"Ya'ni birinchi darajali tenglamalar. Ushbu darsda biz tahlil qilamiz kvadrat tenglama deb nomlangan narsa Va uni qanday hal qilish kerak.
Kvadrat tenglama deb nomlangan narsa
Muhim!
Tenglama darajasi noma'lum bo'lgan eng katta darajada belgilanadi.
Agar noma'lum "2" bo'lsa, bu siz kvadrat tenglama ekanligingizni anglatadi.
Kvadrat tenglamalariga misollar
- 5x 2 - 14x + 17 \u003d 0
- -X 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x \u003d 0
- x 2 - 8 \u003d 0
Muhim! Kvadrat tenglamaning umumiy ko'rinishi quyidagicha:
A x 2 + b x + c \u003d 0
"A", "B" va "C" - ko'rsatilgan raqamlar.- "A" birinchi yoki yuqori koeffitsient;
- "B" - ikkinchi koeffitsient;
- "C" - bu bepul a'zo.
"A", "B" va "C" ni topish uchun siz tenglamaingizni "Axt 2 + bx + C \u003d 0" belgisisining umumiy ko'rinishi bilan taqqoslashingiz kerak.
Kirlik tenglamalarida "A", "B" va "C" koeffitsientlarini aniqlashda davom etamiz.
| Tenglama | Omillar | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a \u003d -1.
- b \u003d 1.
- c \u003d.
1 3
- a \u003d 1.
- b \u003d 0.25
- c \u003d 0
- a \u003d 1.
- b \u003d 0.
- c \u003d -8.
Kvadrat tenglamalarini qanday hal qilish kerak
O'xshamagan chiziqli tenglamalar Kvadrat tenglamalarini echish uchun maxsus ildizlarni topish uchun formula.
Yodingizda bo'lsin!
Sizga kerak bo'lgan kvadrat tenglamani hal qilish uchun:
- "Axt 2 + bx + C \u003d 0" ga kvadrat tenglamasini yarating. Ya'ni, faqat 0 "o'ng tomonda qolishi kerak;
- ildiz formulasini ishlating:
Masalan, kvadrat tenglama ildizlarini topish uchun formulani qanday qo'llash mumkinligini tahlil qilaylik. Kvadrat tenglama bo'lsin.
X 2 - 3x - 4 \u003d 0
"X 2 - 3x - 4 \u003d 0" tenglama allaqachon "Axt 2 + bx + C \u003d 0" ning umumiy ko'rinishi uchun allaqachon berilgan va qo'shimcha soddalashtirilganliklarni talab qilmaydi. Uni hal qilish uchun bizda qo'llash uchun etarli kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi.
Biz ushbu tenglama uchun "A", "B" va "C" koeffitsientlarini aniqlaymiz.
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
U bilan har qanday kvadrat tenglama hal qilinadi.
"X 1; 2 \u003d" Formulada yo'naltirilgan iborani o'zgartiradi
"B 2 - 4AC" "D" harfida va kamsituvchi deb ataladi. "Kirlik" nima bo'lganida kamsissiz tushuncha batafsilroq ko'rib chiqiladi.
Kvadrat tenglamaning yana bir misolini ko'rib chiqaylik.
x 2 + 9 x \u003d 7x
Ushbu shaklda "A", "B" va "C" koeffitsientlarini aniqlang. Avvalo umumiy tipga "Axt 2 + bx + C \u003d 0" ga tenglashtiramiz.
X 2 + 9 x \u003d 7x
x 2 + 9 x - 7x \u003d 0
x 2 + 9 - 6x \u003d 0
x 2 - 6x + 9 \u003d 0
Endi siz ildiz formulalaridan foydalanishingiz mumkin.
X 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x \u003d.
| 6 |
| 2 |
x \u003d 3.
Javob: x \u003d 3
Kvadrat tenglamalarida ildizlar bo'lmagan holatlar mavjud. Ushbu holat salbiy raqam ildiz ostida bo'lganda paydo bo'ladi.
Kvadratli tenglamalar. Kamsitchi. Eritma, misollar.
Diqqat!
Ushbu mavzu qo'shimcha mavjud
Maxsus 555 qismdagi materiallar.
Kuchli "unchalik emas ..."
Va "juda ..." bo'lganlar uchun
Kvadrat tenglamalar turlari
Kvadrat tenglama nima? Bu nimaga o'xshaydi? Jihatidan kvadratli tenglama Kalit so'z "Kvadrat". Bu shuni anglatadiki tenglamada oldin Maydondagi maydonda bo'lishi kerak. Undan tashqari, tenglamada (va bo'lmasligi mumkin!) Shunchaki x (birinchi darajasida) va faqat raqami (bepul a'zo). Va hech qanday darajaga ega bo'lmasligi kerak, ko'proq ikki.
Matematik til bilan gaplashish, kvadrat tenglamasi - bu shaklni tenglashtiradi:
Bu yerda a, b va bilan - ba'zi raqamlar. b va C.. - Hammasi va ammo- Hech kim nolga teng. Masalan:
Bu yerda ammo =1; b. = 3; c. = -4
Bu yerda ammo =2; b. = -0,5; c. = 2,2
Bu yerda ammo =-3; b. = 6; c. = -18
Xo'sh, tushundingiz ...
Ushbu maydon tenglamalarida chapda mavjud to'liq to'plam a'zolar. X kvadrat koeffitsient bilan ammox koeffitsient bilan birinchi darajali x b. va bEPUL DIK.
Bunday kvadrat tenglamalar deyiladi to'liq.
