нумерация существенных свойств.

· Использование контрпримеров для выполнения правил соизмеримости.

· Подбор недостающих слов в определении, отыскание лишних слов.

· Обучение приводить примеры и контрпримеры.

· Обучение применения определения в простейших, но достаточно характерных ситуациях, так как многократное повторение определения вне решения задач неэффективно.

· Указать на возможность различных определений, доказать их эквивалентность, но для запоминания выбрать лишь одно.

· Учить конструировать определение, использовать для этого составление родословных, разъясняя логическую структуру; знакомить с правилами построения определения.

· Сходные пары понятий давать в сравнении и сопоставлении.

Таким образом, каждое существенное свойство понятия, используемое в определении, на данном этапе делается специальным объектом изучения.

3.Следующий этап - закрепление . Понятие можно считать сформированным, если учащиеся сразу узнают его в задаче без всякого перебирания признаков, то есть процесс подведения под понятие свёрнут. Достичь этого можно следующими путями:

· Применение определения в более сложных ситуациях.

· Включение нового понятия в логические связи, отношения с другими понятиями (например, сопоставление родословных, классификаций).

· Желательно показать, что определение даётся не ради его самого, а для того, чтобы оно «работало» при решении задач и построении новой теории.

Глава 2
Психолого-педагогические особенности обучения математике в 5-6 классах

2.1 Особенности познавательной деятельности

Восприятие. Школьник 5-6 классов обладает достаточным уровнем развития восприятия. У него высокий уровень остроты зрения, слуха, ориентировки на форму и цвет предмета.

Процесс обучения предъявляет новые требования к восприятию школьника. В процессе восприятия учебной информации необходимы произвольность и осмысленность деятельности учащихся. Сначала ребёнка привлекает сам предмет и в первую очередь его внешние яркие признаки. Но дети уже в состоянии сосредоточиться и тщательно рассмотреть все характеристики предмета, выделить в нём главное, существенное. Эта особенность проявляется в процессе учебной деятельности. Они могут анализировать группы фигур, упорядочивать предметы по различным признакам, проводить классификацию фигур по одному или двум свойствам этих фигур.

У школьников этого возраста появляется наблюдение как специальная деятельность, развивается наблюдательность как черта характера.

Процесс формирования понятия - постепенный процесс, на первых стадиях которого важную роль играет чувственное восприятие объекта.

Память. Школьник 5-6 классов способен управлять своим произвольным запоминанием. Способность к запоминанию (заучиванию) медленно, но постепенно возрастает.

В этом возрасте память перестраивается, переходя от доминирования механического запоминания к смысловому. При этом перестраивается сама смысловая память. Она приобретает опосредованный характер, обязательно включается мышление. Поэтому необходимо учащихся учить правильно рассуждать, чтобы процесс запоминания базировался на понимании предлагаемого материала.

Заодно с формой меняется и содержание запоминания. Становится более доступным запоминание абстрактного материала.

Внимание. Процесс овладения знаниями, умениями, навыками требует постоянного и эффективного самоконтроля учащихся, что возможно только при сформированности достаточно высокого уровня произвольного внимания.

Школьник 5-6 классов вполне может управлять своим вниманием. Он хорошо концентрирует внимание в значимой для него деятельности. Поэтому нужно поддерживать интерес школьника к изучению математики. При этом целесообразно опираться на вспомогательные средства (предметы, картинки, таблицы).

В школе на уроках внимание нуждается в поддержке со стороны учителя.

Воображение. В процессе учебной деятельности учащийся получает много описательных сведений. Это требует от него постоянного воссоздания образов, без которых невозможно понять и усвоить учебный материал, т.е. воссоздающее воображение учащихся 5-6 классов с самого начала обучения включено в целенаправленную деятельность, способствующую его психическому развитию.

При развитии у ребёнка способности управлять своей умственной деятельностью воображение становится всё более управляемым процессом.

У школьников 5-6 классов воображение может превратиться в самостоятельную внутреннюю деятельность. Они могут проигрывать в уме мыслительные задачи с математическими знаками, оперировать значениями и смыслами языка, соединяя две высшие психические функции: воображение и мышление.

Все указанные выше особенности создают почву для развития процесса творческого воображения, в котором большую роль играют специальные знания учащихся. Эти знания составляют основу для развития творческого воображения и в последующие возрастные периоды жизни школьника.

Мышление. Всё большее значение начинает приобретать теоретическое мышление, способность устанавливать максимальное количество смысловых связей в окружающем мире. Школьник психологически погружён в реальности предметного мира, образно-знаковых систем. Изучаемый в школе материал становится для него условием для построения и проверки своих гипотез.

В 5-6 классах у школьника вырабатывается формальное мышление. Школьник этого возраста уже может рассуждать, не связывая себя с конкретной ситуацией.

Учёные изучали вопрос об умственных возможностях школьников 5-6 классов. В результате исследований выявилось, что умственные возможности ребёнка шире, чем предполагалось ранее, и при создании соответствующих условий, т.е. при специальной методической организации обучения, учащийся 5-6 классов может усвоить абстрактный математический материал.

Как видно из вышеизложенного, психические процессы характеризуются возрастными особенностями, знание и учёт которых необходимы для организации успешного обучения и умственного развития учащихся.

2.2 Психологические аспекты формирования понятий

2.3 Некоторые педагогические особенности обучения математике в 5-6 классах

Ведущей идеей современной концепции школьного образования является идея гуманизации, ставящая в центр процесса обучения ученика с его интересами и возможностями, требующая учёта особенностей его личности. Главными направлениями математического образования является усиление общекультурного звучания и повышение его значимости для формирования личности подрастающего человека. Основные идеи, положенные в основу курса математики 5-6 класса - это общекультурная ориентация содержания, интеллектуальное развитие учащихся средствами математики на материале, отвечающем интересам и возможностям детей 10-12 лет.

Курс математики 5-6 классов - важное звено математического образования и развития школьников. На этом этапе заканчивается в основном обучение счёту на множестве рациональных чисел, формируется понятие переменной и даются первые знания о приёмах решения линейных уравнений, продолжается обучение решению текстовых задач, совершенствуются и обогащаются умения геометрических построений и измерений. Серьёзное внимание уделяется формированию умения рассуждать, делать простые доказательства, давать обоснования выполняемых действий. Параллельно закладываются основы для изучения систематических курсов стереометрии, физики, химии и других смежных предметов.

Курс математики 5-6 классов представляет собой органическую часть всей школьной математики. Поэтому основным требованием к его построению является структурирование содержания на единой идейной основе, которая, с одной стороны, является продолжением и развитием идей, реализованных при обучении математики в начальной школе, и, с другой стороны, служит последующему изучению математики в старших классах.

Продолжается развитие всех содержательно-методических линий курса начальной математики: числовой, алгебраической, функциональной, геометрической, логической, анализ данных. Они реализованы на числовом, алгебраическом, геометрическом материале.

