"To znamená, že rovnice prvého stupňa. V tejto lekcii budeme analyzovať Čo sa nazýva štvorcová rovnica A ako to vyriešiť.
Čo sa nazýva štvorcová rovnica
DÔLEŽITÉ!
Stupeň rovnice je určený v najväčšej miere, v ktorom nie je neznáma.
Ak je maximálny stupeň, v ktorom je neznáme "2", znamená to, že ste štvorcová rovnica.
Príklady štvorcových rovníc
- 5x 2 - 14x + 17 \u003d 0
- -X 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x \u003d 0
- x 2 - 8 \u003d 0
DÔLEŽITÉ! Všeobecný pohľad na štvorcovú rovnicu vyzerá takto:
X 2 + B x + C \u003d 0
"A", "B" a "C" - špecifikované čísla.- "A" je prvý alebo vyšší koeficient;
- "B" - druhý koeficient;
- "C" je slobodný člen.
Ak chcete nájsť "A", "B" a "C", musíte porovnať svoju rovnicu so spoločným výhľadom na štvorcovú rovnicu "AX 2 + BX + C \u003d 0".
Postaráme sa o určenie koeficientov "A", "B" a "C" v štvorcových rovniciach.
| Rovnica | Faktory | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a \u003d -1.
- b \u003d 1.
- c \u003d.
1 3
- a \u003d 1.
- b \u003d 0,25.
- c \u003d 0
- a \u003d 1.
- b \u003d 0.
- c \u003d -8.
Ako riešiť štvorcové rovnice
Na rozdiel od lineárne rovnice Na riešenie štvorcových rovníc, špeciálne vzorec pre nájdenie koreňov.
Pamätajte si!
Ak chcete vyriešiť štvorcovú rovnicu, ktorú potrebujete:
- vytvorte štvorcovú rovnicu na celkový typ "AX 2 + BX + C \u003d 0". To znamená, že len "0" by mala zostať v pravej časti;
- použite koreňový vzorec:
Poďme sa analyzovať na príklad, ako aplikovať vzorec pre nájdenie koreňov štvorcovej rovnice. Nechajte štvorcovú rovnicu.
X 2 - 3X - 4 \u003d 0
Rovnica "x 2 - 3x - 4 \u003d 0" je už daná na celkový vzhľad "AX 2 + BX + C \u003d 0" a nevyžaduje ďalšie zjednodušenie. Ak chcete vyriešiť, máme dosť na to, aby sme mohli uplatniť vzorec pri hľadaní koreňov štvorcovej rovnice.
Definujeme koeficienty "A", "B" a "C" pre túto rovnicu.
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
S ním sa vyrieši akúkoľvek štvorcová rovnica.
Vo vzorci "X 1; 2 \u003d" často nahrádzajú vedený výraz
"B 2 - 4AC" na písmene "D" a nazýva sa diskriminant. Koncepcia diskriminácie je podrobnejšie posudzovaná v lekcii "Čo je diskriminant".
Zvážte ďalší príklad štvorcovej rovnice.
x 2 + 9 + x \u003d 7x
V tomto formulári určte koeficienty "A", "B" a "C" je dosť ťažké. Poďme najprv dať rovnicu na všeobecný typ "AX 2 + BX + C \u003d 0".
X 2 + 9 + x \u003d 7x
x 2 + 9 + x - 7x \u003d 0
x 2 + 9 - 6x \u003d 0
X 2 - 6x + 9 \u003d 0
Teraz môžete použiť koreňový vzorec.
X 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x \u003d.
| 6 |
| 2 |
x \u003d 3.
Odpoveď: X \u003d 3
Existujú prípady, keď v štvorcových rovniciach nie sú žiadne korene. Táto situácia nastane, keď je záporné číslo pod koreňom.
Kvadratické rovnice. Diskriminant. Riešenie, príklady.
Pozor!
Táto téma má ďalšie
Materiály v špeciálnej časti 555.
Pre tých, ktorí sú silne "nie veľmi ..."
A pre tých, ktorí sú "veľmi ...")
Typy štvorcových rovníc
Čo je štvorcová rovnica? Ako to vyzerá? V podmienkach kvadratická rovnica Kľúčové slovo "Námestie". To znamená, že v rovnici predtým Musí byť na námestí na námestí. Okrem toho, v rovnici môže byť (a nemusí byť!) Jednoducho x (v prvom stupni) a len číslo (slobodný člen). A nemali by existovať žiadne ICS do určitej miery, viac dvoch.
Hovoriť matematickým jazykom, štvorcová rovnica je rovnica formulára:
Tu a, B as - niektoré čísla. b a C. - všetky všetky a ale- Každý, kto ale nulový. Napríklad:
Tu ale =1; b. = 3; c. = -4
Tu ale =2; b. = -0,5; c. = 2,2
Tu ale =-3; b. = 6; c. = -18
No, chápané ...