Agar b. \u003d 0, nima qilamiz? Bizda ... bor x birinchi daraja yo'qoladi. Ko'plab ko'payishdan nolgacha bo'ladi.) Masalan,:
5x 2 -25 \u003d 0,
2x 2 -6x \u003d 0,
- 2 + 4x \u003d 0
Va h.k. Va agar ikkala koeffitsienti bo'lsa, b. va c. nolga teng, bu hali ham soddalashtiring:
2x 2 \u003d 0,
-0.3x 2 \u003d 0
Biror narsa etishmayotgan bunday tenglamalar deyiladi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari. Bu juda mantiqiy narsa.) Men sizdan x maydonda barcha tenglamalardagi maydonda mavjudligini payqashingizni so'rayman.
Aytgancha, nima uchun ammo Nol bo'lolmaydimi? Va o'rniga siz o'rnini bosasiz ammo NOLIK.) Biz maydonda yo'qoladi! Tenglama chiziqli bo'ladi. Va u allaqachon boshqacha hal qilinadi ...
Bu kvadrat tenglamalarning asosiy turlari. To'liq va to'liq emas.
Kvadrat tenglamalarini eritma.
To'liq kvadrat tenglamalarini hal qilish.
Kvadrat tenglamalari shunchaki hal qilinadi. Formulalar va aniq oddiy qoidalarga ko'ra. Birinchi bosqichda ma'lum bir tenglama standart shaklga olib kelinishi kerak, i.e. Aql
Agar sizga ushbu shaklda tenglama berilsa - birinchi bosqich kerak emas.) Asosiysi barcha koeffitsientlarni to'g'ri belgilashdir, ammo, b. va c..
Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi quyidagicha:
Ildiz belgisi ostida ifoda deyiladi kamsinachi. Ammo bu haqda - quyida. Ko'rinib turibdiki, ICAni topish uchun biz foydalanamiz faqat a, b va bilan. Ular. Kvadrat tenglama koeffitsientlari. Faqat qadriyatlarni yaxshilab almashtiring a, b va bilan Ushbu formulada va biz ko'rib chiqamiz. O'rnini bosuvchi sizning oyatlaringiz bilan! Masalan, tenglamada:
ammo =1; b. = 3; c. \u003d -4. Bu erda va yozish:
Misol deyarli hal qilinadi:
Bu javob.
Hammasi juda oddiy. Va nima deb o'ylaysiz, xato qilish mumkin emas? Ha, ha, qanday qilib ...
Eng keng tarqalgan xatolar - qiyalik belgilari bilan chalkashliklar a, b va bilan. Balki ularning oyat-mo''jizalari bilan emas (u erda adashganlar) va ildizlarni hisoblash uchun formulani almashtirish bilan. Mana, aniq raqamlar bilan formulani batafsil yozuv. Agar hisoblashda muammolar bo'lsa, shunday qilmoq!
Aytaylik, siz buni hal qilishingiz kerak:
Bu yerda a. = -6; b. = -5; c. = -1
Aytaylik, siz kamdan-kam uchraydigan javoblaringiz borligini bilasiz.
Xo'sh, dangasa bo'lmang. Ortiqcha liniyani yozing 30 Sekundlar va xatolar soni keskin kesilgan. Bu erda biz batafsil yozamiz, barcha qavslar va belgilar bilan yozamiz:
Bu juda qiyin bo'lib ko'rinadi, shuning uchun ehtiyotkorlik bilan bo'yab qo'ying. Ammo bu faqat ko'rinadi. Urinib ko'ring. Yaxshi yoki tanlang. Yaxshisi, tezmi yoki to'g'ri? Bundan tashqari, men sizni tepaman. Bir muncha vaqt o'tgach, hamma narsani bo'yash uchun juda ehtiyotkorlik bilan yo'qoladi. O'zi to'g'ri bo'ladi. Ayniqsa, agar siz quyida keltirilgan amaliy usullarni qo'llasangiz. Bir guruhda kamroq metrajli misollarni osongina va xatosiz hal qilinadi!
Ammo, ko'pincha kvadrat tenglamalari biroz boshqacha ko'rinadi. Masalan, shunga o'xshash:
Buni bilib olingmi?) Ha! u to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari.
To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarining qarori.
Ular umumiy formulaga ham hal qilinishi mumkin. Faqat teng bo'lgan narsalarni tasavvur qilish kerak a, b va bilan.
Tuzatildimi? Birinchi misolda a \u003d 1; b \u003d 4; ammo c.? Hech kim yo'q! Xo'sh, ha, to'g'ri. Matematikada bu degani c \u003d 0. ! Ana xolos. Biz o'rniga nol formulani almashtiramiz c, Va hamma narsa chiqadi. Xuddi shunday, ikkinchi misol bilan. Bu erda faqat nol bo'lmaydi dan, lekin b. !
Ammo to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari ancha osonlashtirilishi mumkin. Hech qanday formulasiz. Birinchi to'liq bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqing. Chap tomonda nima qilish mumkin? Siz qavs uchun bo'lishingiz mumkin! Keling.
Va bu nimadan? Va ish nolga teng ekanligi va faqat bir nechta ko'paytirgichlar nolga teng bo'lganda! Ishonma? Yaxshi, ikki nol bo'lmagan raqam bilan keling, ular nolga ko'payadi!
Ishlamaydi? Bu narsa ...
Shunday qilib, siz ishonch bilan yozishingiz mumkin: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.