В последнее время существенно пересмотрено изучение геометрии. Целью изучения геометрии в 5-6 классах является познание окружающего мира языком и средствами математики. С помощью построений и измерений учащиеся выявляют различные геометрические закономерности, которые формулируют как предложение, гипотезу. Доказательный аспект геометрии рассматривается в проблемном плане - учащимся прививается мысль, что экспериментальным путём можно открыть многие геометрические факты, но эти факты становятся математическими истинами только тогда, когда они установлены средствами, принятыми в математике.

Таким образом, геометрический материал в этом курсе может быть охарактеризован, как наглядно-деятельностная геометрия. Обучение организуется как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений, изобразительных умений, расширение геометрического кругозора, в ходе которого важнейшие свойства геометрических фигур получаются посредством опыта и здравого смысла.

Достаточно новой в курсе 5-6 классов является содержательная линия «Анализ данных », которая объединяет в себе три направления: элементы математической статистики, комбинаторику, теорию вероятностей. Введение этого материала продиктовано самой жизнью. Его изучение направлено на формирование у школьников как общей вероятностной интуиции, так и конкретных способов оценки данных. Основная задача в этом звене - формирование соответствующего словаря, обучение простейшим приёмам сбора, представления и анализа информации, обучение решению комбинаторных задач перебором возможных вариантов, создание элементарных представлений о частоте и вероятности случайных событий.

Однако данная линия присутствует не во всех современных школьных учебниках для 5-6 классов. Особо подробно и ярко представлена данная линия в учебниках .

Алгебраический материал, включённый в курс математики 5-6 классов, является основой для систематического изучения алгебры в старших классах. Можно отметить следующие особенности изучения этого алгебраического материала:

1. Изучение алгебраического материала основано на научной основе с учётом возрастных особенностей и возможностей учащихся.

Методика изучения математических понятий

1. Сущность понятия. Содержание и объем понятия.

2. Определение математических понятий.

3. Классификация математических понятий.

4. Методика введения новых математических понятий.

Любая наука представляет собой систему понятий, поэтому в математике, как и в других учебных предметах, уделяется значительное внимание обучению понятиям. Понятие относится к формам теоретического мышления, которое является рациональной ступенью познания.

1. Сущность понятия. Содержание и объем понятия. При помощи понятий мы выражаем общие, существенные признаки вещей и явлений объективной действительности.

Восприятием называется непосредственное чувственное отражение действительности в сознании человека.

Представлением называется запечатленный в нашем сознании образ предмета или явления, в данный момент нами не воспринимаемого.

Восприятие исчезает как только воздействие предмета на органы чувств человека кончается. Остается представление. Например, показываем куб, а потом его убираем. Мы знаем различные кубы, разного цвета и т. п., но мы от этого отвлекаемся, сохраняя общее и существенное.

Понятие абстрагируется от индивидуальных черт и признаков отдельных восприятий и представлений и является результатом обобщения восприятий и представлений очень большого количества однородных предметов и явлений, например: число, пирамида, окружность, прямая. Понятия образуются путем таких логических приемов, как анализ и синтез, абстрагирование и обобщение. Понятием будем называть мысль о предмете, выделяющую его существенные признаки.

Существенными признаками понятия называются такие признаки, каждый из которых необходим, а все вместе достаточны, чтобы отличить объекты данного рода от других объектов (например, параллелограмм).

В каждом понятии различают его содержание и объем.

Объемом понятия называется совокупность объектов, на которое распространяется данное понятие.

Например, понятие «человек». Содержание: живое существо, создает орудия производства, обладает способностью абстрактного мышления. Объем: все люди.

Понятие «тетраэдр». Содержание: многогранник, ограниченный четырьмя гранями, имеющими форму треугольников. Объем: множество всех тетраэдров.

Между объемом и содержанием понятия существует соотношение: чем больше содержание понятия, тем меньше его объем. Сокращение содержания понятия влечет за собой расширение его объема. Эту операцию называют обобщением понятия. Например, если из содержания понятия «равносторонний треугольник» изъять свойство «равенство всех сторон», то множество треугольников, удовлетворяющих новому содержанию, станет «шире» – будет содержать множество равносторонних треугольников в качестве подмножества. Расширение содержания понятия ведет к сужению его объема и называется ограничением (специализацией) понятия. Пример такой операции – переход от понятия тождественных преобразований к понятию сокращение дробей.

Если объем одного понятия входит как часть в объем другого понятия, то первое понятие называется видовым , а второе – родовым .

Понятия род и вид имеют относительный характер. Например, понятие «призма» является родовым по отношению к понятию «прямая призма», но видовым понятием по отношению к понятию «многогранник».

Круги Эйлера.

2. Определение математических понятий. Содержание понятия раскрывается с помощью определения.

Определение (дефиниция) понятия – это такая логическая операция, при помощи которой раскрывается основное содержание понятия или значение термина.

Определить понятие – это значит перечислить существенные признаки предметов, отображенных в данном понятии.

Задача перечисления признаков бывает нелегкой, но она упрощается, если опираться на понятия, ранее уже установленные. Понятие фиксируется в речи с помощью слова или словосочетания, называемого именем или термином понятия. В математике понятие часто обозначается не только именем, но и символом . Например, и другие.

Таким образом, в определении сначала указывается род, в который определяемое понятие входит как вид, а затем указывают те признаки, которые отличают этот вид от других видов ближайшего рода. Такой прием определения понятия называется определением понятия через ближайший род и видовое отличие .

Понятие = род + видовое отличие.

Типы определений

Явные Неявные

Через род и видовые

отличия Аксиоматические Описательные

(описываются системой

Явными называются определения, в которых смысл определяемого термина полностью передается через смысл определяющих терминов, т. е. явные определения содержат прямое указание на существенные признаки определяемого понятия. Определение через ближайший род и видовое отличие относится к явным.

В неявных определениях смысл определяемого термина не передается полностью определяющими терминами. Пример неявного определения – определение исходных понятий с помощью системы аксиом. Такие определения называются аксиоматическими . Примеры аксиоматических определений являются определения группы, кольца и поля и т. п. (аксиоматика Гильберта, Вейля, система аксиом Пеано для натуральных чисел).

Генетическим называется определение объекта путем указания способа его построения, образования, происхождения. Например, «усеченный конус есть тело, происходящее от вращения прямоугольной трапеции вокруг стороны, перпендикулярной к основаниям трапеции». Или определение понятия «линейный угол двугранного угла».

В индуктивном (рекуррентном) определении объект задается как функция от натурального числа ..gif" width="56" height="21"> и. Например, по индукции в математике вводится определение натурального числа.