V týchto štvorcových rovníc je vľavo prítomná plný set členov. X štvorec s koeficientom ale,x v prvom stupni s koeficientom b. a voľný péro s.
Takéto štvorcové rovnice sa nazývajú plný.
Čo ak b. \u003d 0, čo robíme? Máme x je prvým stupňom zmizne. Z množenia na nulu sa to deje.) Ukazuje sa napríklad:
5x 2 -25 \u003d 0,
2x 2 -6x \u003d 0,
- 2 + 4x \u003d 0
Atď. A ak obaja koeficient, b. a c. rovná nule, je to stále jednoduchšie:
2x 2 \u003d 0,
-0,3x 2 \u003d 0
Takéto rovnice, kde sa niečo chýba nedokončené štvorcové rovnice. Čo je celkom logické.) Žiadam vás, aby ste si všimli, že X je prítomný na námestí vo všetkých rovniciach.
Mimochodom, prečo ale Nemôže byť nula? A namiesto toho nahrádzate ale Nolik.) Zmizneme na námestí! Rovnica sa stane lineárnou. A je to už vyriešené pomerne rozdielne ...
To sú všetky hlavné typy štvorcových rovníc. A neúplné.
Riešenie štvorcových rovníc.
Riešenie úplných štvorcových rovníc.
Štvorcové rovnice sa jednoducho vyriešia. Podľa vzorcov a jasne jednoduchých pravidiel. V prvej fáze musí byť daná rovnica upravená na štandardný formulár, t.j. Na mysli:
Ak sa vám darí rovnica, už v tomto formulári - prvá etapa nie je potrebná.) Hlavnou vecou je správne definovať všetky koeficienty, ale, b. a c..
Vzorec na nájdenie koreňov štvorcovej rovnice vyzerá takto:
Výraz pod znakom koreňa sa nazýva diskriminant. Ale o tom - nižšie. Ako môžete vidieť, nájsť ICA, používame len A, B as. Tí. Koeficienty štvorcovej rovnice. Len úhľadne nahradiť hodnoty a, B as V tomto vzorci a považujeme. Náhradník s vašimi znakmi! Napríklad v rovnici:
ale =1; b. = 3; c. \u003d -4. Tu a napíšte:
Príklad je prakticky vyriešený:
Toto je odpoveď.
Všetko je veľmi jednoduché. A čo si myslíte, že nie je možné urobiť chybu? No, áno, ako ...
Najčastejšie chyby - zmätok s príznakmi hodnôt a, B as. Skôr, nie so svojimi znakmi (kde je zmätený?), Ale s nahradením záporných hodnôt vo vzorci pre výpočet koreňov. Tu je podrobný záznam vzorca so špecifickými číslami. Ak existujú problémy s počítačom, urobiť!
Predpokladajme, že potrebujete vyriešiť tento:
Tu a. = -6; b. = -5; c. = -1
Predpokladajme, že viete, že ste zriedkavo odpovedali od prvého času.
No, nenechajte sa leniví. Napíšte nadbytočnú čiaru bude trvať niekoľko sekúnd 30. A počet chýb prudko znížiť. Tu píšeme podrobne, so všetkými zátvorkami a značkami:
Zdá sa neuveriteľne ťažké, tak opatrne maľovať. Ale zdá sa to len. Skúste. Alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Tiež ťa kopám. Po chvíli zmizne tak opatrne, aby sa všetko maľoval. Bude správne. Najmä ak aplikujete praktické techniky, ktoré sú opísané tesne nižšie. Tento zlý príklad s banda mínusov bude vyriešený ľahko a bez chýb!
Ale často sa štvorcové rovnice trochu líšia. Napríklad, takto:
Zistite?) Áno! na to nedokončené štvorcové rovnice.
Rozhodnutie neúplných štvorcových rovníc.
Môžu byť tiež vyriešené všeobecným vzorcom. Je potrebné správne si predstaviť, čo sa rovná a, B as.
Opravený? V prvom príklade a \u003d 1; b \u003d 4; ale c.? Neexistuje nikto vôbec! No, áno, správne. V matematike to znamená, že c \u003d 0. ! To je všetko. Namiesto toho nahrádzame nulový vzorec c, A všetko sa ukáže. Podobne, s druhým príkladom. Len nula tu nie z, ale b. !
Ale neúplné štvorcové rovnice možno vyriešiť oveľa jednoduchšie. Bez akýchkoľvek vzorcov. Zvážte prvú neúplnú rovnicu. Čo sa tam môže urobiť na ľavej strane? Môžete urobiť, je pre držiaky! Urobme.
A čo z toho? A skutočnosť, že práca je nula, a to len vtedy, keď niektorí z multiplikátorov sa rovná nule! Neverte? No, príďte s dvoma non-nula číslami, ktoré poskytnú nulu s množstvom!