Hamma narsa. Bu bizning tenglamaning ildizlari bo'ladi. Ikkalasi ham mos keladi. Ulardan birortasini asl tenglamaga almashtirishda, biz sodiqlikni olamiz 0 \u003d 0. Siz ko'rib turganingizdek, echim umumiy formuladan ko'ra sodda. Men ta'kidlashimcha, qaysi x birinchi bo'ladi va bu juda befarq. Bir necha bor yozish uchun qulay, x 1 - Kamroq narsa va x 2 - ko'proq narsa.
Ikkinchi tenglama shunchaki hal qilinishi mumkin. Biz 9 dan o'ng tomonga olib boramiz. Biz olamiz:
9 dan chiqarib olish uchun ildiz bo'lib qoladi va shu. Ma'lum bo'lishicha:
Shuningdek, ikkita ildiz . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.
Shunday qilib, barcha to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar hal qilinadi. Yoki qavs qilish yoki raqamni o'ngga o'tkazish orqali, undan keyin ildizni qazib olish orqali.
Ushbu usullarni chalkashtirib yuborish juda qiyin. Shunchaki, chunki birinchi holatda siz qandaydir aniq emas va ikkinchi holatda, u qavslar uchun hech narsa emas ...
Kamsitchi. Kamsitish formulasi.
Sehrli so'z kamsinachi ! Kamdan-kam o'rta maktab o'quvchisi so'zni eshitmadi! "Kirlik bilan qaror qilish" iborasi ishonch va dalda beradi. Chunki kamsitish vositalaridan fokuslarni kutish shart emas! Bu oddiy va muomalada noqulay.) Men sizga echish uchun eng umumiy formulani eslatib o'taman har qanday Kvadrat tenglamalari:
Ildiz belgisi ostidagi ibora kamssiz deb ataladi. Odatda kamsituvchi xat bilan ko'rsatilgan D.. Kamsitish formulasi:
D \u003d B 2 - 4AC
Va diqqatga sazovor ifoda nima? Nega bu alohida ismga loyiq edi? Nimada kamsituvchilarning ma'nosi? Oxirida -b, yoki 2a. Ushbu formulada ular maxsus qo'ng'iroq qilishmaydi ... harflar va harflar.
Narsa - bu narsa. Ushbu formula uchun kvadrat tenglamani hal qilganda, bu mumkin umumiy uchta holat.
1. kamsituvchi ijobiy ijobiy. Bu shuni anglatadiki, ildizni olish mumkin. Yaxshi ildiz qazib olinadi yoki yomon - savol boshqacha. Aslida qazib olinishi juda muhimdir. Keyin kvadrat tenglamaingiz ikkita ildizga ega. Ikki xil echimlar.
2. kamsituvchi nolga teng. Keyin bitta echimni olasiz. Rumeratorda nolni olib tashlash hech narsani o'zgartirmaydi. Qattiq gapirish, bu bitta ildiz emas, lekin ikki xil bir xil. Ammo, soddalashtirilgan versiyasida gaplashish odatiy holdir bitta echim.
3. kamsituvchi salbiy. Kvadrat ildizning salbiy raqami olib tashlanmaydi. Ha mayli. Bu shuni anglatadiki, echimlar yo'q.
Rostini aytganda, kvadrat tenglamalarining oddiy echimi bilan kamsituvchi tushunchador emas. Biz formulani koeffitsientlarning qiymatlarini almashtiramiz, ha, ishonamiz. Hamma narsa hamma narsa bo'ladi, ikkalangiz ham, biri ham emas. Biroq, murakkab vazifalarni bilmasdan yanada murakkab vazifalarni hal qilishda ma'nosi va formulasi kamsinachi yetarli emas. Ayniqsa, parametrlar bilan tenglamalarda. Bunday tenglamalar Gia va Ege-ga eng yuqori uchuvchidir!)
Shunday qilib, kvadrat tenglamalarini qanday hal qilish kerak Siz esda tutgan kamsituvchi orqali. Yoki bu yomon emasligini bilib oldim.) Men to'g'ri aniqlashni bilaman a, b va bilan. Bilim ehtiyotkorlik bilan ularni ildiz formulasida almashtiring va ehtiyotkorlik bilan Natijalarni hisoblang. Siz kalit so'zi shu erda ekanligini tushundingiz - diqqat bilan?
Va endi xatolar sonini keskin kamaytiradigan amaliy usullarga e'tibor bering. Xayolparastlik tufayli eng ko'p. ... shuning uchun u xafa bo'ladi va xafa bo'ladi ...
Avval ziyorat
. Standart shaklga olib kelish uchun kvadrat tenglamani hal qilishdan oldin dangasa bo'lmang. Bu nimani anglatadi?
Aytaylik, barcha o'zgarishlardan keyin siz bunday tenglamani oldingiz:
Ildiz formulasini yozishga shoshilmang! Deyarli ehtimol, siz koeffitsientlarni chalkashtirasiz a, b va s. Misolni to'g'ri qurish. Birinchidan, x maydonda, keyin kvadratsiz, keyin bepul dik. Mana bunday:
Va yana shoshilmang! Maydondagi IX oldidagi minus sizni xafa qilish uchun sog'lom bo'lishi mumkin. Buni oson unuting ... minusdan xalos bo'ling. Qanday? Ha, avvalgi mavzuda o'qitilganidek! Butun tenglikni -1 ni ko'paytirish kerak Biz olamiz:
Ammo endi siz ildizlarning formulasini xavfsiz ravishda qayd etishingiz, kamsituvchi va misolni ko'rib chiqing. O'zingiz doringiz. Sizda 2 va -1 ildizlari bo'lishi kerak.