Остенсивные определения понятий и описательные описывают объекты с помощью моделей, рассмотрения частных случаев, выделения отдельных существенных свойств, вводятся с помощью непосредственного показа, демонстрации предметов. Часто применяются в начальных классах и частично в 5-6 классах. Учитель, изображая треугольники на доске, знакомит учащихся с понятием треугольник. В средней школе преобладают вербальные определения.

Чтобы дать логически правильное определение, нужно соблюдать правила определения :

1. Определение должно быть соразмерным , то есть определяемое и определяющие понятия должны быть равны по объему. Чтобы проверить соразмерность, нужно убедиться, что определяемое понятие удовлетворяет признакам определяющего понятия и наоборот.

Например, дано определение: «Параллелограмм есть многоугольник, у которого противоположные стороны параллельны». Проверим его: «Всякий многоугольник, у которого противоположные стороны параллельны, есть параллелограмм» – это неверно. Или: «параллельными прямыми называются прямые, которые не пересекаются» (неверно, это могут быть и скрещивающиеся прямые).

2. Определение не должно содержать в себе «порочного круга ». Это означает, что нельзя строить определение таким образом, чтобы определяющим понятием было такое, которое само определяется при помощи определяемого понятия.

Например, «прямым углом называется угол, содержащий , а градусом называется 1/90 часть прямого угла». Иногда «порочный круг» принимает форму тавтологии (то же посредством того же) – употребление слова, имеющего то же самое значение.

3. Определение по возможности не должно быть отрицательным . В определение должны указываться существенные признаки предмета, а не то, чем не является предмет.

Например, «ромб – это не треугольник», «эллипс – это не окружность». В математике в некоторых случаях отрицательные определения допустимы, например, «трансцендентной функцией называется всякая неалгебраическая функция».

4. Определение должно быть четким и ясным , не допускающим двусмысленных или метаморфических выражений.

Например, «арифметика есть царица математики» – образное сравнение, а не определение, утверждение «лень – мать всех пороков», поучительно, но не определяет понятие лени.

3. Классификация математических понятий. Объем понятия раскрывается путем классификации. Классификация – это систематическое распределение некоторого множества по классам, возникающее в результате последовательного деления, основанного на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов.

Операция деления – логическая операция, раскрывающая объем понятия путем выделения в нем возможных видов объекта. Например, всех студентов педагогического университета можно разделить на собирающихся идти работать в школу и не собирающихся. Основанием деления является свойство, в соответствии с которым выделяются виды. В нашем примере основанием является свойство: «иметь намерение работать в школе».

При осуществлении классификации важен выбор основания: разные основания дают разные классификации. Классификация может производиться по существенным свойствам (естественная) и по несущественным (вспомогательная). При естественной классификации, зная к какой группе принадлежит элемент, можем судить о его свойствах.

Два вида деления:

1. деление по видоизменению признака – это деление, при котором свойство – основание деления присуще объектам выделенных видов в разной степени

2. дихотомическое деление – это деление, при котором данное понятие делится на два вида по наличию или отсутствию некоторого свойства.

Операция деления подчиняется следующим правилам:

1. деление должно быть соразмерным, т. е. объединение выделенных классов должно образовывать исходное множество (сумма объемов видовых понятий равна объему родового понятия).

2. деление должно проводится только по одному основанию.

3. пересечение классов должно быть пусто.

4. деление должно быть непрерывным.

4. Методика введения новых математических понятий. В методике преподавания математики выделяются два метода введения понятий: конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный (термины введены русским методистом).

Схема применения конкретно-индуктивного метода.

1. Рассматриваются и анализируются примеры (анализ, сравнение, абстрагирование, обобщение,…).

2. Выясняются общие признаки понятия, которые его характеризуют.

3. Формулируется определение.

4. Определение закрепляется путем приведения примеров и контрпримеров.

Схема применения абстрактно-дедуктивного метода.

Формулируется определение понятия. Приводятся примеры и контрпримеры. Закрепляется понятие путем выполнения различных упражнений.

Например, введение квадратного уравнения, понятия декартовых координат и т. п.

При формировании понятий целесообразно применять рекомендации психолого-педагогических наук, например, теорию поэтапного формирования умственных действий.

1 этап. Разъясняют цель вводимого понятия, дают ориентировку.

2 этап. Учащиеся формулируют определение исходя из рисунка.

3 этап. Учащиеся формулируют определение, пользуясь громкой (внешней) речью без опоры на рисунок.

4 этап. Определение проговаривается в форме внешней речи про себя.

5 этап. Определение проговаривается в форме внутренней речи.

При изучении понятий надо варьировать несущественные признаки (принципы варьирования) – это разнообразное расположение на доске рисунков и чертежей, например, треугольника, его высоты, перпендикуляра к прямой и т. д. (не только горизонтальное расположение прямой, основания треугольника и т. п.)

Усвоению определений помогает анализ логической структуры определения. С этой целью составляются алгоритмы распознавания понятий, математические диктанты и тесты.

Формирование элементарных математических понятий младшего школьника

Е.Ю. Тогобецкая, магистрант кафедры педагогики и методик преподавания

Тольяттинский педагогический университет, Тольятти (Россия)

Ключевые слова: математические понятия, абсолютные понятия, относительные понятия, определения.

Аннотация: В школьной практике многие учителя добиваются от учеников заучивания определений понятий и требуют знания их основных доказываемых свойств. Однако результаты такого обучения обычно незначительны. Это происходит потому, что большинство учащихся, применяя понятия, усвоенные в школе, опираются на малосущественные признаки, существенные же признаки понятий ученики осознают и воспроизводят только при ответе на вопросы, требующие определения понятия. Часто учащиеся безошибочно воспроизводят понятия, то есть обнаруживают знание его существенных признаков, но применить эти знания на практике не могут, опираются на те случайные признаки, выделенные благодаря непосредственному опыту. Процессом усвоения понятий можно управлять, формировать их с заданными качествами.

Keywords: mathematical concepts, absolute concepts, relative concepts, definitions.

Annotation: In school practice many teachers achieve from pupils of learning of definitions of concepts and the knowledge of their basic proved properties demands. However results of such training are usually insignificant. It occurs because the majority of pupils, applying the concepts acquired at school, pupils lean against the unimportant signs, essential signs of concepts realise and reproduce only at the answer to the questions demanding definition of concept. Often pupils unmistakably reproduce concepts, that is find out knowledge of its essential signs, but put this knowledge into practice cannot, lean against those casual signs allocated thanks to a first-hand experience. Process of mastering of concepts it is possible to operate, form them with the set qualities.

При усвоении научных знаний учащиеся начальной школы сталкиваются с разными видами понятий. Неумение ученика дифференцировать понятия приводит к неадекватному их усвоению.

Логика в понятиях различает объем и содержание. Под объемом понимается тот класс объектов, которые относятся к этому понятию, объединяются им. Так, в объем понятия треугольник входит все множество треугольников независимо от их конкретных характеристик (видов углов, размера сторон и др.).