Nefunguje? To je niečo ...
V dôsledku toho môžete s istotou napísať: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.
Všetko. To bude korene našej rovnice. Sú vhodné. Pri nahrávaní niektorého z nich do pôvodnej rovnice získame vernú identitu 0 \u003d 0, ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako všeobecný vzorec. Mimochodom, ktorý X bude prvý, a ktorý druhý je absolútne ľahostajný. Vhodné nahrávať v niekoľkých, x 1 - čo je menej, a x 2 - Čo je viac.
Druhá rovnica môže byť tiež vyriešená. Nosíme 9 na pravej strane. Dostaneme:
Zostáva koreň, aby sa extrahoval z 9, a to je všetko. Ukázalo sa:
Tiež dva korene . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.
Takže všetky neúplné štvorcové rovnice sú vyriešené. Buď pomocou konzoly, alebo jednoduchým prenosom čísla doprava, po ktorom nasleduje extrakcia koreňa.
Je mimoriadne ťažké tieto techniky zamieňať. Jednoducho preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať koreň z XCA, čo je nejako nie je jasné, a v druhom prípade nie je nič pre zátvorky ...
Diskriminant. Diskriminačný vzorec.
Magické slovo diskriminant ! Zriedkavý študent strednej školy nepočul slovo! Fráza "rozhodnúť prostredníctvom diskriminantov" bude vštepiť dôveru a podporuje. Pretože nie je potrebné čakať na triky z diskriminantov! Je to jednoduché a bezproblémové v obehu.) Pripomínam vám najobecnejší vzorec na riešenie akýkoľvek Štvorcové rovnice:
Výraz pod znakom koreňa sa nazýva diskriminant. Zvyčajne diskriminant je označený listom D.. Diskriminačný vzorec:
D \u003d B 2 - 4AC
A čo je pozoruhodné vyjadrenie? Prečo si zaslúžil špeciálny názov? V čom význam diskriminácie? Po všetkom -b alebo 2a. V tomto vzore, nie sú špecificky zavolajú ... písmená a písmená.
To je to, čo. Pri riešení štvorcovej rovnice pre tento vzorec je možné celkovo tri prípady.
1. Diskriminačný pozitívny. To znamená, že je možné extrahovať koreň. Dobrý koreň je extrahovaný alebo zlý - otázka je iná. Je dôležité, aby sa v zásade extrahovala. Potom má vaša štvorcová rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.
2. Diskriminant je nulová. Potom dostanete jedno riešenie. Vzhľadom k tomu, nula odpočítavanie v numerátore nič nemení. Prísne povedané, toto nie je jeden koreň, ale dve identické. Ale v zjednodušenej verzii je to obvyklé hovoriť o jedno riešenie.
3. Diskriminant je negatívna. Zo záporného čísla sa odmocnina neodstráni. Dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.
Ak chcete byť úprimný, s jednoduchým riešením štvorcových rovníc, nie je obzvlášť potrebný pojem diskriminant. Nahradíme hodnoty koeficientov vo vzorci, áno, veríme. Všetko sa deje všetko, obe dva korene, a jeden, a nie jeden. Avšak pri riešení zložitejších úloh, bez vedomia význam a vzorca diskriminant nedostatočné. Najmä - v rovniciach s parametrami. Takéto rovnice sú najvyšší pilot na GIA a EGE!)
Tak, ako riešiť štvorcové rovnice Prostredníctvom diskriminantov, ktorý ste si spomenuli. Alebo sa dozvedeli, že to nie je zlé.) Viem, ako správne určiť a, B as. Znalosť opatrne nahradiť ich do koreňového vzorca a opatrne počítať výsledok. Pochopili ste, že kľúčové slovo je tu - starostlivo?
A teraz berú na vedomie praktické techniky, ktoré dramaticky znižujú počet chýb. Najviac z dôvodu nepozornosti. ... pre ktoré potom sa to stane zranením a zranením ...
Najprv recepcia
. Nebuďte leniví pred vyriešením štvorcovej rovnice, aby ste ho priviedli do štandardného formulára. Čo to znamená?
Predpokladajme, že po všetkých transformáciach ste dostali takú rovnicu:
Nepoužívajte ponáhľať písať koreňový vzorec! Takmer pravdepodobne si zamiešte koeficienty A, B a S. Vytvorte príklad správne. Po prvé, X je na námestí, potom bez štvorca, potom bez voľného vtáka. Páči sa ti to:
A nie je opäť ponáhľať! Mínus pred IX na námestí môže byť zdravý rozrušený. Zabudnite na to jednoduché ... Zbavte sa mínus. Ako? Áno, ako sa učil v predchádzajúcej téme! Je potrebné znásobiť celú rovnicu na -1. Dostaneme:
Ale teraz môžete bezpečne zaznamenať vzorec pre korene, zvážte diskriminant a príklad. Dore sami. Musíte mať korene 2 a -1.