Qabul qilish. Ildizlarni tekshiring! Vetya teoremasiga. Qo'rqmang, men hamma narsani tushuntirib beraman! Tekshirmoq oxirgi narsa tenglama. Ular. Biz ildiz formulasini yozib oldik. Agar (shu misolda) koeffitsient bo'lsa a \u003d 1., Ildizlarni osonlik bilan tekshiring. Ularni ko'paytirish uchun etarli. Bepul a'zo bo'lishi kerak, i.e. Bizning holatimizda -2. Eslatma, 2 va -2 emas! Bepul dik sizning belgingiz bilan . Agar u ishlamasa, bu erda to'plangan joyda demakdir. Xato qidiring.
Agar shunday bo'lsa - ildizlarni katlatish kerak. Oxirgi va yakuniy chek. Koeffitsient bo'lishi kerak b. dan qarama-qarshi
belgisi. Bizning holatimizda -1 + 2 \u003d +1. Va koeffitsient b.IX oldida, 1 ga teng. Shunday qilib, hamma narsa to'g'ri!
Afsuski, bu misollar uchun juda sodda, bu erda x toza, koeffitsienti bilan a \u003d 1. Ammo hech bo'lmaganda bunday tenglamalarda tekshiring! Xatolar kamroq bo'ladi.
Uchinchi . Agar sizning tenglamaingizda kasr koeffitsientlar bo'lsa, - kasrlardan xalos bo'ling! "Qanday tenglamalarni qanday hal qilish kerak? Qanday qilib tenglashmalar? Bir xil suhbatlar" mavzusida aks ettirilgan denominator uchun tenglama chizish. Xatoning fraktsiyalari bilan ishlaganda, ba'zi sabablarga ko'ra ...
Aytgancha, men sodda misolni soddalashtirish uchun yomon misolga va'da berdim. Arzimaydi! Mana.
Miniyalarda chalkashib bo'lmaslik uchun -1 hisobidagi tenglama dominant. Biz olamiz:
Ana xolos! Qaror qabul qiling - bir zavq!
Shunday qilib, mavzuni sarhisob qiling.
Amaliy maslahatlar:
1. Soliqlashdan oldin biz standart shaklga kvadrat tenglamasini beramiz, uni quramiz to'g'ri.
2. Agar salbiy koeffitsient Xdan oldin salbiy koeffitsientga arziydi, butun tenglamaning ko'payishini bartaraf etishni yo'q qiladi.
3. Agar fraksiya koeffitsientlar to'liq hajmga mos keladigan multinatorga ko'paytirish orqali kasrni yo'q qilsa.
4. Agar X kvadratda bo'lsa - toza, koeffitsient bir biriga teng, eritma Vetya teoremasi tomonidan osongina tekshirilishi mumkin. Buni qiling!
Endi hisoblash mumkin.)
Tenglamalarni yechish:
8x 2 - 6x + 1 \u003d 0
x 2 + 3x + 8 \u003d 0
x 2 - 4x + 4 \u003d 0
(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)
Javoblar (tartibsizlikda):
x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5
x 1.2 \u003d.2
x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0.5
x - har qanday raqam
x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3
echimlar yo'q
x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5
Hamma narsa qayerda? Zo'r! Kvadrat tenglamalar sizning boshingiz og'rig'i emas. Birinchi uchtasi chiqib, qolganlari - yo'qmi? Keyin muammo kvadrat tenglamalarida emas. Muammo tenglamalarning bir xil o'zgaradi. Ma'lumot bilan sayr qilish, foydali.
Haqiqatan ham bo'lmaydi? Yoki umuman ishlamaydimi? Keyin siz 555 bo'limga yordam berishingiz kerak. U erda bu misollar suyaklarni qismlarga ajratdi. Ko'rsatadigan asosiy Kutishdagi xatolar. Bu turli xil tenglamalarni echishda bir xil o'zgarishlarni ishlatish tavsiflanadi. Juda ko'p yordam beradi!
Agar sizga ushbu sayt yoqsa ...
Aytgancha, menda yana bir juft qiziqarli saytlar bor.)
U misollar bilan tanishishda va sizning darajangizni bilib olish uchun kirish mumkin. Tez tekshirish bilan sinovdan o'tish. O'rganing - qiziqish bilan!)
Siz xususiyatlar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Kopsevskaya qishloq o'rtalari maktab Maktab
Kvadrat tenglamalarni hal qilishning 10 usuli
Lider: Patrikeva Galina Anatolyevna,
matematik o'qituvchi
s.Kopievo, 2007 yil.
1. Kvadrat tenglamalarini rivojlantirish tarixi
1.1 Qadimgi Bobilda kvadrat tenglar
1.2 hisobga olinadi va Diofant maydonining tenglamalari
Hindistondagi 1,3 kvadrat tenglar
1,4 kvadrat tenglamalar
1.5 Evropada kvadrat tenglar XIII - XVII asrlar
Vietsa teoremasi haqida 1.6
2. Kvadrat tenglamalarni echish usullari
Xulosa
Adabiyot
1. Kvadrat tenglamalarini rivojlantirish tarixi
1.1 Qadimgi Bobilda kvadrat tenglar
Nafaqat birinchi, balki ikkinchi darajali tenglamalarni hal qilish zarurati er uchastkalari joylashuvi va harbiy xarakterdagi er maydoni, shuningdek, astronomiya rivojlanishi bilan bog'liq vazifalarni hal qilish zarurati va matematikaning o'zi. Kvadrat tenglamalari bundan oldin 2000 yil oldin hal qila olishdi. e. Bobil.