Под содержанием понятий понимается та система существенных свойств, по которой происходит объединение данных объектов в единый класс. Чтобы раскрыть содержание понятие, следует путем сравнения установить, какие признаки необходимы и достаточны для выделения его отношения к другим предметам. До тех пор, пока не установлены содержание и признаки, не ясна сущность предмета, отражаемого этим понятием, невозможно точно и четко отграничить этот предмет от смежных с ним, происходит путаница мышления.

Например, понятии треугольник к таким свойствам относятся следующие: замкнутая фигура, состоит из трех отрезков прямой. Совокупность свойств, по которым объединяются объекты в единый класс, называются необходимыми и достаточными признаками. В одних понятиях эти признаки дополняют друг друга, образуя вместе то содержание, по которому и объединяются объекты в единый класс. Примером таких понятий могут служить треугольник, угол, биссектриса и многие другие.

Совокупность данных объектов, на которые распространяется данное понятие, составляет логический класс объектов. Логический класс объектов - это совокупность объектов, имеющие общие признаки, вследствие чего они выражаются общим понятием. Логический класс объектов и объем соответствующего понятия совпадают.Понятия делятся на виды по содержанию и объему в зависимости от характера и количества объектов, на которые они распространяются. По объему математические понятия делятся на единичные и общие. Если в объем понятия входит только один предмет, оно называется единичным.

Примеры единичных понятий: «наименьшее двузначное число», «цифра 5», «квадрат, длина стороны которого 10 см», «круг радиусом 5 см». Общие понятие отображает признаки определенного множества предметов. Объем таких понятий всегда будет больше объема одного элемента. Примеры общих понятий: «множество двузначных чисел», «треугольники», «уравнения», «неравенства», «числа кратные 5», «учебники математики для начальной школы». По содержанию различают понятия конъюнктивные и дизъюнктивные, абсолютные и конкретные, безотносительные и относительные.

Понятия называются конъюнктивными, если их признаки взаимосвязаны и по отдельности ни один из них не позволяет опознать объекты этого класса, признаки связаны союзом «и». Например, объекты, относящиеся к понятию треугольник, обязательно должны состоять из трех отрезков прямой и быть замкнутыми.

В других понятиях отношение между необходимыми и достаточными признаками другие: они не дополняют друг друга, а заменяют. Это означает, что один признак является эквивалентом другого. Примером такого вида отношений между признаками могут служить признаки равенства отрезков, углов. Известно, что к классу равных отрезков относятся такие отрезки, которые: а) или совпадают при наложении; б) или порознь равны третьему; в) или состоят из равновеликих частей и т.д.

В данном случае перечисленные признаки не требуются все одновременно, как это имеет место при конъюнктивном типе понятий; здесь достаточно какого-то одного признака из всех перечисленных: каждый из них эквивалентен любому из остальных. В силу этого признаки связаны союзом «или». Такая связь признаков называется дизъюнкцией, а понятия соответственно называются дизъюнктивными. Важно также учитывать деление понятий на абсолютные и относительные.

Абсолютные понятия объединяют предметы в классы по определенным признакам, характеризующим суть этих предметов как таковых. Так, в понятии угол отражены свойства, характеризующие сущность любого угла как такового. Аналогично положение со многими другими геометрическими понятиями: окружность, луч, ромб и т.д.

Относительные понятия объединяют объекты в классы по свойствам, характеризующим их отношение к другим объектам. Так, в понятии перпендикулярные прямые фиксируется то, что характеризует отношение двух прямых друг к другу: пересечение, образование при этом прямого угла. Аналогично в понятии число отражено отношение измеряемой величины и принятого эталона. Относительные понятия вызывают у учащихся более серьезные трудности, чем понятия абсолютные. Суть трудностей состоит именно в том, что школь-ники не учитывают относительность понятий и оперируют с ними как с понятиями абсолютными. Так, когда учитель просит учеников изобразить перпендикуляр, то некоторые из них изображают вертикаль. Особое внимание следует уделить понятию число.

Число - это отношение того, что подвергается количественной оценке (длина, вес, объем и др.) к эталону, который используется для этой оценки. Очевидно, что число зависит как от измеряемой величины, так и от эталона. Чем больше измеряемая величина, тем больше будет число при одном и том же эталоне. Наоборот, чем больше будет эталон (мера), тем меньше будет число при оценке одной и той же величины. Следовательно, учащиеся с самого начала должны понять, что сравнение чисел по величине можно производить только тогда, когда за ними стоит один и тот же эталон. В самом деле, если, например, пять получено при измерении длины сантиметрами, а три - при измерении метрами, то три обозначают большую величину, чем пять. Если учащиеся не усвоят относительной природы числа, то они будут испытывать серьезные трудности и при изучении системы счисления. Трудности в усвоении относительных понятий сохраняются у учащихся и в средних, и даже в старших классах школы. Между содержанием и объемом понятия существует зависимость: чем меньший объем понятия, тем больше его содержание.

Например, понятие «квадрат» имеет меньший объем, чем объем понятия «прямоугольник» так как любой квадрат - это прямоугольник, но не всякий прямоугольник есть квадрат. Поэтому понятие «квадрат» имеет большее содержание, чем понятие «прямоугольник»: квадрат имеет все свойства прямоугольника и некоторые другие (у квадрата все стороны равны, диагонали взаимно перпендикулярны).

В процессе мышления каждое понятие не существует в отдельности, а вступает в определенные связи и отношения с другими понятиями. В математике важной формой связи есть родовидовая зависимость.

Например, рассмотрим понятия «квадрат» и «прямоугольник». Объем понятия «квадрат» есть частью объема понятия «прямоугольник». Поэтому первое называют видовым, а второе - родовым. В родо-видовых отношениях следует различать понятие ближайшего рода и следующие родовые ступени.

Например, для вида «квадрат» ближайшим родом будет род «прямоугольник», для прямоугольника ближайшим родом будет род «параллелограмм», для «параллелограмма» - «четырехугольник», для «четырехугольника» - «многоугольник», а для «многоугольника»- «плоская фигура».

В начальных классах впервые каждое понятие вводится наглядно, путем наблюдения конкретных предметов или практического оперирования (например, при счете их). Учитель опирается на знание и опыт детей, которые они приобрели еще в дошкольном возрасте. Ознакомления с математическими понятиями фиксируется с помощью термина или термина и символа. Такая методика работы над математическими понятиями в начальной школе не означает, что в этом курсе не используются различные виды определений.

Определить понятие - это перечислить все существенные признаки объектов, которые входят в данное понятие. Словесное определение понятия называется термином. Например, «число», «треугольник», «круг», «уравнение» - термины.

Определение решает две задачи: выделяет и отмежевывает какое-то определенное понятие от всех других и указывает те главные признаки, без которых не может существовать понятие и от которых зависят все остальные признаки.