Recepcia. Skontrolujte korene! Na teorem. Nesúhlasím, vysvetlím všetko! Skontrolovať posledná vec rovnice. Tí. Že sme nahrali vzorec koreňov. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a \u003d 1., Skontrolujte korene ľahko. Natoľko, aby ste ich mohli znásobiť. Mal by existovať slobodný člen, t.j. V našom prípade -2. Poznámka, nie 2 a -2! Voľný péro s vaším znakom . Ak to nefungovalo, to znamená niekde, že sa nahromadili. Pozrite sa na chybu.
Ak sa to stalo - je potrebné zložiť korene. Posledná a záverečná kontrola. Musí sa stať koeficientom b. z oproti
podpísať. V našom prípade -1 + 2 \u003d +1. A koeficient b.ktorý je pred IX, rovný -1. Takže všetko je správne!
Je škoda, že je to tak jednoduché pre príklady, kde X je čistý, s koeficientom a \u003d 1. Ale aspoň skontrolujte v takýchto rovniciach! Bude menej chýb.
Tretinu . Ak sú vo vašej rovnici frakčné koeficienty, - zbaviť sa frakcií! Nakreslite rovnicu pre spoločný menovateľ, ako je opísané v lekcii "Ako riešiť rovnice? Identické konverzie". Pri práci s frakciami chyby, z nejakého dôvodu a stúpania ...
Mimochodom, som sľúbil zlý príklad s partiou mínusov na zjednodušenie. Rado sa stalo! Tu je.
Aby sa nebola zmätená v minese, rovnica na -1 je dominantná. Dostaneme:
To je všetko! Rozhodnite sa - jedno potešenie!
Takže, sumarizujte tému.
Praktické tipy:
1. Pred riešením dávame štvorcovú rovnicu na štandardný formulár, postaviť ho správny.
2. Ak negatívny koeficient stojí za negatívny koeficient pred X, odstráňte jeho násobenie celej rovnice na -1.
3. Ak frakčné koeficienty eliminujú frakciu vynásobením celej rovnice na zodpovedajúci multiplikátor.
4. Ak X je na námestí - čistý, koeficient sa rovná jednému, roztok sa dá ľahko kontrolovať podľa teoremity VieTA. Urob to!
Teraz je možné vypočítať.)
Riešiť rovnice:
8x 2 - 6x + 1 \u003d 0
x 2 + 3x + 8 \u003d 0
x 2 - 4x + 4 \u003d 0
(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (X + 2)
Odpovede (v poruche):
x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5
x 1.2 \u003d2
x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0,5
x - akékoľvek číslo
x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3
Žiadne riešenia
x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5
Všetko konverguje? Výborný! Square rovnice nie sú tvojou bolesťou hlavy. Prvé tri sa ukázali, a zvyšok - nie? Potom problém nie je v štvorcových rovniciach. Problém je v rovnakých transformáciách rovníc. Prechádzka podľa odkazu je užitočná.
Nie je naozaj nedostane? Alebo nefunguje vôbec? Potom musíte pomôcť rozdeliť 555. Tam sú všetky tieto príklady rozobraté okolo kostí. Ukazujúci hlavný Chyby pri riešení. Je to popísané, samozrejme, použitie identických transformácií pri riešení rôznych rovníc. Pomáha veľa!
Ak sa vám táto stránka páči ...
Mimochodom, mám pre teba ďalší pár zaujímavých miest.)
Je možné pristupovať k vyriešeniu príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitou kontrolou. Učte sa - so záujmom!)
Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.
Copsevskaya vidieckeho stredu komplexná škola
10 spôsobov, ako riešiť štvorcové rovnice
Leader: Patrikeva Galina Anatolyevna,
matematický učiteľ
s.Kopievo, 2007.
1. História rozvoja štvorcových rovníc
1.1 Square rovnice v starovekom Babylone
1.2 Ako sa účtovalo a vyriešili štvorcové štvorcové rovnice
1.3 štvorcové rovnice v Indii
1.4 štvorcové rovnice v ALCOHISE
1.5 štvorcových rovníc v Európe XIII - XVII storočia
1.6 O VieTA teorem
2. Metódy riešenia štvorcových rovníc
Záver
Literatúra
1. História rozvoja štvorcových rovníc
1.1 Square rovnice v starovekom Babylone
Potreba riešiť rovnice nielen prvý, ale aj druhý titul v staroveku bol spôsobený potrebou vyriešiť úlohy súvisiace s umiestnením pozemných oblastí as zemnými prácami vojenského charakteru, ako aj s rozvojom astronómie a Samotná matematika. Square rovnice boli schopné vyriešiť asi 2000 rokov predtým. e. Babylonian.