Zamonaviy algebraik yozuvni qo'llash orqali biz ularning klinik matnlarida, to'liq emas, masalan, to'liq kvadrat tenglamalari bundan mustasno, deyish mumkin.
X. 2 + X. = ¾; X. 2 - X. = 14,5
Bobil matnlarida belgilangan bu tenglamalarni hal qilish qoidasi zamonaviy bilan to'g'ri keladi, ammo Bobilliklar bu qoidaga erishgani noma'lum. Hozirgi kunda deyarli barcha uchastka matnlari, faqat retseptlar shaklida ko'rsatilgan qarorlar, ular qanday topilganligi haqida ko'rsatmasiz.
Bobilda algebraning yuqori darajada rivojlanishining yuqori darajasiga qaramay, klinik matnlarda kvadrat tenglamalari va kvadrat tenglamalarini echishning umumiy usullari mavjud emas.
1.2 hisobga olinadi va Diofant maydonining tenglamalarini hal qiladi.
Diopantaning "Arifmetika" da Algebraning tizimli taqdimotida, ammo unda tushuntirishlar bilan birga bo'lgan va turli darajadagi tenglamalarni tayyorlash bilan birga keladigan muntazam ravishda belgilangan vazifalar mavjud.
Diofant tenglamalarni chizishda echimni soddalashtirish uchun mohirona tanlaydi.
Bu erda, masalan, uning vazifalaridan biri.
11-vazifa. "Ularning yig'indisi 20, va ish 96 ekanligini bilib, ikkita raqamni toping.
Delofant quyidagicha bahslashadi: muammo tufayli kerakli raqamlar teng emas, chunki ular teng bo'lsa, unda ularning ishi 96 va 100 dan oshmaydi. Shunday qilib, ulardan biri yarmidan ko'p bo'ladi ularning summasi, ya'ni. 10 + H.Ikkinchisi kamroq, i.e. 10 - H.. Ular orasidagi farq 2x.
Shuning uchun tenglama:
(10 + x) (10 - x) \u003d 96
100 - x 2 \u003d 96
x 2 - 4 \u003d 0 (1)
Bu yerdan x \u003d 2.. Kerakli raqamlardan biri bu 12 , Boshqacha 8 . Qaror x \u003d -2. Diopanta uchun bu mavjud emas, chunki yunon matematikasi faqat ijobiy raqamlarni bilishadi.
Agar biz ushbu vazifani noma'lum raqamlardan birini tanlab, biz noma'lum deb belgilangan raqamlardan birini tanlaymiz, biz tenglamani hal qilamiz
y (20 - y) \u003d 96,
2 - 20U + 96 \u003d 0. (2)
Kerakli raqamlarning noma'lum o'yinini tanlab, diofant qarorni soddalashtirishi aniq; U to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani (1) hal qilish vazifasini kamaytirishi mumkin.
1.3 Hindistondagi kvadrat tenglar
Har bir kvadrat tenglamalar, "Ariaghatti" astronomik traktida, "Ariabhatti", "Hindiston matematik va astronom" Aribhatta. Yana bir hind olimi, Brahmgota (VII asr), bitta kanonik shaklga berilgan kvadrat tenglamalarini echish bo'yicha umumiy qoidani belgilab berdi:
ah 2 +.b.x \u003d s, a\u003e 0. (1)
(1) koeffitsientlar ammosalbiy bo'lishi mumkin. Brahmgota qoidasi asosan biz bilan bir-biriga to'g'ri keladi.
Qadimgi Hindistonda jamoat musobaqalari qiyin vazifalarni hal qilishda taqsimlandi. Qadimgi Hindiston kitoblaridan birida bunday musobaqalarda shunday deyilgan: "Quyosh o'z yulduzlari bilan porlab turar ekan, olim milliy Assambleyada, algebraik vazifalarni bajarish va hal qilishda boshqalarning soxta qismlarini boshqaradi." Vazifalar ko'pincha she'riy shaklda zavqlanadi.
Bu erda XII asrning taniqli hind matematika vazifalaridan biri. Bxaskara.
13-vazifa.
"Maymunlar va liangamga o'n ikki kishi ...
Yo'lning kuchi quvnoqlik. Sakrab chiqa boshladi ...
Ular sakkizinchi kvadratning kvadrat qismida, qancha maymun bor edi
Gladaly kulgili edi. Siz menga aytasizmi, bu ustunda?
BxasyAraning qarori kvadrat tenglamalarning ildizlarining ikki barobarligini (3-rasm) ko'rsatganidan dalolat beradi (3-rasm).
Tegishli vazifa 13 tenglama:
(x./8) 2 + 12 = x.
Bxaskara tagida yozadi:
x 2 - 64x \u003d -768
va ushbu tenglamaning chap qismini maydonga qo'shadi 32 2 , keyin olish:
x 2 - 64x + 32 \u003d -768 + 1024,
(X - 32) 2 \u003d 256,
x - 32 \u003d ± 16,
x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.
Al - Xorazmiyda 1,4 kvadrat tenglar
Algrasali risolasida Al-Xorazmi chiziqli va kvadrat tenglamalar tasnifini beradi. Muallif 6 turdagi tenglamalar mavjud, ularni quyidagicha ifodalaydi:
1) "kvadratlar ildizlari", ya'ni Ah 2 + c \u003db.x.
2) "kvadratlar raqamga teng", ya'ni ah 2 \u003d s.