Определение может быть более или менее глубоким. Это зависит от уровня знаний о понятии, которое означается. Чем лучшее мы его знаем, тем большая вероятность, что мы сможем дать для него лучшее определение. В практике обучения младших школьников применяются явные и неявные определения. Явные определения имеют форму равенства или совпадения двух понятий.

Например: «Пропедевтика есть вступление в любую науку». Здесь приравнивают один к одному два понятия - «пропедевтика» и «вступление в любую науку». В определении «Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны» имеем совпадение понятий. В обучении младших школьников особый интерес среди неявных определений составляют контекстуальные и остенсивные определения.

Любой отрывок из текста, будь какой контекст, в котором случается понятие, которое нас интересует, есть, в некотором понимании, неявным его определением. Контекст ставит понятие в связь с другими понятиями и тем самим раскрывает ее содержание.

Например, употребляя в работе с детьми такие выражения, как «найти значения выражения», «сравнить значение выражений 5 + а и (а - 3) 2, если а = 7», «прочитать выражения, которые являются суммами», «прочитать выражения, и потом прочитать уравнения», мы раскрываем понятие «математическое выражение» как запись, которая складывается из чисел или переменных и знаков действий. Почти все определения, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни - это контекстуальные определения. Услышав, неизвестное слово, мы стараемся сами установить его значение на основании всего сказанного. Подобное имеет место и в обучении младших школьников. Много математических понятий в начальной школе определяются через контекст. Это, например, такие понятия, как «большой -- маленький», «какой-нибудь», «любой», «один», «много», «число», «арифметическое действие», «уравнение», «задача» и т.д.

Контекстуальные определения остаются большей частью неполными и незавершенными. Они применяются в связи с неподготовленностью младшего школьника к усвоению полного и тем более научного определения.

Остенсивные определния - это определения путем демонстрации. Они напоминают обычные контекстуальные определения, но контекстом здесь есть не отрывок какого-либо текста, а ситуация, в которой оказывается объект, обозначенный понятием. Например, учитель показывает квадрат (рисунок или бумажную модель) и говорит «Смотрите - это квадрат». Это типичное остенсивное определение.

В начальных классах остенсивные определения применяются при рассмотрении таких понятий как «красный (белый, черный и т.д.) цвет», «левый - правый», «слева направо», «цифра», «предшествующее и следующее число», «знаки арифметических действий», «знаки сравнения», «треугольник», «четырехугольник», «куб» и т.д.

На основе усвоения остенсивным путем значений слов есть возможность вводить в словарь ребенка уже вербальное значение новых слов и словосочетаний. Остенсивные определения - и только они - связывают слово с вещами. Без них язык - лишь словесное кружево, которое не имеет объективного, предметного содержания. Заметим, что в начальных классах допустимые определения наподобие «Словом «пятиугольник» мы будем называть многоугольник с пятью сторонами». Это так называемое «номинальное определение». В математике используются разные явные определения. Наиболее распространенное из них - определение через ближайший род и видовой признак. Родовидовое определение еще называют классическим.

Примеры определений через род и видовой признак: «Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельные», «Ромбом называется параллелограмм, стороны которого равны», «Прямоугольником называется параллелограмм, у которого углы прямые», «Квадратом называется прямоугольник, в которым стороны равны», « Квадратом называется ромб, у которого прямые углы».

Рассмотрим определения квадрата. В первом определении ближайшим родом будет «прямоугольник», а видовым признаком - «все стороны равны». В втором определении ближайший род «ромб», а видовой признак - «прямые углы». Если же взять не ближайший род («параллелограмм»), то видовых признаков квадрата будет два «Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые».

В родовидовом отношении находятся понятия «сложение (вычитание, умножение, деление)» и «арифметическое действие», понятие «острый (прямой, тупой) угол» и «угол». Примеров явных родовидовых отношений среди множества математических понятий, которые рассматриваются в начальных классах, не так уже и много. Но с учетом важности определения через род и видовой признак в дальнейшем обучении желательно добиваться понимания учениками сущности определения этого вида уже в начальных классах.

Отдельные определения могут рассматривать понятие и по способу его образования или возникновения. Определение такого типа называют генетическими. Примеры генетических определений: «Угол - это лучи, которые выходят с одной точки», «Диагональ прямоугольника - отрезок, который соединяет противоположные вершины прямоугольника». В начальных классах генетические определения применяют для таких понятий, как «отрезок», «ломаная», «прямой угол», «круг». К генетическим понятиям можно отнести и определение через перечень.

Например, «Натуральный ряд чисел -- это числа 1, 2, 3, 4 и т.д.». Некоторые понятия в начальных классах вводят только через термин. Например, единицы времени год, месяц, час, минута. Есть в начальных классах понятия, которые подаются символическим языком в виде равенства, например, а 1= а, а 0=0

Из выше сказанного можно сделать вывод, что в начальных классах много математических понятий сначала усваиваются поверхностно, расплывчато. При первом ознакомлении школьники узнают только о некоторых свойствах понятий, очень узко представляют их объем. И это закономерно. Не все понятия легко усвоить. Но бесспорно, что понимание и своевременное использование учителем тех или других видов определений математических понятий - одна из условий формирования у учеников твердых знаний об этих понятиях.

Список литературы:

1. Богданович М.В. Определение математических понятий //Начальная школа 2001. - № 4 .

2. Глузман Н. А. Формирование обобщенных приемов умственной деятельности у младших школьников. - Ялта: КГГИ, 2001. - 34 с.

3. Дрозд В.Л. Урбан М.А. От маленьких проблем - к большим открытиям. //Начальная школа. - 2000. - № 5.

Министерство образования Республики Беларусь

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра МПМ

Реферат

Математические понятия

Исполнитель:

Студентка группы М- 32

Молодцова А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Лебедева М.Т.

Гомель 2007

Введение

Формулировки многих определений (теорем, аксиом) учащимся понятны, легко запоминаются после небольшого числа повторений, поэтому целесообразно в начале предложить их запомнить, а затем научить применять к решению задач.

раздельным.

1. Объём и содержание понятия. Классификация понятий

Объекты реальной действительности обладают: а) едиными свойствами, выражающими его отличительные свойства (например, уравнение третьей степени с одной переменной - кубическое уравнение); б) общими свойствами, которые могут быть отличительными, если выражают существенные свойства объекта (его признаки), выделяющие его из множества других объектов.

Термин “понятие” используется для обозначения мысленного образа некоторого класса объектов, процессов. Психологи выделяют три формы мышления:

1) понятиями (например, медиана - отрезок, соединяющий вершину с противоположной стороной треугольника);

2) суждениями (например, для углов произвольного треугольника справедливо:);

3) умозаключениями (например, если a>b и b>c, то a>c).