Použitím moderného algebraického záznamu môžeme povedať, že vo svojich textoch Clinox sú, s výnimkou neúplného a takého, napríklad celé štvorcové rovnice:
X. 2 + X. = ¾; X. 2 - X. = 14,5
Pravidlo riešenia týchto rovníc uvedených v babylonských textoch sa v podstate zhoduje s moderným, ale nie je známe, ako sa Babylonians dosiahli toto pravidlo. Takmer všetky texty klinbow nájdené až doteraz, len úlohy s rozhodnutiami uvedenými vo forme receptov, bez toho, aby sa zistili, ako boli nájdené.
Napriek vysokej úrovni vývoja algebry v Babylone nie sú žiadne koncepcie záporného čísla a všeobecných metód na riešenie štvorcových rovníc v textoch Clinox.
1.2 AKO predstavovalo a vyriešili diafrantné štvorcové rovnice.
V "aritmetiku" Diophanta neexistuje systematická prezentácia algebry, ale obsahuje systematický počet úloh sprevádzaných vysvetlením a riešené s prípravou rovníc rôznych stupňov.
Pri vypracovaní DOOFAntových rovníc na zjednodušenie riešenia zručne si vybral neznámy.
Tu, napríklad jeden z jeho úloh.
Úloha 11. "Nájdite dve čísla, s vedomím, že ich suma je 20, a práca je 96"
Diafantný podídňuje takto: Z podmienok tohto problému, z toho vyplýva, že požadované čísla nie sú rovnaké, pretože ak boli rovnaké, potom ich práca by nebola 96, a 100. Tak, jeden z nich bude viac ako polovica ich suma, tj. 10 + H.Ostatné je menej, t.j. 10 - H.. Rozdiel medzi nimi 2x.
Teda rovnica:
(10 + x) (10 - x) \u003d 96
100 - x 2 \u003d 96
X 2 - 4 \u003d 0 (1)
Odtiaľ x \u003d 2.. Jeden z požadovaných čísel je 12 , Iné 8 . Rozhodnutie x \u003d -2. Neexistuje pre Diophanta, ako grécka matematika poznala len pozitívne čísla.
Ak sa rozhodneme o tejto úlohe, vyberieme jeden z požadovaných čísel ako neznámy, prídeme na vyriešenie rovnice
y (20 - y) \u003d 96,
V 2 - 20U + 96 \u003d 0. (2)
Je jasné, že, výber ako neznáma hra požadovaného čísla, Diofant zjednodušuje rozhodnutie; Môže znížiť úlohu riešenia neúplnej štvorcovej rovnice (1).
1.3 Štvorcové rovnice v Indii
Úlohy na štvorcové rovnice sa už nachádzajú v astronomickom trakte "Ariabhatti", zostavený v 499. Indický matematik a astronóm Ariabhatta. Ďalší indický vedec, Brahmagupta (VII Century), načrtol všeobecné pravidlo riešenia štvorcových rovníc, ktoré boli dané jedinej kanonickej forme:
AH 2 +.b.x \u003d S, A\u003e 0. (1)
V rovnici (1) koeficienty okrem alemôže byť negatívny. Pravidlo Brahmagupta sa v podstate zhoduje s naším.
V starovekej Indie boli verejné súťaže distribuované pri riešení zložitých úloh. V jednom zo starých indických kníh sa hovorí o týchto súťažiach o týchto súťažiach: "Keďže slnko je trblietavé svojimi vlastnými hviezdami, takže vedec je zatienený falošných prvkov v Národnom zhromaždení, ktoré ponúkajú a riešia algebraické úlohy." Úlohy sa často tešia v poetickom tvare.
Tu je jedna z úloh slávnej indickej matematiky XII storočia. Bhaskara.
Úloha 13.
"Urokím opíc a dvanásť na Lianam ...
Moc čelia, baví. Začal skočiť, visieť ...
Sú na štvorcovej časti ôsmeho koľko opíc bolo,
V glade bol pobavený. Povieš mi, v tomto zásobníku? "
Rozhodnutie Bhaskary svedčí o tom, že vedel o dvojitej oblasti koreňov štvorcových rovníc (obr. 3).
Zodpovedajúca úloha 13 Rovnica:
(x./8) 2 + 12 = x.
Bhaskara píše pod maskou:
x 2 - 64x \u003d -768
a doplniť ľavú časť tejto rovnice na štvorcové pridáva do oboch častí 32 2 , ZAPNUTIE:
x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,
(x - 32) 2 \u003d 256,
x - 32 \u003d ± 16,
x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.
1.4 štvorcové rovnice v Al - Khorezmi
V algebraickému zaobchádzaniu al - Khorezmi dáva klasifikáciu lineárnych a štvorcových rovníc. Autor obsahuje 6 druhov rovníc, vyjadrujúce ich takto:
1) "štvorce sú korene", t.j. AH 2 + C \u003db.x.