3) "Ildizlar raqamga teng", ya'ni ah \u003d s.
4) "kvadratlar va raqamlar ildizlarga teng", ya'ni I.E. Ah 2 + c \u003db.x.
5) "Kvadratlar va ildizlar songa teng", ya'ni ah 2 +.bx. \u003d s.
6) "Ildizlar va raqamlar kvadratlarga teng", ya'nibx. + C \u003d ah 2.
Al-Xorazmiy uchun salbiy raqamlardan foydalanishdan qochish uchun ushbu tenglamalarning har birining a'zolari tarkibiy qismlardir va olib bo'lmadi. Shu bilan birga, bu ijobiy echimlar bo'lmagan tenglamalarni hisobga olinmaydi. Muallif ushbu tenglamalarni al-jabr va al-Muqabala texnikasidan foydalangan holda hal qilish usullarini o'rnatadi. Uning qarorlari, albatta, biznikiga to'g'ri kelmaydi. Allaqachon bu sof ritorik deb ta'kidlamaslik, masalan, birinchi turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasini hal qilishda ta'kidlash kerak
al - Xorazmi, barcha matematika kabi XVII asrga qadar nol echimni hisobga oladi, ehtimol bu aniq amaliy vazifalarda ahamiyatsiz. To'liq kvadrat al-gobesli tenglamalarni shaxsiy misollar bilan hal qilishda, u qarorning qoidalarini, keyin geometrik dalillarni belgilaydi.
14-vazifa. "Maydon va 21 raqami 10 ta ildizga teng. Ildizni toping » (Bu x 2 + 21 \u003d 10x tenglamaning ildizi sifatida tushuniladi).
Muallifning qarori shunga o'xshash narsani o'qiymiz: biz 5 taga ko'paytiramiz, siz 3 tadan ko'payib borasiz, siz 4 tadan kelib chiqasiz, siz 4 tadan chiqasiz, siz 2 dan olasiz . 2 OT5, siz 3 ta olasiz, bu kerakli ildiz bo'ladi. Yoki 2-ga 2 dan 5 gacha qo'shing, bu 7 ga teng bo'lsa, u ham ildizga ega.
Al-Xorazmiyning risolasi birinchi bo'lib, unda kvadrat tenglamalar tasnifi o'rnatilgan va formulalar beriladi.
Evropada 1,5 kvadrat tenglarXIII. - XVii Bb
Evropada Xorazmiy uchun kvadrat tenglamalarini echish uchun formulalar birinchi bo'lib Italiya matematikasi Leonardo Fiboniada tomonidan yozilgan "Abalak" kitobida birinchi o'rinni egalladi. Islom va qadimgi Yunoniston mamlakatlarining ikkalasi ham to'liqligi va ravshanligi bilan ajralib turadigan bu puxta ish bilan ajralib turadi. Muallif mustaqil ravishda yangi algebraik misollarni hal qilishning ba'zi yangi algebraik misollarini ishlab chiqdi va Evropada birinchi navbatda Evropada salbiy raqamlarni kiritishga yaqinlashdi. Uning kitobi nafaqat Italiyada, balki Germaniya, Frantsiya va boshqa Evropa mamlakatlarida ham algebraik bilimlarning tarqalishini targ'ib qildi. "Abalak kitobidan" ning ko'plab muammolari deyarli barcha Evropa darsliklari XVI - XVII asrlar o'tdi. va qisman XVIII.
Bir xil kanonik shaklga berilgan kvadrat tenglamalarini hal qilishning umumiy qoidasi:
x 2 +.bx. \u003d C,
koeffitsient belgilarining har xil birikmalari uchun b., danu Evropada faqat 1544 metrga shakllangan. Schigel.
Umuman olganda, kvadrat tenglamasini eritma formulasi ishlab chiqarish Veta-da mavjud, ammo Vett Vets faqat ijobiy ildizlarni tan oldi. Italiya matematiklari Tartaliya, Kardano, XVI asrdagi birinchilar orasida portlash. Berilgan, ijobiy va salbiy ildizlarga qo'shimcha ravishda berilgan. Faqat XVII asrda. Girard, Dekart, Nyuton va boshqa olimlarning mehnati tufayli kvadrat tenglamalarini echish usuli zamonaviy qiyofaga aylanmoqda.
Vietsa teoremasi haqida 1.6
Kvadrat tenglama koeffitsiti koeffitsientlari o'rtasidagi munosabatlarni ifoda etuvchi va uning Viet'ing nomi 1591 yilda birinchi marta shakllantirilgan: "Agar B. + D.gavjum A. - A. 2 yaxshi Bd.T. A.bir xil Ichida Va teng D.».
Vetni tushunish uchun siz buni eslashingiz kerak AmmoHar bir unli harfi kabi u noma'lum (bizning) h.), unlilar IchidaD. - noma'lumdagi koeffitsientlar. Yuqoridagi zamonaviy algebra tilida Vieta so'zi: agar bo'lsa
(A +.)b.) x - x 2 \u003dab,
x 2 - (A +b.) x + ab. = 0,
x 1 \u003d a, x 2 \u003db..
Oddiy formulalar bilan tenglashtirilgan shakllar va koeffitsientlar o'rtasidagi munosabatlarni ifoda etish, vietet tenglamalarni echish usullarida bir xillikni o'rnatdi. Biroq, Vetyning ramzi hali ham hozirgi turlardan uzoqdir. U salbiy raqamlarni tanimadi va buning uchun tenglamalarni echishda, faqat ildizlarning ijobiy bo'lsa, faqat holatlar ijobiy deb hisoblangan.