Характерными для формы мышления понятиями являются: а) это продукт высокоорганизованной материи; б) отражает материальный мир; в) предстаёт в познании как средство обобщения; г) означает специфически человеческую деятельность; д) его формирование в сознании неотделимо от его выражения посредством речи, записи или символа.

Математическое понятие отражает в нашем мышлении определённые формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций. Их формирование происходит по схеме:

Каждое понятие объединяет множество объектов или отношений, называемое объёмом понятия , а характеристические свойства, присущие всем элементам этого множества и только им, выражающие содержание понятия.

Например, математическое понятие - четырёхугольник. Его объём : квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция и т.д. Содержание: 4 стороны, 4 угла, 4 вершины (характеристические свойства).

Содержание понятия жёстко определяет его объём и, наоборот, объём понятия вполне определяет его содержание. Переход от чувственной ступени к логической происходит посредством обобщения: либо через выделение общих признаков объекта (параллелограмм - четырёхугольник - многоугольник); либо через общие признаки в сочетании с особенными или единичными, которое приводит к конкретному понятию.

В процессе обобщения объём расширяется, а содержание сужается. В процессе специализации понятия объём сужается, я содержание расширяется.

Например:

многоугольники - параллелограммы;

треугольники - равносторонние треугольники.

Если объём одного понятия содержится в объёме другого понятия, то второе понятие называется родовым , по отношению к первому; а первое называется видовым по отношению ко второму. Например: параллелограмм - ромб (род) (вид).

Процесс выяснения объёма понятия называется классификацией , схема которой выглядит так:

пусть дано множество и некоторое свойство и пусть в есть элементы, как обладающие, так и не обладающие этим свойством. Пусть:

Выделим в новое свойство и проведём разбиение по этому свойству:

Например: 1) классификация числовых множеств, отражающих развитие понятия числа; 2) классификация треугольников: а) по сторонам; б) по углам.

Задача №1. Множество треугольников изобразим с помощью точек квадрата.

Свойство равнобедренности;

Свойство прямоугольности;

Существуют ли треугольники, обладающие этими свойствами одновременно?

2. Математические определения. Типы ошибок в определении понятий

Заключительный этап формирования понятия - его определение , т.е. принятие условного соглашения. Под определением понимается перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведённых в связное предложение (речевое или символическое).

2.1 Способы определения понятий

Первоначально выделяют неопределяемые понятия, на основании которых определяются математические понятия следующими способами:

1) через ближайший род и видовое отличие : а) дескриптивное (выясняющее процесс, при помощи которого определение построено, или описывающее внутреннее строение в зависимости от тех операций, при помощи которых данное определение было построено из неопределяемых понятий); б) конструктивное (или генетическое ), указывающее происхождение понятия.

Например: а) прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые; б) окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

2) индуктивно. Например, определение арифметической прогрессии:

3) через абстракцию . Например, натуральное число - характеристика классов эквивалентных конечных множеств;

4) аксиоматическое (косвенное определение) . Например, определение площади фигуры в геометрии: для простых фигур площадь - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: а) равные фигуры имеют равные площади; б) если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей; в) площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

2.2 Явные и неявные определения

Определения подразделяются на:

а) явные , в которых чётко выделены определяемое и определяющие понятия (например, определение через ближайший род и видовое отличие);

б) неявные , которые строятся по принципу замены одного понятия другим с более широким объёмом и окончание цепочки есть неопределяемое понятие, т.е. формально-логическое определение (например, квадрат - ромб с прямым углом; ромб - параллелограмм с равными смежными сторонами; параллелограмм - четырёхугольник, с попарно параллельными сторонами; четырёхугольник - фигура, состоящая из 4 углов, 4 вершин, 4 сторон). В школьных определениях чаще всего практикуется первый способ, схема которого такова: имеем множества и некоторое свойство тогда

Основное требование при построение определений: определяемое множество должно быть подмножеством минимального множества. Например, сравним два определения: (1) Квадрат есть ромб с прямым углом; (2) Квадрат есть параллелограмм с равными сторонами и прямым углом (избыточное).

Всякое определение есть решение задачи на “доказательство существования”. Например, прямоугольный треугольник есть треугольник с прямым углом; его существование - построение.

2.3 Характеристика основных типов ошибок

Отметим типичные ошибки, которые встречаются у учащихся при определении понятий:

1) использование не минимального множества в качестве определяющего, включение логически зависимых свойств (характерно при повторении материала).

Например: а) параллелограмм - четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны; б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она, пересекаясь с этой плоскостью, образует прямой угол с каждой прямой, проведённой на плоскости через точку пересечения, вместо: “прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна ко всем прямым этой плоскости”;

2) использование определяемого понятия и в качестве определяющего.

Например, определяется прямой угол не как один из равных смежных углов, а как углы с взаимно перпендикулярными сторонами;

3) тавтология - определяется понятие через само это понятие.

Например, две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия;

4) иногда в определении указывается не то определяющее множество, из которого выделяется определяемое подмножество.

Например, “медиана есть прямая …” вместо ”медиана есть отрезок, соединяющий…”;

5) в определениях, даваемых учащимися, иногда совсем отсутствует определяемое понятие, что возможно лишь тогда, когда учащиеся не приучены давать полные ответы.

Методика исправления ошибок в определениях предполагает, первоначально, выяснения сути допущенных ошибок, а затем предупреждение их повторения.

3. Структура определения

1) Конъюнктивная структура : две точки и называются симметричными относительно прямой p(A (x )), если эта прямая p перпендикулярна отрезку и проходит через его середину. Будем также считать, что каждая точка прямой р симметрична себе относительно прямой р (наличие союза “и”) (* - “Биссектрисой угла называется луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит угол пополам”).

2) Конструктивная структура : “Пусть - данная фигура и р - фиксированная прямая. Возьмём произвольную точку фигуры и опустим перпендикуляр на прямую р. На продолжение перпендикуляра за точку отложим отрезок, равный отрезку. Преобразование фигуры в фигуру, при котором каждая точка переходит в точку, построенную указанным образом, называют симметрией относительно прямой р.”

3) Дизъюнктивная структура : определение множества Z целых чисел можно записать на языке свойств в виде Z N или N или =0, где N - множество чисел, противоположных натуральным.

4. Характеристика основных этапов изучения математических понятий

Методика работы над определением предполагает: 1) знание определения; 2) обучение распознавания объекта, соответствующего данному определению; 3) построение различных контрпримеров. Например, понятие “прямоугольный треугольник” и работа по распознаванию его составных элементов:

Изучение математических определений можно подразделить на три этапа:

1-й этап - введение - создание на уроке ситуации, когда учащиеся либо сами “открывают” новое, самостоятельно формируют для них определения, либо просто подготавливаются к их пониманию.