2) "štvorce sa rovná číslu", t.j. Ah 2 \u003d s.
3) "Korene sa rovná číslu", t.j. ah \u003d s.
4) "štvorce a čísla sa rovná koreňom", t.j. AH 2 + C \u003db.x.
5) "štvorce a korene sa rovná číslu", t.j. AH 2 +.bx. \u003d s.
6) "Korene a čísla sa rovná štvorce", t.j.bx. + C \u003d AH 2.
Pre al-Khorezmi, aby sa zabránilo používaniu záporných čísel, členovia každej z týchto rovníc sú komponenty a neodčítajú sa. Zároveň sa nezohľadňuje rovnice, ktoré nemajú žiadne pozitívne riešenia. Autor stanovuje spôsoby, ako riešiť tieto rovnice s použitím techník al - Jabr a Al - Mukabala. Jeho rozhodnutia, samozrejme, sa nezhoduje s našimi. Už nehovoriac o tom, že je to čisto rétorické, malo by sa napríklad poznamenať, že pri riešení neúplnej štvorcovej rovnice prvého typu
al - Khorezmi, rovnako ako všetky matematiky až do XVII storočia, berie do úvahy nulové riešenie, pravdepodobne preto, že nezáleží na špecifických praktických úlohách. Pri riešení kompletných štvorcových AL-CORGES Rovníckych príkladov na súkromných číselných príkladoch, stanovuje pravidlá rozhodnutia a potom geometrické dôkazy.
Úloha 14. "Square a číslo 21 sú rovné 10 koreňom. Nájdite koreň » (Je chápané ako koreň rovnice x 2 + 21 \u003d 10x).
Rozhodnutie autora znie niečo také: Rozdeľujeme počet koreňov, dostanete 5, budete sa množiť sami, z práce jednej 21, zostane 4. odstránenie root zo 4, dostanete 2 , Onde 2 OT5, dostanete 3, bude to požadovaný koreň. Alebo pridajte 2 až 5, ktoré poskytnú 7, má tiež koreň.
Riešenie Al-Khorezmi je prvá, ktorá nám prišla knihu, v ktorej sú uvedené klasifikácia štvorcových rovníc systematicky vydaných a vzorce.
1.5 štvorcových rovníc v EurópeXIII. - XVII Blbosť
Vzorce na riešenie štvorcových rovníc pre Al-Khorezmi v Európe boli prvýkrát stanovené v "Knihe Abaka", napísané v roku 1202 talianskym matematikom Leonardo Fibonacci. Táto dôkladná práca, ktorá odráža vplyv matematiky, oboch krajín islamu a starého Grécka, sa rozlišuje oboma úplnosťou a jasnosťou prezentácie. Autor sa vyvíjal nezávisle nové algebraické príklady riešenia problémov a prvá v Európe sa priblížila k zavedeniu záporných čísel. Jeho kniha propagovala šírenie algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách. Mnohé výzvy z "Abaka Book" prešlo takmer všetky európske učebnice XVI - XVII storočia. a čiastočne XVIII.
Všeobecné pravidlo riešenia štvorcových rovníc poskytnutých na rovnakú kanónovú formu:
x 2 +.bx. \u003d C,
pre všetky druhy kombinácií značiek koeficientu b., zbol formulovaný v Európe len v roku 1544 M. Tvrdenie.
Výstup vzorca roztoku štvorcovej rovnice vo všeobecnosti je k dispozícii v lokalite VieteA, ale VieT rozpoznal iba pozitívne korene. Talianske matematiky Tartalia, Kardano, Bombelly medzi prvými v XVI storočí. Okrem pozitívnych a negatívnych koreňov. Len v storočí XVII. Vzhľadom na prácu Girard, Descartes, Newton a ostatných vedcov, spôsob, ako riešiť štvorcové rovnice, má moderný vzhľad.
1.6 O VieTA teorem
Veta vyjadrujúca vzťahu medzi koeficientmi štvorcovej rovnice a jej koreňoch, ktorý je názov Viete, bol formulovaný prvýkrát v roku 1591 takto: "ak B. + D.vynásobeny A. - A. 2 dobre BD.T. A.rovnako V A rovnaké D.».
Ak chcete pochopiť Vieteu, mali by ste si to pamätať ALERovnako ako každý samohybný list znamená, že má neznámy (naše h.), samohlásky V,D. - koeficienty v neznámom. V jazyku modernej algebry vyššie znamená znenie vietu: ak existuje
(A +.b.) x - x 2 \u003dabs,
x 2 - (A +b.) x + ab. = 0,
x 1 \u003d A, X 2 \u003db..
Vyjadrenie vzťahu medzi koreňmi a koeficientmi rovníc so spoločnými vzorcami zaznamenanými pomocou symbolov, visiet stanovil jednotnosť v metódach riešenia rovníc. Symbolika je však stále ďaleko od súčasných druhov. Negalizoval záporné čísla a na to, pri riešení rovníc, považovali len len prípady, keď sú všetky korene pozitívne.