2. Kvadrat tenglamalarni echish usullari
Kvadrat tenglamalar - bu algebra ulug'vor binosi dam olishning asosidir. Kvadrat tenglamalari trigonetik, indikatsion, logarifmik, irratsional va transsendental tenglamalar va tengsizliklarni hal qilishda keng qo'llaniladi. Biz universitetning oxirigacha maktab stenchidan (8-sinf) kvadrat tenglamalarini qanday hal qilishni barchamiz bilamiz.
Kvadrat tenglamaning ildizlarining formulalari. Jarayon holatlari, ko'p tarmoqli ildizlar ko'rib chiqiladi. Kvadrat uch qirrali ko'paytirgichni ajratish. Geometrik talqin. Ko'plab ko'paytirgichlarning ildizlarini va parchalanishiga misollar.
TarkibShuningdek qarang: Onlayn kvadrat tenglamalarini eritma
Asosiy formulalar
Kvadrat tenglamasini ko'rib chiqing:
(1)
.
Ildizlar maydoni tenglama (1) formulalar tomonidan belgilanadi:
;
.
Ushbu formulalar quyidagicha birlashtirilishi mumkin:
.
Kvadrat tenglamaning ildizlari ma'lum bo'lganida, ikkinchi darajali polinomni omillar ishi sifatida taqdim etilishi mumkin (ko'paytirgichlarda parchalanadi):
.
Keyingi, biz bunga ishonamiz - haqiqiy raqamlar.
O'ylab ko'ring kamsituvchi kvadrat tenglamasi:
.
Agar kamsituvchi ijobiy bo'lsa, unda kvadrat tenglamasi (1) ikki xil haqiqiy ildizga ega:
;
.
Keyin kvadratning parchalanishi uch baravar pasayadi, omillar tarkibiga ega:
.
Agar kamsituvchi nol bo'lsa, unda kvadrat tenglama (1) ikkita (teng) haqiqiy ildizga ega:
.
Faktorizatsiya:
.
Agar kamsituvchi salbiy bo'lsa, unda kvadrat tenglamasi (1) ikkita har tomonlama konjulangan ildiz mavjud:
;
.
Bu erda - xayoliy birlik;
Va - ildizlarning haqiqiy va xayoliy qismlari:
;
.
Keyin
.
Grafik izoh
Agar siz jadval funktsiyasini qursangiz
,
bu parabola, keyin grafikning kesish nuqtasi eksas bilan tenglamaning ildizlari bo'ladi
.
Qachonki, jadvalda abssissa o'qini (o'qi) ikki nuqtada () kesib o'tadi.
Qachonki, grafik bo'sh joyni bir nuqtada ().
Qachon, jadval abkissa o'qini kesib o'tmaydi ().
Kvadrat tenglama bilan bog'liq foydali formulalar
(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .
Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalar chiqish
Biz o'zgarishlarni amalga oshiramiz va formulalarni (F.1) va (F.3) amal qilamiz:
,
Qayerda
;
.
Shunday qilib, biz ikkinchi darajali shaklda ko'payish uchun formula oldik:
.
Bu erdan tenglamani ko'rish mumkin
ijro etilgan
va.
Ya'ni, kvadrat tenglamaning ildizlari ildizlarga ega
.
Kvadrat tenglamaning ildizlarini aniqlashning misollari
1-misol.
(1.1)
.
.
Bizning tenglamaimiz bilan taqqoslaganda (1.1), biz koeffitsientlarning qadriyatlarini topamiz:
.
Biz kamsituvchi deb bilamiz:
.
Isitma ijobiy bo'lsa, tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega:
;
;
.
Bu yerdan ko'paytirgichlar bo'yicha kvadrat uchlikning parchalanishini olamiz:
.
Jadval funktsiyasi y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 Abskissa o'qini ikki ochkodan kesib o'tadi.
Biz funktsiyalar jadvaliga quramiz
.
Ushbu funktsiya jadvali Parabola. U abkissa o'qini (o'qi) ikkita nuqtada joylashtiradi:
va.
Ushbu fikrlar boshlang'ich tenglamaning ildizlari (1.1).
;
;
.
2-misol.
Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(2.1)
.
Biz kvadrat tenglamasini umumiy shaklda yozamiz:
.
Boshlang'ich tenglama bilan taqqoslaganda (2.1), biz koeffitsientlarning qadriyatlarini topamiz:
.
Biz kamsituvchi deb bilamiz:
.
Kamsituvchi noldanganligi sababli, tenglama ikki ko'p (teng) ildizga ega:
;
.
Keyin ko'paytirgichlar bo'yicha uchta qarorning parchalanishi shakli:
.
Funktsiyasi g \u003d x 2 - 4 X + 4 Bir nuqtada abkissa o'qini so'raydi.
Biz funktsiyalar jadvaliga quramiz
.
Ushbu funktsiya jadvali Parabola. Bu bo'sh joyni (o'q) bir nuqtaga tegishli:
.
Bu nuqta boshlang'ich tenglamaning ildizi (2.1). Bu ildiz ko'paytirgichning kengayishiga ikki marta kiradi:
,
Bunday ildiz bir nechta deb ataladi. Ya'ni, ikkita teng ildiz borligiga ishoniladi:
.
;
.
3-misol.
Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(3.1)
.
Biz kvadrat tenglamasini umumiy shaklda yozamiz:
(1)
.
Boshlang'ich tenglamani qayta yozamiz (3.1):
.