2-й этап - обеспечение усвоения - сводится к тому, чтобы школьники:

а) научились применять определение;

б) быстро и безошибочно запоминать их;

в) понимали каждое слово в их формулировках.

3-й этап - закрепление - осуществляется на последующих уроках и сводится к повторению их формулировок и обработке навыков применения к решению задач.

Ознакомление с новыми понятиями проводятся:

1 способ: учащиеся подготавливаются к самостоятельному формированию определения.

2 способ: учащиеся готовятся к сознательному восприятию, пониманию нового математического предложения, формулировка которого им сообщается затем в готовом виде.

3 способ: учитель сам формулирует новое определение без какой-либо подготовки, а затем сосредотачивает усилия учащихся на их усвоении и закреплении.

1 и 2 способ представляют эвристический метод, 3 способ - догматический. Использование любого из способов должно соответствовать уровню подготовленности класса и опыта учителя.

5. Характеристика приемов введения понятий

Возможны следующие приёмы при введении понятий:

1) можно составить такие упражнения, которые позволяют учащимся быстро сформулировать определение нового понятия.

Например: а) Выписать несколько первых членов последовательности (), у которой =2, . Такая последовательность называется геометрической прогрессией. Попытайтесь сформулировать её определение. Можно ограничиться подготовкой к восприятию нового понятия.

б) Выписать несколько первых членов последовательности (), у которой =4, Далее учитель сообщает, что такая последовательность называется арифметической прогрессией и сам сообщает её определение.

2) при изучении геометрических понятий упражнения формулируются таким образом, чтобы учащиеся построили сами необходимую фигуру и смогли выделить признаки нового понятия, необходимые для формулировки определения.

Например: постройте произвольный треугольник, соедините отрезком его вершину с серединой противоположной стороны. Такой отрезок называется медианой. Сформулируйте определение медианы.

Иногда предлагается составить модель либо, рассматривая готовые модели и чертежи, выделить признаки нового понятия и сформулировать его определение.

Например: введено в 10 классе определение параллелепипеда. По предложенным моделям наклонного, прямого и прямоугольного параллелепипедов выделить признаки, по которым эти понятия различаются. Сформулировать соответствующие определения прямого и прямоугольного параллелепипедов.

3) Многие алгебраические понятия вводятся на основании рассмотрения частных примеров.

Например: графиком линейной функции является прямая.

4) Метод целесообразных задач, (разработан С.И. Шохором-Троцким) С помощью специально подобранной задачи учащиеся приходят к выводу о необходимости введения нового понятия и целесообразности придания ему именно такого смысла, который оно уже имеет в математике.

В 5-6 классах таким методом вводятся понятия: уравнение, корень уравнения, решение неравенств, понятие действий сложения, вычитания, умножения, деления над натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями и т.д.

Конкретно-индуктивный метод

Сущность:

а) рассматриваются конкретные примеры;

б) выделяются существенные свойства;

в) формулируется определение;

г) выполняются упражнения: на распознавание; на конструирование;

д) работа над свойствами, не включёнными в определение;

е) применение свойств.

Например: тема - параллелограммы:

1, 3, 5 - параллелограммы.

б) существенные признаки: четырёхугольник, попарная параллельность сторон.

в) распознавание, построение:

г) найти (построить) четвёртую вершину параллелограмма (* - задача №3, ст.96, Геометрия 7-11 класс: Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трёх заданных точках, не лежащих на одной прямой? Постройте их.).

д) другие свойства:

AC и BD пересекаются в точке О и АО=ОС, ВО=ОD; АВ=СD, AD=BC.

е) А=С, В=D.

Закрепление: решение задач №4-23, стр.96-97, Геометрия 7-11, Погорелов.

Перспективное значение:

а) используется при изучении и определении прямоугольника и ромба;

б) принцип параллельности и равенства отрезков, заключённых между параллельными прямыми в теореме Фалеса;

в) понятие параллельного переноса (вектора);

г) свойство параллелограмма используется при выводе площади треугольника;

д) параллельность и перпендикулярность в пространстве; параллелепипед; призма.

Абстрактно-дедуктивный метод

Сущность:

а) определение понятия: - квадратное уравнение;

б) выделение существенных свойств: х - переменная; a, b, c - числа; а?0 при

в) конкретизация понятия: - приведенное; примеры уравнений

г) упражнения: на распознавание, на конструирование;

д) изучение свойств, не включённых в определение: корни уравнения и их свойства;

е) решение задач.

В школе абстрактно-дедуктивный способ применяется тогда, когда новое понятие полностью подготовлено изучением предыдущих понятий, в том числе изучением ближайшего родового понятия, а видовое отличие нового понятия весьма простое и понятное учащимся.

Например: определение ромба после изучения параллелограмма.

Кроме того, указанный метод используется:

1) при составлении “родословной” определения понятия:

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Четырёхугольник - фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков.

Иначе говоря, родословная представляет собой цепочку понятий, построенных через обобщения предыдущего понятия, финалом которой является неопределяемое понятие (напомним, что в курсе школьной геометрии к таковым относятся точка, фигура, плоскость, расстояние (лежать между));

2) классификация;

3) применяется к доказательствам теорем и решению задач;

4) широко используется в процессе актуализации знаний.

Рассмотрим этот процесс, представленный системой задач:

а) Дан прямоугольный треугольник со сторонами 3см и 4см. Найти длину медианы, проведённой к гипотенузе.

б) Доказать, что медиана, проведённая из вершины прямого угла треугольника, равна половине гипотенузы.

в) Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными к гипотенузе.

г) На продолжении наибольшей стороны АС треугольника АВС отложен отрезок СМ, равный стороне ВС. Доказать, что АВМ тупой.

В большинстве случаев в школьном преподавании применяется конкретно-индуктивный способ. В частности, таким методом вводятся понятия в пропедевтических циклах начал алгебры и геометрии в 1-6 классах, причём многие определяющие понятия вводятся описательно, без строгих формулировок.

Незнание учителем различных методов введения определений приводит к формализму, который проявляется следующим образом:

а) учащиеся затрудняются применить определения в непривычной ситуации, хотя и помнят его формулировку .

Например: 1) считают функцию - чётной, т.к. “cos” - чётная;

2) - не понимают связь между монотонностью функции и решением неравенства, т.е. не могут применять соответствующие определения, в которых основной приём исследования состоит в оценке знака разности значений функции, т.е. в решении неравенства.

б) учащиеся обладают навыками решения задач какого-либо типа, но не могут объяснить, на основании каких определений, аксиом, теорем они выполняют те или иные преобразования.

Например: 1) - преобразовать согласно этой формуле и 2) представьте, что на столе - модель четырёхугольной пирамиды. Какой многоугольник будет основанием этой пирамиды, если модель положить на стол боковой гранью? (четырёхугольник).

Процесс формирования знаний, умений и навыков не ограничивается сообщением новых знаний.