2. Metódy riešenia štvorcových rovníc
Square rovnice sú základom, na ktorom sa majestátne budovanie algebry odpočíva. Square rovnice sú široko používané pri riešení trigonometrických, orientačných, logaritmických, iracionálnych a transcendentálnych rovníc a nerovností. Všetci vieme, ako riešiť štvorcové rovnice zo školskej lavice (stupeň 8), pred koncom univerzity.
Vzorce koreňov štvorcovej rovnice. Poviehajú prípady platných, viacerých a zložitých koreňov. Rozklad štvorcových troch lúčov multiplikátorov. Geometrický výklad. Príklady určovania koreňov a rozkladu multiplikátorov.
ObsahPozri tiež: Riešenie štvorcových rovníc online
Základné vzorce
Zvážte štvorcovú rovnicu:
(1)
.
Korene štvorcová rovnica (1) sú určené vzorcami:
;
.
Tieto vzorce môžu byť kombinované takto:
.
Keď sú známe korene štvorcovej rovnice, druhý stupeň polynóm môže byť reprezentovaný ako práca faktorov (rozkladajú sa na multiplikátoroch):
.
Ďalej veríme, že - skutočné čísla.
Zvážiť diskriminačná štvorcová rovnica:
.
Ak je diskriminant pozitívna, potom má štvorcová rovnica (1) dva rôzne platné koreň:
;
.
Potom rozklad štvorcového tri zníženie faktorov má formu:
.
Ak je diskriminant nulová, potom štvorcová rovnica (1) má dva viacnásobné (rovnaké) platný koreň:
.
Faktorizácia:
.
Ak je diskriminant negatívna, potom štvorcová rovnica (1) má dva komplexne konjugované koreň:
;
.
Tu - imaginárna jednotka;
A - skutočné a imaginárne časti koreňov:
;
.
Potom
.
Grafický výklad
Ak vytvoríte funkciu grafu
,
ktorý je paraboly, potom bod priesečníka grafu s osou bude korene rovnice
.
Keď sa program prekročí os Abscissu (os) v dvoch bodoch ().
Keď sa graf týka osi osi abscisy v jednom bode ().
Keď program neprekročí os Ascissu ().
Užitočné vzorce spojené so štvorcou rovnicou
(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .
Výstup vzorcu pre korene štvorcovej rovnice
Vykonávame transformácie a aplikujeme vzorce (F.1) a (F.3):
,
Kde
;
.
Takže sme dostali vzorec pre polynóm druhého stupňa vo forme:
.
Odtiaľ je možné vidieť, že rovnica
vykonávané na
a.
To znamená, že korene štvorcovej rovnice sú korene
.
Príklady určovania koreňov štvorcovej rovnice
Príklad 1.
(1.1)
.
.
Porovnanie s našou rovnicou (1.1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdeme diskriminant:
.
Keďže diskriminant je pozitívna, rovnica má dva platné koreň:
;
;
.
Odtiaľ dostaneme rozklad štvorcových troch stávok na multiplikátoroch:
.
Plán Funkcia Y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 Prejdite os osi abscissu v dvoch bodoch.
Vytvárame funkčný plán
.
Plán tejto funkcie je parabola. Ona umiestni os Abscissu (os) v dvoch bodoch:
a.
Tieto body sú korene počiatočnej rovnice (1.1).
;
;
.
Príklad 2.
Nájdite korene štvorcovej rovnice:
(2.1)
.
Píšeme štvorcovú rovnicu vo všeobecnosti:
.
Porovnanie s počiatočnou rovnicou (2.1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdeme diskriminant:
.
Od diskriminácie je nula, rovnica má dva viacnásobné (rovnaké) koreň:
;
.
Potom rozklad troch rozhodnutí na multiplikátoroch má formulár:
.
Funkčný graf y \u003d x 2 - 4 x + 4 Žiada o osi osi v jednom bode.
Vytvárame funkčný plán
.
Plán tejto funkcie je parabola. Ide o os osi (os) v jednom bode:
.
Tento bod je koreňom počiatočnej rovnice (2.1). Keďže tento root vstupuje do expanzie multiplikátorov dvakrát:
,
Že takýto koreň sa nazýva viac. To znamená, že je to, že existuje dva rovnaké koreň:
.
;
.
Príklad 3.
Nájdite korene štvorcovej rovnice:
(3.1)
.
Píšeme štvorcovú rovnicu vo všeobecnosti:
(1)
.
Revízujeme počiatočnú rovnicu (3.1):
.
Porovnať C (1), nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdeme diskriminant:
.
Diskriminant je negatívny. Preto nie sú žiadne platné korene.
Môžete nájsť komplexné korene:
;
;
.