C (1) ni taqqoslang, biz koeffitsientlarning qadriyatlarini topamiz:
.
Biz kamsituvchi deb bilamiz:
.
Kamsituvchi salbiy. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.
Siz murakkab ildizlarni topishingiz mumkin:
;
;
.
Keyin
.
Funktsiya grafik abkissa o'qini kesib o'tmaydi. Haqiqiy ildizlar yo'q.
Biz funktsiyalar jadvaliga quramiz
.
Ushbu funktsiya jadvali Parabola. Bu abkissa o'qi (o'qi) ni kesib o'tmaydi. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.
Haqiqiy ildizlar yo'q. Towing Integratsiya qilinadi:
;
;
.
Kvadratli tenglama Yoki ikkinchi darajali tenglamani noma'lum deb atashni quyidagi shaklga berilishi mumkin:
bolta. 2 + bx. + c. = 0 - kvadratli tenglama
qayerda x. - Bu noma'lum va a., b. va c. - tenglama koeffitsientlari. Kvadrat tenglamalarida a. birinchi koeffitsient deb nomlangan ( a. ≠ 0), b. ikkinchi koeffitsient deb nomlangan va c. Taniqli yoki erkin a'zosi tomonidan chaqirilgan.
Tenglama:
bolta. 2 + bx. + c. = 0
chaqqon to'la kvadrat tenglamasi. Agar koeffitsientlardan biri bo'lsa b. yoki c. Bu nolga teng yoki nol ham bu koeffitsientlar, tenglama to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama sifatida tasvirlangan.
Kamaytirilgan kvadrat tenglama
To'liq kvadrat tenglamani yanada qulay fikrlashga olib kelishi mumkin, uning barcha a'zolarini bo'lishadi a., ya'ni birinchi koeffitsientda:
Tenglama x. 2 + px. + savol: \u003d 0 berilgan kvadrat tenglamasi deb ataladi. Shuning uchun birinchi koeffitsient 1 ni taqdim etadigan har qanday kvadrat tenglamani taqdim etish mumkin.
Masalan, tenglama:
x. 2 + 10x. - 5 = 0
u kamayadi va tenglama:
3x. 2 + 9x. - 12 = 0
uni barcha a'zolarini -3 ga bo'lish orqali berilgan tenglama bilan almashtirish mumkin:
x. 2 - 3x. + 4 = 0
Kvadrat tenglamalarini echim
Kvadrat tenglamasini hal qilish uchun uni quyidagi turlardan biriga olib kelishingiz kerak:
bolta. 2 + bx. + c. = 0
bolta. 2 + 2kX. + c. = 0
x. 2 + px. + savol: = 0
Har bir tenglama uchun ildizlarni topish uchun o'z shaxsiy formulasi mavjud:
Tenglamaga e'tibor bering:
bolta. 2 + 2kX. + c. = 0
bu o'zgartirilgan tenglama bolta. 2 + bx. + c. \u003d 0, bunda koeffitsient b. - Hatto, uni 2 ko'rinishiga almashtirishga imkon beradi k K.. Shuning uchun, ushbu tenglamaning ildizlarini topish uchun formulasi soddalashtirilgan bo'lishi mumkin, uni 2 ichiga almashtirish mumkin k K. o'rniga b.:
1-misol. Tenglamani hal qiling:
3x. 2 + 7x. + 2 = 0
Ikkinchi koeffitsient tenglamada emas, balki birinchi koeffitsient birga teng emas, so'ngra kvadrat tenglama ildizlarini topishning umumiy formulasi deb nomlangan birinchi formulaga qarang. Avval
a. = 3, b. = 7, c. = 2
Endi tenglamaning ildizlarini topish uchun shunchaki formulani koeffitsientlarning qiymatlarini almashtirish:
| x. 1 = | -2 | = - | 1 | , x. 2 = | -12 | = -2 |
| 6 | 3 | 6 |
| Javob: - | 1 | , -2. |
| 3 |
2-misol:
x. 2 - 4x. - 60 = 0
Koeffitsientlar nimaga teng ekanligini aniqlaymiz:
a. = 1, b. = -4, c. = -60
Ikkinchi tenglamada boshqa raqamdan beri boshqa raqam, keyin biz kvadrat tenglamalari uchun formuladan bir yo'lli ikkinchi koeffitsient bilan foydalanamiz:
x. 1 = 2 + 8 = 10, x. 2 = 2 - 8 = -6
Javob: 10, -6.
3-misol.
y. 2 + 11y. = y. - 25
Biz hisobni umumiy fikrga beramiz:
y. 2 + 11y. = y. - 25
y. 2 + 11y. - y. + 25 = 0
y. 2 + 10y. + 25 = 0
Koeffitsientlar nimaga teng ekanligini aniqlaymiz:
a. = 1, p. = 10, savol: = 25
Birinchi koeffitsient 1 bo'lsa, biz tenglamalar uchun formulaga ko'ra, hatto ikkinchi koeffitsient bilan tenglamalar uchun ildizlarni qidiramiz:
Javob: -5.
4 misol.
x. 2 - 7x. + 6 = 0
Koeffitsientlar nimaga teng ekanligini aniqlaymiz:
a. = 1, p. = -7, savol: = 6
Birinchi koeffitsient 1 bo'lsa, unda biz ushbu tenglamalar uchun formulalar bo'yicha g'alati ikkinchi koeffitsienti bilan izlaymiz:
x. 1 = (7 + 5) : 2 = 6, x. 2 = (7 - 5) : 2 = 1