Эти знания должны быть усвоены и закреплены.

6. Методика обеспечения усвоения математических понятий (предложений)

1. Формулировки многих определений (теорем, аксиом) учащимся понятны, легко запоминаются после небольшого числа повторений, поэтому целесообразно в начале предложить их запомнить, а затем научить применять к решению задач.

Метод, при котором процессы запоминания определений и формирования навыков их применения протекают у учащихся неодновременно (раздельно), называют раздельным.

Раздельный метод используется при изучении определений хорды, трапеции, чётной и нечётной функции, теорем Пифагора, признаков параллельности прямых, теоремы Виета, свойств числовых неравенств, правил умножения обыкновенных дробей, сложения дробей с одинаковыми знаменателями и т.д.

Методика:

а) учитель формулирует новое определение;

б) учащиеся класса для запоминания повторяют его 1-3 раза;

в) отрабатывается на упражнениях.

2. Компактный метод состоит в том, что учащиеся читают по частям математическое определение или предложение и по ходу чтения одновременно выполняют упражнение.

Читая формулировку несколько раз, они попутно запоминают её.

Методика:

а) подготовка математического предложения к применению. Определение разбивается на части по признакам, теорема - на условие и заключение;

б) образец действий, предлагаемый учителем, который показывает, как работать с подготовленным текстом: читаем его по частям и одновременно выполняем упражнения;

в) учащиеся по частям читают определение и одновременно выполняют упражнения, руководствуясь подготовленным текстом и образцом учителя;

Например: определение биссектрисы в пятом классе:

1) введение понятия проводится методом целесообразных задач на модели угла;

2) выписывается определение: “Луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части, называется биссектрисой угла ”;

3) выполняется задание: указать, какие из линий на чертежах являются биссектрисами углов (равные углы обозначаются одинаковым числом дуг).

На одном из чертежей учитель показывает применение определения (см. дальше);

4) работа продолжается учениками.

3. Комбинация раздельного и компактного метода : после вывода нового правила оно повторяется 2-3 раза, а затем учитель требует в процессе выполнения упражнений формулировать правило по частям.

4. Алгоритмический метод используется для формирования навыков применения математических предложений.

Методика: математические предложения заменяются алгоритмом. Читая поочередно указания алгоритма, ученик решает задачу. Таким образом у него формируется навык применения определения, аксиомы и теоремы. При этом допускается либо последующее заучивание определения, либо прочтение вместе с алгоритмом и самого определения.

Основные этапы метода:

а) подготовка к работе списка указаний, который либо дается в готовом виде, с последующим разъяснением, либо учащиеся подводятся к его самостоятельному составлению;

б) образец ответа учителя;

в) аналогичным образом работают ученики.

Раздельный и компактный методы применяются при изучении определений. Алгоритмический может быть применен только при изучении трудно усваиваемых определений (например, необходимые и достаточные условия). Наиболее широко алгоритмический метод используется при формировании навыков решения задач.

7. Методика закрепления математических понятий и предложений

1й приём:

учитель предлагает сформулировать и применить те или иные определения, аксиомы, теоремы, которые встречаются по ходу решения задач.

Например: построить график функции; определение четной (нечетной) функции; необходимое и достаточное условие существования.

2й приём:

учитель предлагает сформулировать ряд определений, теорем, аксиом во время фронтального опроса, с тем, чтобы повторить их и заодно проверить, помнят ли их ученики. Этот приём вне решения задач не эффективен. Возможно сочетать фронтальный опрос со специальными упражнениями, которые требуют от учащихся умения применять определения, теоремы, аксиомы в различных ситуациях, умения быстро ориентироваться в условии задачи.

Заключение

Знание определения не гарантирует усвоения понятия. Методическая работа с понятиями должна быть направлена на преодоление формализма, который проявляется в том, что учащиеся не могут распознать определяемый объект в различных ситуациях, где он встречается.

Распознавание объекта, соответствующего данному определению, и построение контрпримеров возможно лишь при ясном представлении о структурах рассматриваемого определения, под которой в схеме определения () понимают структуру правой части.

Литература

1. К.О. Ананченко «Общая методика преподавания математики в школе», Мн., «Унiверсiтэцкае», 1997 г.

2. Н.М. Рогановский «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990 г.

3. Г. Фройденталь «Математика как педагогическая задача», М., «Просвещение», 1998 г.

4. Н.Н. «Математическая лаборатория», М., «Просвещение», 1997 г.

5. Ю.М. Колягин «Методика преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999 г.

6. А.А. Столяр «Логические проблемы преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000 г.

Подобные документы

Основы методики изучения математических понятий. Математические понятия, их содержание и объём, классификация понятий. Психолого-педагогические особенности обучения математике в 5-6 классах. Психологические аспекты формирования понятий.

дипломная работа , добавлен 08.08.2007


Сущность формирования понятий, его общая схема и особенности, этапы реализации и возможные пути. Классификация понятий и ее методика для математических дисциплин. Определение как завершающий этап формирования понятия, его разновидности и особенности.

реферат , добавлен 24.04.2009


"Понятие" в психолого-педагогической, философской, учебно-методической литературе. Виды и определения математических понятий в начальной математике. Роль, функции классификации при формировании понятий. Система формирования математических понятий.

дипломная работа , добавлен 23.11.2008


Психолого-педагогические основы формирования научных понятий. Сущность и источники витагенного обучения. Методы и приемы выявления и актуализации витагенного опыта учащихся. Формирование научных понятий как педагогическая проблема. Виды научных понятий.

дипломная работа , добавлен 13.12.2009


Анализ основных математических понятий. Методика изучения табличных случаев умножения и деления. Задания для самостоятельной работы учащихся. Реализация индивидуального подхода в обучении. Упражнения для усвоения таблицы умножения, приемы проверки знаний.

дипломная работа , добавлен 13.12.2013


статья , добавлен 15.09.2009


Наглядность как средство усвоения грамматических понятий. Система изучения грамматических понятий на уроках русского языка с использованием наглядности. Результаты эксперимента по определению уровня изучения грамматических понятий младшими школьниками.

дипломная работа , добавлен 03.05.2015


Компоненты математических способностей, степень их проявления в младшем школьном возрасте, природные предпосылки и условия формирования. Основные формы и методика проведения внеклассной работы: кружковые занятия, математические вечера, олимпиады, игры.

дипломная работа , добавлен 06.11.2010


Методика ознакомления учащихся с аксиомами в курсе школьной геометрии, традиционно-синтетический координатно-векторный методы, роль аксиом в построении школьного курса. Методика введения понятий и теорем, схема изучения признаков равенства треугольников.

реферат , добавлен 07.03.2010


Особенности изучения математики в начальной школе согласно Федеральному государственному образовательному стандарту начального общего образования. Содержание курса. Анализ основных математических понятий. Сущность индивидуального подхода в дидактике.