Potom
.
Funkčný graf neprekročí os Abscissu. Neexistujú žiadne platné korene.
Vytvárame funkčný plán
.
Plán tejto funkcie je parabola. Netriahne sa os Ascissa (AXIS). Preto nie sú žiadne platné korene.
Neexistujú žiadne platné korene. Hnoje sú integrované:
;
;
.
Kvadratická rovnica Alebo rovnica druhého stupňa s jedným neznámym je rovnica, ktorá po transformácii môže byť uvedená nasledujúcemu formuláru:
sekera. 2 + bx. + c. = 0 - kvadratická rovnica
kde x. - toto nie je známe a a., b. a c. - koeficienty rovnice. V štvorcových rovniciach a. prvý koeficient ( a. ≠ 0), b. nazývaný druhý koeficient a c. Vyzvaný slávnym alebo slobodným členom.
Rovnica:
sekera. 2 + bx. + c. = 0
zavolaný plný štvorcová rovnica. Ak jeden z koeficientov b. alebo c. Je nula, alebo nula sú obidva týchto koeficientov, rovnica je reprezentovaná ako neúplná štvorcová rovnica.
Znížená štvorcová rovnica
Kompletná štvorcová rovnica možno priniesť do pohodlnejšej mysle, rozdeliť všetkých svojich členov a., To je pri prvom koeficientom:
Rovnica x. 2 + px. + q. \u003d 0 sa nazýva daná štvorcová rovnica. Preto je možné prezentovať akúkoľvek štvorcovú rovnicu, v ktorej je prvý koeficient 1.
Napríklad rovnica:
x. 2 + 10x. - 5 = 0
je znížená a rovnica:
3x. 2 + 9x. - 12 = 0
môže byť nahradený rovnicou, ktorú vydelí všetkým svojim členom na -3:
x. 2 - 3x. + 4 = 0
Riešenie štvorcových rovníc
Ak chcete vyriešiť štvorcovú rovnicu, musíte ho priniesť na jeden z nasledujúcich typov:
sekera. 2 + bx. + c. = 0
sekera. 2 + 2kX. + c. = 0
x. 2 + px. + q. = 0
Pre každý typ rovnice je jeho vlastný vzorec pre nájdenie koreňov:
Venujte pozornosť rovnici:
sekera. 2 + 2kX. + c. = 0
toto je transformovaná rovnica sekera. 2 + bx. + c. \u003d 0, v ktorom koeficient b. - Aj, čo mu umožňuje nahradiť ho pohľadom na 2 k.. Preto je vzorec na nájdenie koreňov pre túto rovnicu zjednodušiť, nahradiť 2 v ňom k. namiesto toho b.:
Príklad 1. Riešiť rovnicu:
3x. 2 + 7x. + 2 = 0
Vzhľadom k tomu, v rovnici, druhý koeficient nie je ani číslo, a prvý koeficient nie je rovný jednému, potom sa pozrite na korene prvým vzorcom, ktorý sa nazýva všeobecný vzorec na nájdenie koreňov štvorcovej rovnice. najprv
a. = 3, b. = 7, c. = 2
Teraz nájsť korene rovnice, jednoducho nahradiť hodnoty koeficientov vo vzorci:
| x. 1 = | -2 | = - | 1 | , x. 2 = | -12 | = -2 |
| 6 | 3 | 6 |
| Odpoveď: - | 1 | , -2. |
| 3 |
Príklad 2:
x. 2 - 4x. - 60 = 0
Definujeme to, čo sú koeficienty rovnaké:
a. = 1, b. = -4, c. = -60
Vzhľadom k tomu, že v rovnici je druhý koeficient iným číslom, potom použijeme vzorec pre štvorcové rovnice s jednosmerným druhým koeficientom:
x. 1 = 2 + 8 = 10, x. 2 = 2 - 8 = -6
Odpoveď: 10, -6.
Príklad 3.
y. 2 + 11y. = y. - 25
Dávame rovnicu všeobecnej mysli:
y. 2 + 11y. = y. - 25
y. 2 + 11y. - y. + 25 = 0
y. 2 + 10y. + 25 = 0
Definujeme to, čo sú koeficienty rovnaké:
a. = 1, p. \\ t = 10, q. = 25
Keďže prvý koeficient je 1, budeme hľadať korene podľa vzorca pre rovnice s dokonca druhým koeficientom:
Odpoveď: -5.
Príklad 4.
x. 2 - 7x. + 6 = 0
Definujeme to, čo sú koeficienty rovnaké:
a. = 1, p. \\ t = -7, q. = 6
Od prvého koeficientu je 1, potom budeme hľadať korene podľa vzorca pre dané rovnice s nepárnym druhým koeficientom:
x. 1 = (7 + 5) : 2 = 6, x. 2 = (7 - 5) : 2 = 1